鲁教版(五四学制) 2022-2023学年六年级数学下册 6.7 完全平方公式 同步测试
一、单选题
1．（2023·坪山模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a3·a3=a6，故A错误；
B、a6÷a2=a4，故B错误；
C、(a-1)2=a2-2a+1，故C错误；
D、(-ab)3=-a3b3，故D正确.
故答案为：D.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断B；根据完全平方公式可判断C；积的乘方，先将每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断D.
2．（2023·五河模拟），则N的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴-20ab=20ab+N，
∴N=-40ab，
故答案为：D.
【分析】结合题意，利用完全平方公式计算求解即可。
3．（2023七下·下城期中）若，则的值为（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x=y+8，xy=15，
∴x-y=8，
∴x2+y2-5xy=(x-y)2-3xy=82-3×15=64-45=19.
故答案为：D.
【分析】由已知条件可得x-y=8，待求式可变形为(x-y)2-3xy，然后代入进行计算.
4．（2023七下·南京期中）若，，则的值是（ ）
A．0 B．4 C．0或4 D．2或4
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（a-b）2=1，（b-c）2=1，
∴a-b=±1，b-c=±1，
当a-b=1，b-c=1时，a-c=2，
∴（a-c）2=4；
当a-b=1，b-c=-1时，a-c=0，
∴（a-c）2=0；
当a-b=-1，b-c=1时，a-c=0，
∴（a-c）2=0；
当a-b=-1，b-c=-1时，a-c=-2，
∴（a-c）2=4；
∴（a-c）2的值为0或4.
故答案为：C
【分析】利用平方等于1的数有两个，它们互为相反数，可得到a-b=±1，b-c=±1，再分情况讨论：当a-b=1，b-c=1时，a-c=2；当a-b=1，b-c=-1时，a-c=0；当a-b=-1，b-c=1时，a-c=0；当a-b=-1，b-c=-1时，a-c=-2；分别求出（a-c）2的值.
5．（2023七下·镇海期中）已知： . 求： 代数式 的值为（ ）
A．-5 B．5 C． D．25
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
a2-a-a2+b=-5，
b-a=-5，
∴（b-a）2=25，
a2+b2=25+2ab，
∴==.
故答案为：C.
【分析】由可得b-a=-5，再将两边平方，可得a2+b2=25+2ab，然后整体代入原式中，再化简即可.
6．（2023七下·鹿城期中）已知，则的值为（ ）
A．6 B．16 C．14 D．18
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式可得(x-)2=x2+-2=16，求解可得x2+的值.
7．（2023七下·杭州期中）不论x，y取什么实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值（ ）
A．不小于2 B．不小于7 C．为任何实数 D．可能为负数
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： x2＋y2＋2x－4y＋7=x2+2x+1+y2-4y+4+2=（x+1）2+（y-2） 2+2，
无论x，y为任何实数时，
（x+1）2+（y-2） 2≥0，
∴（x+1）2+（y-2） 2+2≥2，
∴x2＋y2＋2x－4y＋7的值不小于2.
故答案为：A
【分析】利用完全平方公式将代数式转化为（x+1）2+（y-2） 2+2，利用平方的非负性可得到（x+1）2+（y-2） 2≥0，据此可得到（x+1）2+（y-2） 2+2≥2，即可求解.
8．（2023七下·富阳期中）如图4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a：b=（ ）
A．3：2 B．5：2 C．2：1 D．3：1
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵，
，
又∵ S1＝2S2，
∴a2+2b2=2（2ab-b2），
整理得（a-2b）2=0，
∴a=2b，
∴a∶b=2∶1.
故答案为：C.
【分析】先根据几何图形的面积计算方法及割补法用含a、b的代数式分别表示出S1与S2，进而根据S1＝2S2建立方程，整理得（a-2b）2=0，据此即可求解了.
