14.4用样本估计总体同步练习——2022-2023学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册（有答案）

14.4用样本估计总体小练习（1）
一、 单项选择题
1. 一组数据x1，x2，…，的平均值为2，则3x1，3x2，…，3的平均值为(　　)
A. 3 B. 6 C. 5 D. 1
在某次测量中得到A样本的数据如下：43，50，45，55，60，若B样本的数据恰好是将A样本中的每个数都增加5得到的，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(　　)
A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 平均数
某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间[50，100]内，其成绩的频率直方图如图所示，则该班学生这次数学测试成绩的中位数的估计值为(　　)
A. 81.5 B. 82
C. 81.25 D. 82.5
某人为了检测自己的解题速度，记录了5次解题所花的时间(单位：min)分别为x，y，55，60，50.已知这组数据的平均数为55，方差，则|x－y|的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、 多项选择题
5. 在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是(　　)
甲地：中位数为2，极差为5； 乙地：平均数为2，众数为2；
丙地：平均数为1，方差大于0； 丁地：平均数为2，方差为3.
A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地
6. 某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分(分数为整数，满分100分)，从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40，100]内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A. 频率直方图中第三组的频数为10人
B. 根据频率直方图估计样本的众数为75分
C. 根据频率直方图估计样本的中位数为75分
D. 根据频率直方图估计样本的平均数为75分
三、 填空题
次数 2 3 4 5
人数 20 15 10 5
7. 某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下：
则平均每人参加活动的次数为________．
8. 某校在“全民健身日”举行了投篮活动，每名参赛者投篮10次．投中一次得1分，没投中得0分．活动结束后统计50名参赛者的平均得分为8分，方差为20.后经核实有两名参赛者的分数统计错误，把一个9分错记为7分，一个8分错记为10分，则实际得分的方差为________．
四、 解答题
9. 某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况，从两班各抽出10名学生进行数学水平测试，成绩如下(单位：分)：
甲班：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74；
乙班：90，76，86，81，84，87，86，82，85，83.
(1) 求两个样本的平均数、中位数；
(2) 求两个样本的方差和标准差；
(3) 试分析比较两个班的学习情况．
10. 2022年某地苹果出现滞销现象，为了帮助当地果农度过销售难关，当地政府与全国一些企业采用团购的方式带动销售链，使得积压了许多苹果的当地果农有了销路．为了解果农们苹果的销售量情况，当地农业局随机对100名果农的苹果销售量进行统计，将数据分成4组：[90，110]，(110，130]，(130，150]，(150，170]，得到如图所示的频率直方图．(同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替)
(1) 试估计这100名果农苹果销售量的平均数；
(2) 假设这100名果农在未打开销路之前都积压了2万千克的苹果，通过团购的方式果农每千克苹果的纯利润为1.3元，而积压仍未售出的苹果每千克将损失2元的成本费，试估计这100名果农积压的苹果通过此次团购活动获得的总利润．
参考答案
一、 单项选择题
1. 一组数据x1，x2，…，的平均值为2，则3x1，3x2，…，3的平均值为(　　)
A. 3 B. 6 C. 5 D. 1
B　【解析】由题意可设x1＋x2＋…＋＝2n，所以3x1，3x2，…，3的平均值为(3x1＋3x2＋…＋3)＝(x1＋x2＋…＋)＝＝6.
2. 在某次测量中得到A样本的数据如下：43，50，45，55，60，若B样本的数据恰好是将A样本中的每个数都增加5得到的，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(　　)
A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 平均数
C　【解析】A样本的数据为43，50，45，55，60，没有众数，中位数为50，平均数为50.6，方差为39.44.B样本的数据为48，55，50，60，65，没有众数，中位数为55，平均数为55.6，方差为39.44，因此，两个样本数据的方差没变．
3. 某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间[50，100]内，其成绩的频率直方图如图所示，则该班学生这次数学测试成绩的中位数的估计值为(　　)
A. 81.5 B. 82
C. 81.25 D. 82.5
C　【解析】因为(0.005＋0.015＋0.025)×10＝0.45<0.5，(0.005＋0.015＋0.025＋0.040)×10＝0.85>0.5，所以该班学生这次数学测试成绩的中位数落在[80，90)之间．设中位数为x，则0.45＋0.04×(x－80)＝0.5，解得x＝81.25，所以该班学生这次数学测试成绩的中位数的估计值为81.25.
4. 某人为了检测自己的解题速度，记录了5次解题所花的时间(单位：min)分别为x，y，55，60，50.已知这组数据的平均数为55，方差，则|x－y|的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B　【解析】因为这组数据的平均数为55，方差为，所以x＋y＝110，(x－55)2＋(y－55)2＝2.设x＝55＋t，y＝55－t，所以2t2＝2，即t2＝1，则|x－y|＝2|t|＝2.
二、 多项选择题
5. 在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是(　　)
甲地：中位数为2，极差为5； 乙地：平均数为2，众数为2；
丙地：平均数为1，方差大于0； 丁地：平均数为2，方差为3.
