2024届上海市高考数学沪教版（2020）选择性必修第二册复习教案：第7章+概率初步（续）

【学生版】 第7章 概率初步（续）
【课本目录】
7.1 条件概率与相关公式
7.1.1 条件概率；7.1.2 全概率公式；7.2.3 贝叶斯公式*；
7.2 随机变量的分布与特征
7.2.1 随机变量的分布；7.2.2 期望；7.2.3 方差；
7.3 常用分布
7.3.1 二项分布；7.3.2 超几何分布；7.3.3 正态分布；
【核心概念】
条件概率、条件概率公式、全概率公式 ；随机变量的分布、期望、方差；二项分布、超几何分布、正态分布；
【核心素养】
(
考试要求
)数学抽象、数学运算、数据分析、数学建模；
1、结合有限样本空间与古典概型，计算条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率；
2、理解取有限个值的随机变量及其分布列的概念；会准确列出分布列；理解会求随机变量的数字特征；
(
知识梳理
)3、掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题；了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题；借助正态分布曲线了解正态分布的概念、特征，并进行简单应用．
1、条件概率
①在古典概率模型中，事件A发生之后，随机现象的结果就剩下事件A中的基本事件，所以，事件A变成了由这些基本事件所构成的新的样本空间；这个样本空间仍然是等可能的，这时事件B发生的概率称为 事件B基于条件A的概率，或在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，或已知事件A发生，事件B发生的概率，记为：P(B|A)；
事实上，这等于是在一个样本空间为A的随机试验中，求事件A∩B（或记着AB）发生的概率，
即P(B|A)＝；
将上式的分子、分母同时除以，就得到条件概率公式： 在事件A发生的条件下，事件B发生的概率是：P(B|A)＝；读作：A发生的条件下B发生的概率
【说明】前一个公式适用于古典概率模型，后一个公式适用于所有的情况；
②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(A∩B)＝P(A)·P(B|A);
2、条件概率的性质：设P(A)>0，则
①P(Ω|A)＝1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝ ；
③设和B互为对立事件，则P(|A)＝ ；
3、全概率公式
一般地，设Ω1，Ω2，…，Ωn是一组两两互斥的事件，Ω1∪Ω2∪…∪Ωn＝Ω，且P(Ωi)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件A Ω，有P(A)＝(Ωi) P(A|Ωi);
4、随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为随机变量；
5、随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率
P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列；
6、随机变量的分布列的性质
（其中：；且）
7、随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
（1）期望
称E[X]＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望；它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（2）方差
称D[X]＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．
8、期望与方差的性质
（1）E[aX＋b]＝ ＋b；（2）D[aX＋b]＝a2 (a，b为常数)．
9、二项分布
（1）伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
（2）二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
（3）两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，则E[X]＝p，D[X]＝p(1－p)；
②若X～B(n，p)，则E[X]＝ ，D[X]＝ ．
11、超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈｛正整数｝，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
12、正态分布
（1）定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
（2）正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
②曲线在x＝μ处到达峰值；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
（3）正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
(
思考辨析
)
判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”．
①若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B) ；（ ）
②若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B Ω，都有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2) ；（ ）③在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1；（ ）
④方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小；（ ）
⑤若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布；（ ）
【提示】.
【答案】
(
典例解析
)
例1、（1）夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【提示】；
【答案】
【解析】.
（2）七巧板是中国民间流传的智力玩具．据清代陆以湉《冷庐杂识》记载，七巧板是由宋代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间逐步演变为拼图版玩具．到明代，七巧板已基本定型为由如图所示的七块板组成：五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形，可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等1 600种以上图案．现从七巧板中取出两块，已知取出的是三角形，则两块板恰好是全等三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【说明】求条件概率的常用方法
（1）定义法：利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝；
（2）样本点法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝；
（3）缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解；
例2、（1）记为事件A的对立事件，且P(A)＝，P(|B)＝，P(B)＝，则P(A∪B)＝
（2）某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为（ ）
A．0.625 B．0.75 C.0.5 D.0
【说明】本题考查全概率公式的应用；利用全概率公式的思路
(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式计算．
例3、随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P＝
【说明】本题考查了随机变量的分布列性质；（1）研究随机变量的取值，关键是准确理解所定义的随机变量的含义；（2）进行相关计算时，始终牢记离散型随机变量分布列的两个性质：pi≥0，i＝1,2，…，n和i＝1，随时验证计算的准确性；（3）随机变量可能取某一区间内任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随机变量，如“长江水位”“灯管寿命”等，正态分布即是一种重要的连续型随机变量的分布，不要与随机变量混为一谈；
例4、甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为，，；记甲同学三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的分布列.