二、填空题
9．（2023七下·镇海期中）若a+b=4，ab=3，则(a-b)2＝ ．
【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ∵a+b=4，ab=3，
∴ (a-b)2＝ (a+b)2-4ab=42-4×（-3）=28；
故答案为：28.
【分析】将原式化为(a-b)2＝ (a+b)2-4ab，再整体代入计算即可.
10．（2023·彭州模拟）若，则代数式 .
【答案】-2
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，即，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据完全平方公式可得(x-1)2=x2-2x+1=2，则x2-2x=1，将待求式变形为3(x2-2x)-5，据此计算.
11．（2023七下·瑞安期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块边长都为m的大正方形，两块边长都为n的小正方形，五块长为m，宽为n的小长方形．若每块小长方形的面积为7，四块正方形的面积和为100，则这个长方形纸板的周长为 ．
【答案】48
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵每块小长方形的面积为7，四块正方形的面积和为100，
∴mn=7，2m2+2n2=100，
∴2mn=14，m2+n2=50，
∴m2+2mn+n2=64，
（m+n）2=64，
∴m+n=8；
∴这个长方形纸板的周长为2（2m+n+m+2n）=6（m+n）=6×8=48.
故答案为：48
【分析】利用图形及已知：每块小长方形的面积为7，四块正方形的面积和为100，可求出2mn和m2+n2的值，由此可求出m+n的值；再求出这个长方形纸板的周长为6（m+n），然后整体代入求值.
12．（2023七下·开化期中）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律．
（1）请仔细观察，填出(a+b)4的展开式中所缺的系数．
(a+b)4= a4+4a3b+ a2b2+4ab3+b4
（2）此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过814天是星期
【答案】（1）6
（2）二
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意得
(a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
故答案为：6
（2） 814=（1+7）14=714+a·713×1+b·712×12++m·7×113+114（其中a，bm是一列常数），
∵714+a·713×1+b·712×12++m·7×113能被7整除，
∴814除以7余数为1，
∴ 再过814天是星期二.
故答案为：二
【分析】（1）“杨辉三角”图形中的排列规律可得答案.
（2）利用“杨辉三角”将 814转化为714+a·713×1+b·712×12++m·7×113+114（其中a，bm是一列常数），可得到714+a·713×1+b·712×12++m·7×113能被7整除，可得到814除以7余数为1，据此可得答案.
三、计算题
13．（2023七下·莲湖期中）简便运算：．
【答案】解：
.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】观察两个多项式的特点，先利用平方差公式进行计算，再利用完全平方公式及积的乘方运算法则进行计算即可.
14．（2023八下·常平期中）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】根据完全平方公式和多项式乘法进行计算即可。
四、作图题
15．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．观察与操作：
（1）他拼成如图②所示的正方形，根据四个小纸片的面积之和等于大正方形的面积，得到：a2+2ab+b2=（a+b）2，验证了完全平方公式；即：多项式 a2+2ab+b2分解因式后，其结果表示正方形的长（a+b）与宽（a+b）两个整式的积．
（2）当他拼成如图③所示的矩形，由面积相等又得到：a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b），即：多项式 a2+3ab+2b2分解因式后，其结果表示矩形的长（a+2b）与宽（a+b）两个整式的积．
问题解决：
（1）请你依照小刚的方法，利用拼图写出恒等式a2+4ab+3b2．（画图说明，并写出其结果）
（2）试猜想面积是2a2+5ab+3b2的矩形，其长与宽分别是多少？（画图说明，并写出其结果）
【答案】解：a2+4ab+3b2=（a+b）（a+3b），
图形如下：
（2）2a2+5ab+3b2的=（a+b）（2a+3b），所画图形如下：
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）先将a2+4ab+3b2分解，然后可得出矩形的边长，从而利用等面积法可画出图形．
（2）将2a2+5ab+3b2然后可得出矩形的边长，从而利用等面积法可画出图形．
【分析】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．
1 / 1鲁教版(五四学制) 2022-2023学年六年级数学下册 6.7 完全平方公式 同步测试
一、单选题
1．（2023·坪山模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·五河模拟），则N的代数式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·下城期中）若，则的值为（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
4．（2023七下·南京期中）若，，则的值是（ ）
A．0 B．4 C．0或4 D．2或4
5．（2023七下·镇海期中）已知： . 求： 代数式 的值为（ ）
A．-5 B．5 C． D．25
6．（2023七下·鹿城期中）已知，则的值为（ ）
A．6 B．16 C．14 D．18
7．（2023七下·杭州期中）不论x，y取什么实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值（ ）
A．不小于2 B．不小于7 C．为任何实数 D．可能为负数
8．（2023七下·富阳期中）如图4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a：b=（ ）
A．3：2 B．5：2 C．2：1 D．3：1
二、填空题
9．（2023七下·镇海期中）若a+b=4，ab=3，则(a-b)2＝ ．
10．（2023·彭州模拟）若，则代数式 .
