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鲁教版(五四学制) 2022-2023学年六年级数学下册 6.6 平方差公式 同步测试
一、单选题
1．（2022七上·庐江月考）下列多项式乘以多项式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A．，是平方差公式计算，符合题意；
B．，不是平方差公式计算，不符合题意；
C．，不是平方差公式计算，不符合题意；
D．，不是平方差公式计算，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用平方差公式的计算方法逐项判断即可。
2．（2022七上·中山期末）如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，则这个长方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图可知，拼接后的长方形的长为，宽为，
这个长方形的周长，
故答案为：C．
【分析】先求出拼接后的长方形的长和宽，再利用长方形的周长公式计算即可.
3．（2021七上·肇源期末）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（﹣a﹣b） B．（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）（a﹣d） D．（a+b）（2a﹣b）
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（a+b）（﹣a﹣b）＝﹣（a+b）（a+b）两项都相同，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；
B、（a+b）（a﹣b）存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
C、（a+b）（a﹣d）中存在相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；
D、（a+b）（2a﹣b）中存在相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式的特征逐项判断即可得到答案。
4．（2021七上·龙凤期中）记 ，且 ，则 （ ）．
A．128 B．32 C．64 D．16
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
=
= ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴n=64.
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式，配上（2-1），将x的结果化简为，再代入计算即可。
5．（2021七上·金山期中）根据图中的图形面积关系可以说明的公式是（ ）
A． B．
C． D．．
【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图，由于S长方形B=S长方形C，
因此有S长方形A+S长方形B=S长方形A+S长方形C，
而S长方形A+S长方形B=（a+b）（a-b），
S长方形A+S长方形C=S长方形A+S长方形C+S长方形D-S长方形D，
=a2-b2，
∴有（a+b）（a-b）=a2-b2，
故答案为：C．
【分析】根据拼图中各个部分面积之间的关系可得答案。
6．（2021六下·沂源期末）若代数式M （3x﹣y2）＝y4﹣9x2，那么代数式M为（ ）
A．﹣3x﹣y2 B．﹣3x+y2 C．3x+y2 D．3x﹣y2
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵（﹣3x﹣y2） （3x﹣y2）＝y4﹣9x2，
∴M＝（﹣3x﹣y2）．
故答案为：A．
【分析】根据平方差公式解答即可。
7．（2019七上·浦东月考）小明在下的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（ ）
A．-23.（-2）6= 0 B．（-2x3y3）2 = 6x5y5
C．（3m+n）.（-n+3m）=9m2-n2 D．（-a）3.（-a）=-a2
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；平方差公式及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A．-23.（-2）6= -29 ，故本选项不符合题意；
B．（-2x3y3）2 = 4x6y6，故本选项不符合题意；
C．（3m+n） （-n+3m）=9m2-n2，故本选项符合题意；
D．（-a）3.（-a）=a4，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法，平方差公式分别进行计算即可．
8．（2019七上·孝南月考）如图，从边长为(a＋1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a－1)cm的正方形(a>1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则长方形的长为（ ）
A．2 cm B．2a cm C．4a cm D．(2a－2)cm
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】矩形的面积是 =4a( )；
拼成的长方形的宽为（a+1）-（a-1）=2（cm）；
∴长方形的长为 （cm）；
故答案为：B.
【分析】矩形的面积就是边长是a+1的正方形与边长是a-1的正方形的面积的差，列代数式进行化简后，求出长方形的宽和长即可.
二、填空题
9．（2021七上·黄浦期中）1002﹣992＋982﹣972＋962﹣952＋…＋22﹣12＝ ．
【答案】5050
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： 1002-992 + 982-972 + 962-952 +…+22-12
=（100 + 99）（100-99）+（98 + 97）（98-97）+…+（2+1）（2-1）
= 100+ 99+98+ 97+…+2+1
=5050．
故答案为：5050
【分析】先把每两项结合，再利用平方差公式的逆用将原式变形，再计算加减即可.
10．（2021七上·汨罗期中）根据公式x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）来解题有时能起到简化计算的效果.比如计算502﹣49＝（50+49）×（50﹣49）＝99×1＝99，根据这种方法计算（ ）2﹣（ ）2结果是
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（ ）2﹣（ ）2
＝（ + ）×（ - ）
＝1×
＝
故答案为： .