【说明】本题考查了随机变量分布列求法；确定随机变量的分布列的解题策略：
（1）先确定离散型随机变量的所有可能的取值，“不重不漏”；（2）选择合适的概率模型(公式)计算每一可能取值时的概率；（3）列出分布列；
例5、（1）已知ξ的分布列如表所示：
其中，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此计算，下列各式中：①E[ξ]＝1；②D[ξ]>1；③P[ξ＝0]≤，正确的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
（2）学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为X，则D[X]＝________.
6、某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目．每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步上篮考核合格得6分，否则得0分．现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核．已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8，三步上篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关．
（1）若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由．
例7、甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
（1）求甲获胜的概率；
（2）求投篮结束时，乙只投了1个球的概率．
例8、在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛.已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上：
（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；
（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及均值.
例9、某大学生志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
（1）求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率；
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及期望.
例10、已知随机变量X～N(2，32)，且P(X≤1)＝P(X≥m＋1)，求：＋(0(
精练巩固
)
【夯实基础】
1、小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁.已知小明上学乘坐公共汽车的概率为0.4，乘坐地铁的概率为0.6，且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分别为0.05和0.04，则小明没有迟到的概率为(　　)
A．0.954 B．0.956 C．0.958 D．0.959
2、将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的均值E[X]＝(　　)
A．2 B．1 C． D．
3、根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为________.
4、已知X的分布列为设Y＝2X＋3，则E[Y]的值为
5、若离散型随机变量X的分布列为则X的方差D[X]＝________.
6、已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，则c＝________.
7、已知随机变量X的分布列为且Y＝aX＋3，若E[Y]＝－2，则 a等于
8、溺水、触电等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为，乙队每人回答问题的正确率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响.
（1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率；
（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
【精练巩固】
1、某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是(　　)
A．0.155 B．0.175 C．0.016 D．0.096
2、甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为(　　)
A．0.36 B．0.352 C．0.288 D. ．0.648
3、某学校有A，B两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8.则甲同学第二天去A餐厅用餐的概率为________.
4、若随机变量X的分布列为则当P(X5、若随机变量X的分布列为则P(|X|＝1)等于
6、设X是一个离散型随机变量，其分布列为则q的值为
7、已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝________.
8、某班50名学生通过直播软件上网课，为了方便师生互动，直播屏幕分为1个大窗口和5个小窗口，大窗口始终显示老师讲课的画面，5个小窗口显示5名不同学生的画面．小窗口每5分钟切换一次，即再次从全班随机选择5名学生的画面显示，且每次切换相互独立．若一节课40分钟，则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的期望是 分钟
9、若有甲、乙两家单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元 4 200 4 400 4 600 4 800
获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 4 000 4 400 4 800 5 200
获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
10、某游乐场设置了迷宫游戏，有三个造型相同的门可供选择，参与者进入三个门的结果分别是3分钟走出去，6分钟走出去，3分钟返回出发点．游戏规定：不重复进同一个门，若返回出发点立即重新选择，直到走出迷宫游戏结束．
（1）求一名游戏参与者走出迷宫所用时间的均值；
（2）甲、乙2人相约玩这个游戏.2人商量了两种方案．
方案一：2人共同行动；
方案二：2人分头行动．
分别计算两种方案2人都走出迷宫所用时间和的期望．
(
结论收集
)
1、计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数；
2、全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.
3、P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率．
4、期望与方差的四个常用性质
（1）E[k]＝k，D[k]＝0，其中k为常数；
（2）E[X1＋X2]＝E[X1]＋E[X2]；
（3）D[X]＝E[X2]－（E[X]）2；
（4）若X1，X2相互独立，则E[X1X2]＝E[X1]·E[X2]；
（5）若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量；
5、两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形；
6、 “二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理；
7、在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
8、超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值E[X]＝，D[X]＝.
