微专题对条件概率与全概率公式的理解及其应用讲义-2022-2023学年高二下学期数学沪教版（2020)选择性必修第二册（含答案）

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微专题
对
条件概率与全概率公式
的
理解
及其
应用
)
【学生版】
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学习笔记
) (
知识梳理
)
1、两个事件A与B的交(或积)
把由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与的交(或积)，
记做D＝A∩B(或D＝AB)；
【注：事件是可以运算的；“两个事件A、B至少有一个发生”，这本身也是一个事件，
是指在两个事件所包含的基本事件中至少有一个发生，其对应的子集是A∪B；
同样地，“两个事件A、B同时发生”也是一个事件，是指两个事件的某个共同的
基本事件发生，其对应的子集是A∩B；．因此，“两个事件至少有一个发生”
对应于相应集合的并，而“两个事件同时发生”则对应于相应集合的交；】
2、条件概率
①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，
我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率；
②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，
则P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)．
3、条件概率的性质：设P(A)>0，则
①P(Ω|A)＝1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
③设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)；
4、全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，
且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)．
5、常用结论与知识拓展
（1）两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生
与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥；
（2）P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下
事件A发生的概率；
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学习笔记
) (
典题例析
)（3）计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(A∩B)；
例1、判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”．
(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1；（ ）
②若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B) ；（ ）
③ P(B|A)≠P(A∩B) ；（ ）
④全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率；（ ）
⑤若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2) ；（ ）
【答案】；
【解析】；
例2、5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求：
（1）第一次取到新球的概率；
（2）第二次取到新球的概率；
（3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率．
【提示】；
【解析】；
【说明】本题考查了利用定义求条件概率
1、用定义法求条件概率P(B|A)的步骤：
（1）分析题意，弄清概率模型；（2）计算P(A)，P(A∩B)；（3）代入公式求P(B|A)＝.
2．在（2）题中，首先结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系；
例3、一个盒子中有6只好手机充电器，4只坏手机充电器，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率；
【说明】本题也考查了利用基本事件个数求条件概率；本题给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．
计算条件概率的方法
(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)．
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝计算求得P(B|A)． (
学习笔记
)
(3)条件概率的算法：已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事件A∩B发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算事件A∩B发生的概率，
即P(B|A)＝＝＝.；
例4、甲文具盒内有2支蓝色笔和3支黑色笔，乙文具盒内也有2支蓝色笔和3支黑色笔．现从甲文具盒中任取两支放入乙文具盒，然后再从乙文具盒中任取两支，则最后取出的两支笔都为黑色笔的概率为
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方法
归
纳
)
1、计算条件概率需要注意的问题：
（1）公式P(B|A)＝仅限于P(A)>0的情况．当P(A＝0)时，我们不定义条件概率．
（2）计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(A∩B)．
（3）条件概率是指在一定条件下发生的概率，是概率的一种，具有概率的一般性质．
（4）P(B|A)与P(A|B)不一定相等．
（5）利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)求解有些条件概率问题较为简捷，但应注意这个性质是在“B与C互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱用这个公式.