【分析】根据平方差公式可得原式=(+)×(-)，据此计算.
11．（2022七上·浦东新期中）若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
．
故答案为： ．
【分析】将代数式变形为，再计算即可。
12．（2022七上·杨浦期中）观察下列各式：；；；……根据前面各式的规律可得到 ．
【答案】-1
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题目中的规律可以得出：-1，
故答案为：-1．
【分析】根据前几项的数据与序号的关系可得规律-1。
三、计算题
13．（2021七上·浦东期末）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】将原式变形为，再利用平方差公式计算即可。
四、解答题
14．（2020七下·定兴期末）老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律.请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：
① ；
② ；
③ ；
……
试写出符合上述规律的第五个算式；
验证：设两个连续奇数为2n+1， (其中 为正整数)，并说明它们的平方差是8的倍数；
【答案】解：第五个算式为：112-92=8×5；
验证：设两个连续奇数为 2n+1，2n-1（其中 n 为正整数），
则（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1-2n+1）（2n+1+2n-1）=2×4n=8n．
故两个连续奇数的平方差是8的倍数．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】仿照已知等式确定出第五个算式即可；列出两个连续奇数的平方差，分解后即可作出判断．
15．（2020七下·中卫月考）原有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少2m，将宽增加2m，改造后得到一块正方形绿地，它的面积是原绿地面积的2倍，求改造后正方形绿地的面积.
【答案】解：设改造后正方形绿地的边长为xm；
则改造前的长是（x＋2），宽是（x 2）；
根据题意有：2（x＋2）（x 2）＝x2，
即2（x2 4）＝x2，
解可得x2＝8；
答：改造后正方形绿地的面积为8m2.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】设改造后正方形绿地的边长为xm，根据题意，可得改造前的长方形的边长，由改造后的面积是原绿地面积的2倍，可得关系式，解可得答案.
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鲁教版(五四学制) 2022-2023学年六年级数学下册 6.6 平方差公式 同步测试
一、单选题
1．（2022七上·庐江月考）下列多项式乘以多项式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022七上·中山期末）如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，则这个长方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021七上·肇源期末）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（﹣a﹣b） B．（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）（a﹣d） D．（a+b）（2a﹣b）
4．（2021七上·龙凤期中）记 ，且 ，则 （ ）．
A．128 B．32 C．64 D．16
5．（2021七上·金山期中）根据图中的图形面积关系可以说明的公式是（ ）
A． B．
C． D．．
6．（2021六下·沂源期末）若代数式M （3x﹣y2）＝y4﹣9x2，那么代数式M为（ ）
A．﹣3x﹣y2 B．﹣3x+y2 C．3x+y2 D．3x﹣y2
7．（2019七上·浦东月考）小明在下的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（ ）
A．-23.（-2）6= 0 B．（-2x3y3）2 = 6x5y5
C．（3m+n）.（-n+3m）=9m2-n2 D．（-a）3.（-a）=-a2
8．（2019七上·孝南月考）如图，从边长为(a＋1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a－1)cm的正方形(a>1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则长方形的长为（ ）
A．2 cm B．2a cm C．4a cm D．(2a－2)cm
二、填空题
9．（2021七上·黄浦期中）1002﹣992＋982﹣972＋962﹣952＋…＋22﹣12＝ ．
10．（2021七上·汨罗期中）根据公式x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）来解题有时能起到简化计算的效果.比如计算502﹣49＝（50+49）×（50﹣49）＝99×1＝99，根据这种方法计算（ ）2﹣（ ）2结果是
11．（2022七上·浦东新期中）若，则的值为 ．
12．（2022七上·杨浦期中）观察下列各式：；；；……根据前面各式的规律可得到 ．
三、计算题
13．（2021七上·浦东期末）计算：．
四、解答题
14．（2020七下·定兴期末）老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律.请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：
① ；
② ；
③ ；
……
试写出符合上述规律的第五个算式；
验证：设两个连续奇数为2n+1， (其中 为正整数)，并说明它们的平方差是8的倍数；
15．（2020七下·中卫月考）原有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少2m，将宽增加2m，改造后得到一块正方形绿地，它的面积是原绿地面积的2倍，求改造后正方形绿地的面积.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A．，是平方差公式计算，符合题意；
B．，不是平方差公式计算，不符合题意；
C．，不是平方差公式计算，不符合题意；
D．，不是平方差公式计算，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用平方差公式的计算方法逐项判断即可。
2．【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图可知，拼接后的长方形的长为，宽为，
这个长方形的周长，
故答案为：C．
【分析】先求出拼接后的长方形的长和宽，再利用长方形的周长公式计算即可.