9、若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为“1”解题.
10、利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：①在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；②n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；③该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率；
*11、贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1,2，…，n.
【教师版】 第7章 概率初步（续）
【课本目录】
7.1 条件概率与相关公式
7.1.1 条件概率；7.1.2 全概率公式；7.2.3 贝叶斯公式*；
7.2 随机变量的分布与特征
7.2.1 随机变量的分布；7.2.2 期望；7.2.3 方差；
7.3 常用分布
7.3.1 二项分布；7.3.2 超几何分布；7.3.3 正态分布；
【核心概念】
条件概率、条件概率公式、全概率公式 ；随机变量的分布、期望、方差；二项分布、超几何分布、正态分布；
【核心素养】
数学抽象、数学运算、数据分析、数学建模；
(
考试要求
)
1、结合有限样本空间与古典概型，计算条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率；
2、理解取有限个值的随机变量及其分布列的概念；会准确列出分布列；理解并会求随机变量的数字特征；
(
知识梳理
)3、掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题；了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题；借助正态分布曲线了解正态分布的概念、特征，并进行简单应用．
1、条件概率
①在古典概率模型中，事件A发生之后，随机现象的结果就剩下事件A中的基本事件，所以，事件A变成了由这些基本事件所构成的新的样本空间；这个样本空间仍然是等可能的，这时事件B发生的概率称为 事件B基于条件A的概率，或在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，或已知事件A发生，事件B发生的概率，记为：P(B|A)；
事实上，这等于是在一个样本空间为A的随机试验中，求事件A∩B（或记着AB）发生的概率，
即P(B|A)＝；
将上式的分子、分母同时除以，就得到条件概率公式： 在事件A发生的条件下，事件B发生的概率是：P(B|A)＝；读作：A发生的条件下B发生的概率
【说明】前一个公式适用于古典概率模型，后一个公式适用于所有的情况；
②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(A∩B)＝P(A)·P(B|A);
2、条件概率的性质：设P(A)>0，则
①P(Ω|A)＝1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
③设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．
3、全概率公式
一般地，设Ω1，Ω2，…，Ωn是一组两两互斥的事件，Ω1∪Ω2∪…∪Ωn＝Ω，且P(Ωi)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件A Ω，有P(A)＝(Ωi) P(A|Ωi);
4、随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为随机变量；
5、随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率
P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列；
6、随机变量的分布列的性质
（其中：；且）
7、随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
（1）期望
称E[X]＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望；它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（2）方差
称D[X]＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．
8、期望与方差的性质
（1）E[aX＋b]＝aE[X]＋b；（2）D[aX＋b]＝a2D[X](a，b为常数)．
9、二项分布
（1）伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
（2）二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
（3）两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，则E[X]＝p，D[X]＝p(1－p)；
②若X～B(n，p)，则E[X]＝np，D[X]＝np(1－p)．
11、超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈｛正整数｝，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
12、正态分布
（1）定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
（2）正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
②曲线在x＝μ处到达峰值；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
（3）正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
(
思考辨析
)
判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”．
①若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B) ；（ ）
②若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B Ω，都有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2) ；（ ）③在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1；（ ）
④方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小；（ ）
⑤若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布；（ ）
【提示】①由事件A，B相互独立，则P(A∩B)＝P(A)P(B)；
③随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故不正确.
【答案】①√；（2）√；③×；（4）√（5）√
(
典例解析
)
例1、（1）夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【提示】（1）注意阅读理解“在乙地下雨的条件下，甲地也下雨”；
【答案】（1）C
【解析】设A为“甲地下雨”，B为“乙地下雨”，
由题意可知，P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝，所以P(A|B)＝＝＝.