11．（2023七下·瑞安期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块边长都为m的大正方形，两块边长都为n的小正方形，五块长为m，宽为n的小长方形．若每块小长方形的面积为7，四块正方形的面积和为100，则这个长方形纸板的周长为 ．
12．（2023七下·开化期中）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律．
（1）请仔细观察，填出(a+b)4的展开式中所缺的系数．
(a+b)4= a4+4a3b+ a2b2+4ab3+b4
（2）此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过814天是星期
三、计算题
13．（2023七下·莲湖期中）简便运算：．
14．（2023八下·常平期中）计算：．
四、作图题
15．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．观察与操作：
（1）他拼成如图②所示的正方形，根据四个小纸片的面积之和等于大正方形的面积，得到：a2+2ab+b2=（a+b）2，验证了完全平方公式；即：多项式 a2+2ab+b2分解因式后，其结果表示正方形的长（a+b）与宽（a+b）两个整式的积．
（2）当他拼成如图③所示的矩形，由面积相等又得到：a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b），即：多项式 a2+3ab+2b2分解因式后，其结果表示矩形的长（a+2b）与宽（a+b）两个整式的积．
问题解决：
（1）请你依照小刚的方法，利用拼图写出恒等式a2+4ab+3b2．（画图说明，并写出其结果）
（2）试猜想面积是2a2+5ab+3b2的矩形，其长与宽分别是多少？（画图说明，并写出其结果）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a3·a3=a6，故A错误；
B、a6÷a2=a4，故B错误；
C、(a-1)2=a2-2a+1，故C错误；
D、(-ab)3=-a3b3，故D正确.
故答案为：D.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断B；根据完全平方公式可判断C；积的乘方，先将每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断D.
2．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴-20ab=20ab+N，
∴N=-40ab，
故答案为：D.
【分析】结合题意，利用完全平方公式计算求解即可。
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x=y+8，xy=15，
∴x-y=8，
∴x2+y2-5xy=(x-y)2-3xy=82-3×15=64-45=19.
故答案为：D.
【分析】由已知条件可得x-y=8，待求式可变形为(x-y)2-3xy，然后代入进行计算.
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（a-b）2=1，（b-c）2=1，
∴a-b=±1，b-c=±1，
当a-b=1，b-c=1时，a-c=2，
∴（a-c）2=4；
当a-b=1，b-c=-1时，a-c=0，
∴（a-c）2=0；
当a-b=-1，b-c=1时，a-c=0，
∴（a-c）2=0；
当a-b=-1，b-c=-1时，a-c=-2，
∴（a-c）2=4；
∴（a-c）2的值为0或4.
故答案为：C
【分析】利用平方等于1的数有两个，它们互为相反数，可得到a-b=±1，b-c=±1，再分情况讨论：当a-b=1，b-c=1时，a-c=2；当a-b=1，b-c=-1时，a-c=0；当a-b=-1，b-c=1时，a-c=0；当a-b=-1，b-c=-1时，a-c=-2；分别求出（a-c）2的值.