A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地
AD　【解析】对于A，因为甲地中位数为2，极差为5，故最大值不会大于2＋5＝7，故A符合；对于B，若乙地过去10天的新增疑似病例数据分别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，则满足平均数为2，众数为2，但不满足连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故B不符合；对于C，若丙地过去10天的新增疑似病例数据分别为0，0，0，0，0，0，0，0，1，9，则满足平均数为1，方差大于0，但不满足连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故C不符合；对于D，利用反证法，若至少有一天疑似病例超过7人，则方差大于3，与题设矛盾，故连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故D正确．
6. 某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分(分数为整数，满分100分)，从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40，100]内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A. 频率直方图中第三组的频数为10人
B. 根据频率直方图估计样本的众数为75分
C. 根据频率直方图估计样本的中位数为75分
D. 根据频率直方图估计样本的平均数为75分
ABC　【解析】分数在[60，70)内的频率为1－10×(0.005＋0.020＋0.030＋0.025＋0.010)＝0.10，所以第三组[60，70)的频数为100×0.10＝10(人)，故A正确；因为众数的估计值是频率直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；因为(0.005＋0.020＋0.010)×10＝0.35<0.5，(0.005＋0.020＋0.010＋0.03)×10＝0.65>0.5，所以中位数位于[70，80)．设中位数为x，则0.35＋0.03(x－70)＝0.5，解得x＝75，所以中位数的估计值为75，故C正确；样本平均数的估计值为45×(10×0.005)＋55×(10×0.020)＋65×(10×0.010)＋75×(10×0.03)＋85×(10×0.025)＋95×(10×0.01)＝73(分)，故D错误.
三、 填空题
次数 2 3 4 5
人数 20 15 10 5
7. 某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下：
则平均每人参加活动的次数为________．
3 【解析】根据题意，平均每人参加的次数为＝＝3.
8. 某校在“全民健身日”举行了投篮活动，每名参赛者投篮10次．投中一次得1分，没投中得0分．活动结束后统计50名参赛者的平均得分为8分，方差为20.后经核实有两名参赛者的分数统计错误，把一个9分错记为7分，一个8分错记为10分，则实际得分的方差为________．
19.92　【解析】依题意，得平均数不发生变化，设除这2名记错分的另外48名参赛者的分数分别为a1，a2，…，a48.因为[(a1－8)2＋(a2－8)2＋…＋(a48－8)2＋(7－8)2＋(10－8)2]＝20，所以(a1－8)2＋(a2－8)2＋…＋(a48－8)2＝995，则实际得分的方差为[(a1－8)2＋(a2－8)2＋…＋(a48－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2]＝×996＝19.92.
四、 解答题
9. 某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况，从两班各抽出10名学生进行数学水平测试，成绩如下(单位：分)：
甲班：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74；
乙班：90，76，86，81，84，87，86，82，85，83.
(1) 求两个样本的平均数、中位数；
(2) 求两个样本的方差和标准差；
(3) 试分析比较两个班的学习情况．
【解析】(1) ＝×(82＋84＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋74)＝83.2，甲的中位数是：，
＝×(90＋76＋86＋81＋84＋87＋86＋82＋85＋83)＝84，乙的中位数是：.
(2) s＝×[(82－83.2)2＋(84－83.2)2＋(85－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(80－83.2)2＋(91－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(74－83.2)2]＝26.36，
s＝×[(90－84)2＋(76－84)2＋(86－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(87－84)2＋(86－84)2＋(82－84)2＋(85－84)2＋(83－84)2]＝13.2，则s甲＝≈5.13，s乙＝≈3.63.
(3) 由于x甲由于s>s可知甲班没有乙班稳定，所以乙班的总体学习情况比甲班好．
10. 2022年某地苹果出现滞销现象，为了帮助当地果农度过销售难关，当地政府与全国一些企业采用团购的方式带动销售链，使得积压了许多苹果的当地果农有了销路．为了解果农们苹果的销售量情况，当地农业局随机对100名果农的苹果销售量进行统计，将数据分成4组：[90，110]，(110，130]，(130，150]，(150，170]，得到如图所示的频率直方图．(同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替)
(1) 试估计这100名果农苹果销售量的平均数；
(2) 假设这100名果农在未打开销路之前都积压了2万千克的苹果，通过团购的方式果农每千克苹果的纯利润为1.3元，而积压仍未售出的苹果每千克将损失2元的成本费，试估计这100名果农积压的苹果通过此次团购活动获得的总利润．
【解析】(1) ＝(100×0.002 5＋120×0.01＋140×0.022 5＋160×0.015)×20＝140，
则这100名果农苹果销售量的平均数为1.4万千克．
(2)销售量在[90，110]的每位果农的利润为100×100×1.3－(2×104－100×100)×2
＝－0.7(万元)；
销售量在(110，130]的每位果农的利润为120×100×1.3－(2×104－120×100)×2
＝－0.04(万元)；
销售量在(130，150]的每位果农的利润为100×140×1.3－(2×104－140×100)×2＝0.62(万元)；
销售量在(150，170]的每位果农的利润为100×160×1.3－(2×104－160×100)×2＝1.28(万元)．
因为[90，110]，(110，130]，(130，150]，(150，170]这4组的人数分别为5，20，45，30，
所以这100名果农积压的苹果通过此次团购活动获得的总利润约为－0.7×5－0.04×20＋0.62×45＋1.28×30＝62(万元)．