（2）七巧板是中国民间流传的智力玩具．据清代陆以湉《冷庐杂识》记载，七巧板是由宋代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间逐步演变为拼图版玩具．到明代，七巧板已基本定型为由如图所示的七块板组成：五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形，可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等1 600种以上图案．现从七巧板中取出两块，已知取出的是三角形，则两块板恰好是全等三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【提示】（2）注意阅读理解“取出的是三角形，则两块板恰好是全等三角形”
【答案】D
【解析】设事件A为“从七巧板中取出两块，取出的是三角形”，事件B为“两块板恰好是全等三角形”，则P(A∩B)＝＝，P(A)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝.
【说明】本题考查了求条件概率的常用方法
（1）定义法：利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝；
（2）样本点法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝；
（3）缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解；
例2、（1）记为事件A的对立事件，且P(A)＝，P(|B)＝，P(B)＝，则P(A∪B)＝
【提示】（1）利用条件概率公式可得P(B)＝，，进而即得；
【答案】.
【详解】因为P(|B)＝，P(B)＝，
∴P(B)＝P(|B)P(B)＝×＝，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
故答案为：.
（2）某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为（ ）
A．0.625 B．0.75 C.0.5 D.0
【提示】注意“他答对题目”分：知道正确答案与不知道正确答案；
【答案】A
【解析】用A表示事件“考生答对了”，用B表示“考生知道正确答案”，用表示“考生不知道正确答案”，
则P(B)＝0.5，P()＝0.5，P(A|B)＝100%，P(A|)＝0.25，
则P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625.
【说明】本题考查了全概率公式的应用；利用全概率公式的思路
（1）按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；
（2）求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；
（3）代入全概率公式计算；
例3、随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P＝
【提示】注意：随机变量的分布列的性质（1）；（2）
【答案】.
【解析】因为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，所以＋＋＋＝1，所以a＝，所以P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.
【说明】本题考查了随机变量的分布列性质；（1）研究随机变量的取值，关键是准确理解所定义的随机变量的含义；（2）进行相关计算时，始终牢记离散型随机变量分布列的两个性质：pi≥0，i＝1,2，…，n和i＝1，随时验证计算的准确性；（3）随机变量可能取某一区间内任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随机变量，如“长江水位”“灯管寿命”等，正态分布即是一种重要的连续型随机变量的分布，不要与随机变量混为一谈；
例4、甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为，，；记甲同学三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的分布列.
【提示】注意阅读理解明确随机变量X的所有可能取值，然后求得其对应的概率；
【解析】随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝.
所以，随机变量X的分布列为
【说明】本题考查了随机变量分布列求法；确定随机变量的分布列的解题策略：
（1）先确定离散型随机变量的所有可能的取值，“不重不漏”；（2）选择合适的概率模型(公式)计算每一可能取值时的概率；（3）列出分布列；
例5、（1）已知ξ的分布列如表所示：
其中，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此计算，下列各式中：①E[ξ]＝1；②D[ξ]>1；③P[ξ＝0]≤，正确的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【提示】（1）注意分布列的性质与期望、方差的计算
【答案】C
【解析】设“？”＝a，“！”＝b，则a，b∈[0,1]，2a＋b＝1.
①E[ξ]＝0×a＋1×b＋2×a＝2a＋b＝1，因此①正确；
②D[ξ]＝(0－1)2×a＋(1－1)2×b＋(2－1)2×a＝2a≤1，因此②不正确；
③P(ξ＝0)＝a＝≤，因此③正确．
（2）学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为X，则D[X]＝________.
【答案】
【解析】由题意知，X的所有可能取值为5,4,3,2，
P(X＝5)＝×＝，
P(X＝4)＝×＝，
P(X＝3)＝×＝，
P(X＝2)＝×＝，
则E[X]＝5×＋4×＋3×＋2×＝，
D[X]＝2×＋2×＋2×＋2×＝.
【说明】本题考查了随机变量的分布列及数字特征；求随机变量X的均值与方差的步骤：
（1）理解X的意义，写出X的所有可能取值；
（2）求X取每个值的概率；
（3）写出X的分布列；
（4）由均值、方差的定义求E[X]，D[X]；
（5）已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用均值及方差的性质求.