3．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（a+b）（﹣a﹣b）＝﹣（a+b）（a+b）两项都相同，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；
B、（a+b）（a﹣b）存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
C、（a+b）（a﹣d）中存在相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；
D、（a+b）（2a﹣b）中存在相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式的特征逐项判断即可得到答案。
4．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
=
= ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴n=64.
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式，配上（2-1），将x的结果化简为，再代入计算即可。
5．【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图，由于S长方形B=S长方形C，
因此有S长方形A+S长方形B=S长方形A+S长方形C，
而S长方形A+S长方形B=（a+b）（a-b），
S长方形A+S长方形C=S长方形A+S长方形C+S长方形D-S长方形D，
=a2-b2，
∴有（a+b）（a-b）=a2-b2，
故答案为：C．
【分析】根据拼图中各个部分面积之间的关系可得答案。
6．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵（﹣3x﹣y2） （3x﹣y2）＝y4﹣9x2，
∴M＝（﹣3x﹣y2）．
故答案为：A．
【分析】根据平方差公式解答即可。
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；平方差公式及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A．-23.（-2）6= -29 ，故本选项不符合题意；
B．（-2x3y3）2 = 4x6y6，故本选项不符合题意；
C．（3m+n） （-n+3m）=9m2-n2，故本选项符合题意；
D．（-a）3.（-a）=a4，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法，平方差公式分别进行计算即可．
8．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】矩形的面积是 =4a( )；
拼成的长方形的宽为（a+1）-（a-1）=2（cm）；
∴长方形的长为 （cm）；
故答案为：B.
【分析】矩形的面积就是边长是a+1的正方形与边长是a-1的正方形的面积的差，列代数式进行化简后，求出长方形的宽和长即可.
9．【答案】5050
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： 1002-992 + 982-972 + 962-952 +…+22-12
=（100 + 99）（100-99）+（98 + 97）（98-97）+…+（2+1）（2-1）
= 100+ 99+98+ 97+…+2+1
=5050．
故答案为：5050
【分析】先把每两项结合，再利用平方差公式的逆用将原式变形，再计算加减即可.
10．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（ ）2﹣（ ）2
＝（ + ）×（ - ）
＝1×
＝
故答案为： .
【分析】根据平方差公式可得原式=(+)×(-)，据此计算.
11．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
．
故答案为： ．
【分析】将代数式变形为，再计算即可。
12．【答案】-1
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题目中的规律可以得出：-1，
故答案为：-1．
【分析】根据前几项的数据与序号的关系可得规律-1。
13．【答案】解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】将原式变形为，再利用平方差公式计算即可。
14．【答案】解：第五个算式为：112-92=8×5；
验证：设两个连续奇数为 2n+1，2n-1（其中 n 为正整数），
则（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1-2n+1）（2n+1+2n-1）=2×4n=8n．
故两个连续奇数的平方差是8的倍数．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】仿照已知等式确定出第五个算式即可；列出两个连续奇数的平方差，分解后即可作出判断．
15．【答案】解：设改造后正方形绿地的边长为xm；
则改造前的长是（x＋2），宽是（x 2）；
根据题意有：2（x＋2）（x 2）＝x2，
即2（x2 4）＝x2，
解可得x2＝8；
答：改造后正方形绿地的面积为8m2.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】设改造后正方形绿地的边长为xm，根据题意，可得改造前的长方形的边长，由改造后的面积是原绿地面积的2倍，可得关系式，解可得答案.
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