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
a2-a-a2+b=-5，
b-a=-5，
∴（b-a）2=25，
a2+b2=25+2ab，
∴==.
故答案为：C.
【分析】由可得b-a=-5，再将两边平方，可得a2+b2=25+2ab，然后整体代入原式中，再化简即可.
6．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式可得(x-)2=x2+-2=16，求解可得x2+的值.
7．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： x2＋y2＋2x－4y＋7=x2+2x+1+y2-4y+4+2=（x+1）2+（y-2） 2+2，
无论x，y为任何实数时，
（x+1）2+（y-2） 2≥0，
∴（x+1）2+（y-2） 2+2≥2，
∴x2＋y2＋2x－4y＋7的值不小于2.
故答案为：A
【分析】利用完全平方公式将代数式转化为（x+1）2+（y-2） 2+2，利用平方的非负性可得到（x+1）2+（y-2） 2≥0，据此可得到（x+1）2+（y-2） 2+2≥2，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵，
，
又∵ S1＝2S2，
∴a2+2b2=2（2ab-b2），
整理得（a-2b）2=0，
∴a=2b，
∴a∶b=2∶1.
故答案为：C.
【分析】先根据几何图形的面积计算方法及割补法用含a、b的代数式分别表示出S1与S2，进而根据S1＝2S2建立方程，整理得（a-2b）2=0，据此即可求解了.
9．【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ∵a+b=4，ab=3，
∴ (a-b)2＝ (a+b)2-4ab=42-4×（-3）=28；
故答案为：28.
【分析】将原式化为(a-b)2＝ (a+b)2-4ab，再整体代入计算即可.
10．【答案】-2
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，即，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据完全平方公式可得(x-1)2=x2-2x+1=2，则x2-2x=1，将待求式变形为3(x2-2x)-5，据此计算.
11．【答案】48
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵每块小长方形的面积为7，四块正方形的面积和为100，
∴mn=7，2m2+2n2=100，
∴2mn=14，m2+n2=50，
∴m2+2mn+n2=64，
（m+n）2=64，
∴m+n=8；
∴这个长方形纸板的周长为2（2m+n+m+2n）=6（m+n）=6×8=48.
故答案为：48
【分析】利用图形及已知：每块小长方形的面积为7，四块正方形的面积和为100，可求出2mn和m2+n2的值，由此可求出m+n的值；再求出这个长方形纸板的周长为6（m+n），然后整体代入求值.
12．【答案】（1）6
（2）二
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意得
(a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
故答案为：6
（2） 814=（1+7）14=714+a·713×1+b·712×12++m·7×113+114（其中a，bm是一列常数），
∵714+a·713×1+b·712×12++m·7×113能被7整除，
∴814除以7余数为1，
∴ 再过814天是星期二.
故答案为：二
【分析】（1）“杨辉三角”图形中的排列规律可得答案.
（2）利用“杨辉三角”将 814转化为714+a·713×1+b·712×12++m·7×113+114（其中a，bm是一列常数），可得到714+a·713×1+b·712×12++m·7×113能被7整除，可得到814除以7余数为1，据此可得答案.
13．【答案】解：
.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】观察两个多项式的特点，先利用平方差公式进行计算，再利用完全平方公式及积的乘方运算法则进行计算即可.
14．【答案】解：原式
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】根据完全平方公式和多项式乘法进行计算即可。
15．【答案】解：a2+4ab+3b2=（a+b）（a+3b），
图形如下：
（2）2a2+5ab+3b2的=（a+b）（2a+3b），所画图形如下：
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）先将a2+4ab+3b2分解，然后可得出矩形的边长，从而利用等面积法可画出图形．
（2）将2a2+5ab+3b2然后可得出矩形的边长，从而利用等面积法可画出图形．
【分析】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．
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