例6、某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目．每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步上篮考核合格得6分，否则得0分．现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核．已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8，三步上篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关．
（1）若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由．
【解析】（1）由已知可得，X的所有可能取值为0,4,10，
则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝4)＝0.8×(1－0.7)＝0.24，
P(X＝10)＝0.8×0.7＝0.56，
所以X的分布列为
（2）小明应选择先进行定点投篮考核，理由如下：
由(1)可知小明先进行定点投篮考核，累计得分的均值
E(X)＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56，
若小明先进行三步上篮考核，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0,6,10，
P(Y＝0)＝1－0.7＝0.3，
P(Y＝6)＝0.7×(1－0.8)＝0.14，
P(Y＝10)＝0.7×0.8＝0.56，
则Y的均值E(Y)＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44，
因为E(X)>E(Y)，
所以为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行定点投篮考核．
【说明】本题考查了期望与方差中的决策问题；随机变量的期望和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
例7、甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
（1）求甲获胜的概率；
（2）求投篮结束时，乙只投了1个球的概率．
【解析】（1）设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2，“甲获胜”为事件C，则P(C)＝P(A1)＋P(11A2)＝P(A1)＋P(1)P(1)·P(A2)＝＋××＝.
（2）记“投篮结束时，乙只投了1个球”为事件D．则P(D)＝P(1B1)＋P(11A2)＝P(1)P(B1)＋P(1)P(1)P(A2)＝×＋××＝.
【说明】本题考查了二项分布中的n重伯努利试验；在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率.
例8、在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛.已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上：
（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；
（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及均值.
【解析】（1）依题意知，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同.
设其打破世界纪录的项目数为随机变量ξ，设“该运动员至少能打破2项世界纪录”为事件A，
则有P(A)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝C＋C＝.
（2）由（1）可知X～B，
则P(X＝0)＝C＝，
P(X＝1)＝C··＝，P(X＝2)＝C··＝，
P(X＝3)＝C·＝，
所以X的分布列为
所以均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
【说明】本题考查了二项分布；判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
（1）在每一次试验中，事件发生的概率相同.
（2）各次试验中的事件是相互独立的.
（3）在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
例9、某大学生志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
（1）求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率；
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及期望.
【解析】（1）从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教，基本事件总数n＝C，
设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，事件A包含的基本事件个数m＝CC＋CC，
则选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为P(A)＝＝.
（2）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以随机变量X的分布列为：
E[X]＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
【说明】本题考查了超几何分布；
（1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布；
（2）超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型；
例10、已知随机变量X～N(2，32)，且P(X≤1)＝P(X≥m＋1)，求：＋(0【提示】注意理解与转化“X～N(2，32)”，再寻找知识的交汇；
【答案】
【解析】由正态分布的对称性可知：m＋1＝3，解得m＝2，
因为00，
由基本不等式得：（＋）＝·[x＋(2－x)]＝（1＋＋＋4）
≥（5＋2）＝，
当且仅当＝，即x＝时等号成立，所以不等式的最小值为.
【说明】本题考查了对正态分布的理解与应用对称性进行转化；规律总结：
利用正态曲线解题的关键是，利用对称性把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化； 解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用；
(
精练巩固
)
【夯实基础】
1、小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁.已知小明上学乘坐公共汽车的概率为0.4，乘坐地铁的概率为0.6，且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分别为0.05和0.04，则小明没有迟到的概率为(　　)
A．0.954 B．0.956 C．0.958 D．0.959
【答案】B
【解析】由题意，小明没有迟到的概率为0.4×(1－0.05)＋0.6×(1－0.04)＝0.956.
2、将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的均值E[X]＝(　　)
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，X～B，E[X]＝4×＝2；
3、根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为________.
【答案】
【解析】设事件A表示某地四月份吹东风，事件B表示四月份下雨.
根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率为P(B|A)＝＝.
4、已知X的分布列为设Y＝2X＋3，则E[Y]的值为
【答案】
【解析】E[X]＝－1×＋0×＋1×＝－，E[Y]＝E[2X＋3]＝2E[X]＋3＝－＋3＝.
5、若离散型随机变量X的分布列为则X的方差D[X]＝________.
【答案】
【解析】由＋＝1，得a＝1或a＝－2(舍去)．
∴X的分布列为∴E[X]＝0×＋1×＝，则D[X]＝2×＋2×＝；
6、已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，则c＝________.
【答案】
【解析】随机变量X服从正态分布N(3，1)，∵P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，
∴＝3，∴c＝.
7、已知随机变量X的分布列为且Y＝aX＋3，若E[Y]＝－2，则 a等于
【答案】－3；
【解析】E[X]＝1×＋2×＋3×＝.
∵Y＝aX＋3，∴E[Y]＝aE[X]＋3＝a＋3＝－2，解得a＝－3.
8、溺水、触电等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为，乙队每人回答问题的正确率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响.
（1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率；
（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
【解析】（1）记“甲队总得分为3分”为事件A，“甲队总得分为1分”为事件B.
甲队得3分，即3人都回答正确，其概率P(A)＝××＝，
甲队得1分，即3人中只有1人回答正确，其余2人都回答错误，其概率
P(B)＝××＋××＋××＝.
故甲队总得分为3分与1分的概率分别为，.
（2）记“甲队总得分为2分”为事件C，“乙队总得分为1分”为事件D.
甲队得2分，即甲队3人中有2人回答正确，1人回答错误，
则P(C)＝××＋××＋××＝，
乙队得1分，即乙队3人中只有1人回答正确，其余2人回答错误，
则P(D)＝××＋××＋××＝.
由题意得事件C与事件D相互独立，
则甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(CD)＝P(C)P(D)＝×＝.
【精练巩固】
1、某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是(　　)
A．0.155 B．0.175 C．0.016 D．0.096
【答案】B
【解析】设事件B1表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件B2表示“被保险人是‘一般的’”，
事件B3表示“被保险人是‘冒失的’”，
则P(B1)＝20%，P(B2)＝50%，P(B3)＝30%，
设事件A表示“被保险人在一年内发生事故”，
则P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15，
P(A|B3)＝0.30.
由全概率公式，得P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝20%×0.05＋50%×0.15＋30%×0.30＝0.175.
【说明】利用全概率公式的思路：(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；(3)代入全概率公式计算.
公式
2、甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为(　　)
A．0.36 B．0.352 C．0.288 D. ．0.648
【答案】D
【解析】甲最终获胜的情况可能为连胜2局或甲前2局1胜1负，第3局胜，则甲最终获胜的概率P＝0.62＋C×0.6×0.4×0.6＝0.648.
3、某学校有A，B两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8.则甲同学第二天去A餐厅用餐的概率为________.
【答案】0.7
【解析】设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，
B1＝“第1天去B餐厅用餐”，
A2＝“第2天去A餐厅用餐”，
则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥，
根据题意得，P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8，
由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.
4、若随机变量X的分布列为则当P(X【答案】(1，2]
【解析】由随机变量X的分布列知，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，故当P(X5、若随机变量X的分布列为则P(|X|＝1)等于
【答案】
【解析】由随机变量X的分布列得P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝1－＝.
【说明】离散型随机变量分布列的性质的应用；
（1）利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．
（2）利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．
（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
6、设X是一个离散型随机变量，其分布列为则q的值为
【答案】－ ；
【答案】由分布列的性质知解得q＝－.
7、已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝________.
【答案】0.14
【解析】因为X～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5，
所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2【说明】解决正态分布问题有三个关键点：
（1）对称轴x＝μ；（2）标准差σ；（3）分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ及分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
8、某班50名学生通过直播软件上网课，为了方便师生互动，直播屏幕分为1个大窗口和5个小窗口，大窗口始终显示老师讲课的画面，5个小窗口显示5名不同学生的画面．小窗口每5分钟切换一次，即再次从全班随机选择5名学生的画面显示，且每次切换相互独立．若一节课40分钟，则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的期望是 分钟
【答案】4；
【解析】每5分钟算作一轮，每一轮甲同学出现在直播屏幕上的概率为＝，
设他在直播屏幕上出现的轮次为X，
根据题意得，X～B，E(X)＝8×＝0.8，
设甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间为Y(单位：分钟)，
则E(Y)＝E(5X)＝5×0.8＝4(分钟)．
9、若有甲、乙两家单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元 4 200 4 400 4 600 4 800
获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 4 000 4 400 4 800 5 200
获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
【解析】根据月工资的分布列，可得E[X1]＝4 200×0.4＋4 400×0.3＋4 600×0.2＋4 800×0.1
＝4 400(元)，
D[X1]＝(4 200－4 400)2×0.4＋(4 400－4 400)2×0.3＋(4 600－4 400)2×0.2＋(4 800－4 400)2 ×0.1＝40 000；
E[X2]＝4 000×0.4＋4 400×0.3＋4 800×0.2＋5 200×0.1＝4 400(元)，
D[X2]＝(4 000－4 400)2×0.4＋(4 400－4 400)2×0.3＋(4 800－4 400)2×0.2＋(5 200－4 400)2 ×0.1＝160 000.
因为E[X1)＝E[X2]，D[X1)所以两家单位的月工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．如果你认为自己能力较强，通过一段时间的努力可以获得高工资职位，可选择乙单位；如果你认为自己能力一般，则选择甲单位可能得到更高的收入，可选择甲单位．
10、某游乐场设置了迷宫游戏，有三个造型相同的门可供选择，参与者进入三个门的结果分别是3分钟走出去，6分钟走出去，3分钟返回出发点．游戏规定：不重复进同一个门，若返回出发点立即重新选择，直到走出迷宫游戏结束．
（1）求一名游戏参与者走出迷宫所用时间的均值；
（2）甲、乙2人相约玩这个游戏.2人商量了两种方案．
方案一：2人共同行动；
方案二：2人分头行动．
分别计算两种方案2人都走出迷宫所用时间和的期望．
【解析】（1）设一名游戏参与者走出迷宫所用时间为X(单位：分钟)，
则X的所有可能取值为3,6,9，
P(X＝3)＝，P(X＝6)＝＋×＝，
P(X＝9)＝×＝，
所以E[X]＝3×＋6×＋9×＝(分钟)，
即一名游戏参与者走出迷宫所用时间的期望为 分钟．
（2）由（1）知，按照方案一：2人共同行动所用时间和的期望为×2＝11(分钟)．
按照方案二：设两人走出迷宫所用时间和为Y(单位：分钟)，
则Y的所有可能取值为9,12,15，
P(Y＝9)＝2×＝，
P(Y＝12)＝2×＝，
P(Y＝15)＝2×＝，
所以E[Y]＝9×＋12×＋15×＝11(分钟)，
(
结论收集
)即按照方案二，两人所用时间和的期望为11分钟．
1、计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数；
2、全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.
3、P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率．
4、期望与方差的四个常用性质
（1）E[k]＝k，D[k]＝0，其中k为常数；
（2）E[X1＋X2]＝E[X1]＋E[X2]；
（3）D[X]＝E[X2]－（E[X]）2；
（4）若X1，X2相互独立，则E[X1X2]＝E[X1]·E[X2]；
（5）若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量；
5、两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形；
6、 “二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理；
7、在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
8、超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值E[X]＝，D[X]＝.
9、若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为“1”解题.
10、利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：①在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；②n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；③该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率；
*11、贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1,2，…，n.
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临考
回归
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随机变量及其分布 随机变量及其分布列 概念 随着试验结果变化而变化的量叫做随机变量，所有取值可以一一列出的随机叫做离散型随机变量。
分布列 离散型随机变量的所有取值及取值的概率列成 （其中：；且） 或表格；
性质 （1）；（2）。
事件的独立性 条件概率 概念：事件发生的条件下，事件发生的概率， 。
性质：． 互斥， ．
独立事件 事件与事件满足，事件与事件相互独立。
次独立 重复试验 每次试验中事件发生的概率为，在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为。
典型 分布 超几何 分布 ，，其中，且，且．＂
二项分布 分布列为：，。 数学期望、方差【时为两点分布】
正态分布 图象称为正态密度曲线，随机变量满足，则称的分布为正态分布．正态密度曲线的特点。
数字 特征 数学期望 一般地，若离散型随机变量的分布列为则称 为随机变量的均值或数学期望；它反映了离散型随机变量取值的平均水平；
方差和 标准差 方差：， 或 标准差：