2、条件概率的解题策略
分解计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
3、概念、公式理解与拓展
（1）如何利用定义法求解条件概率？
提示：用定义法求条件概率P(B|A)的步骤：
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) (
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)
（2）如何理解概率的乘法公式？
提示：概率的乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法，即当直接计算P(AB)不好计算时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用概率的乘法公式P(AB)＝ P(A) P(B|A) 或P(AB)＝ P(B) P(A|B)求解即可．
（3）如何判断一个概率问题是否为条件概率问题？
提示：当题目中出现“在……前提(条件)下”等字眼时，一般为条件概率；题目中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，一般也认为是条件概率．
由于样本空间变化，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的．
（4）全概率公式的主要用途是什么？
提示：全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题，分解为若干个简单事件的概率计算问题，最后应用概率的可加性求出最终结果．它实质上是概率的加法公式和乘法公式的综合运用，是在概率的加法公式和乘法公式的基础上推导出来的．全概率公式可简化思考过程，起到化整为零，化难为易的作用．
（5）利用全概率公式计算概率的难点是什么？
提示：全概率公式中“全”就是总和的含义：每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即事件B发生的可能性，就是其原因Ai发生的可能性与在Ai发生的条件下B发生的可能性的乘积之和．具体运用公式时，难点在于如何选择事件A1，A2，…，An，一定要把产生结果的原因全找出来，不能遗漏，并且保证A1，A2，…，An为两两互斥事件，选择恰当将会使计算大为简化，若选择不当，将会影响计算，甚至导致错误．
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巩固练习
)
1、下列说法正确的是(　　)
A．P(B|A)＜P(AB) B．P(B|A)＝是可能的
C．0＜P(B|A)＜1 D．P(A|A)＝0
2、某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为(　　)
A． B． C． D．
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学习笔记
)3、从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝
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)4、一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B．则P(B|A)=
5、4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是________．
6、袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________．
7、已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率
为 %　
8、已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人，
如果此人是色盲，则此人是男人的概率
9、盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？
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学习笔记
)10、（1）设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是________．
（2）抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．
①求P(A)，P(B)，P(AB)；
②当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．
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条件概率与全概率公式
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)
【教师版】
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) (
知识梳理
)
1、两个事件A与B的交(或积)
把由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与的交(或积)，
记做D＝A∩B(或D＝AB)；
【注：事件是可以运算的；“两个事件A、B至少有一个发生”，这本身也是一个事件，
是指在两个事件所包含的基本事件中至少有一个发生，其对应的子集是A∪B；
同样地，“两个事件A、B同时发生”也是一个事件，是指两个事件的某个共同的
基本事件发生，其对应的子集是A∩B；．因此，“两个事件至少有一个发生”
对应于相应集合的并，而“两个事件同时发生”则对应于相应集合的交；】
2、条件概率
①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，
我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率；
②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，
则P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)．
3、条件概率的性质：设P(A)>0，则
①P(Ω|A)＝1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
③设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)；
4、全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，
且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)．
5、常用结论与知识拓展
（1）两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生
与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥；
（2）P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下
事件A发生的概率；
(
典题例析
) (
学习笔记
)（3）计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(A∩B)；
例1、判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”．
(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1；（ ）
②若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B) ；（ ）
③ P(B|A)≠P(A∩B) ；（ ）
④全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率；（ ）
⑤若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2) ；（ ）
【答案】①×；②√；③√；④√；⑤√；
【解析】①由于事件A，B互斥，所以不可能同时发生，所以，不是必然事件；所以，错误；
②事件A，B相互独立，则P(B|A)＝＝＝P(B)；所以，正确；
⑤若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝P(B∩（A1A2)
则有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2) ；
例2、5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求：
（1）第一次取到新球的概率；
（2）第二次取到新球的概率；
（3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率．
【提示】注意阅读“不放回地取两次”
【解析】记第一次取到新球为事件A，第二次取到新球为事件B.
（1）P(A)＝.
（2）P(B)＝＝.
（3）方法1：因为P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝；
方法2：因为n(A)＝3×4＝12，n(A∩B)＝3×2＝6，所以P(B|A)＝＝＝；
【说明】本题考查了利用定义求条件概率
1、用定义法求条件概率P(B|A)的步骤：
（1）分析题意，弄清概率模型；（2）计算P(A)，P(A∩B)；（3）代入公式求P(B|A)＝.
2．在（2）题中，首先结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系；
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)例3、一个盒子中有6只好手机充电器，4只坏手机充电器，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率；
【提示】注意题设完成事件与古典概型问题的关联，可直接代入条件概率公式；，也可以直接利用基本事件个数求解；
【解析】令A＝{第1只是好的}，B＝{第2只是好的}，
法一：n(A)＝CC，n(AB)＝CC，故P(B|A)＝＝＝.
法二：因事件A已发生(已知)，故我们只研究事件B发生便可，在A发生的条件下，盒中仅剩9只手机充电器，其中5只好的，所以P(B|A)＝＝.
【说明】本题也考查了利用基本事件个数求条件概率；本题给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．
计算条件概率的方法
(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)．
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝计算求得P(B|A)．
(3)条件概率的算法：已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事件A∩B发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算事件A∩B发生的概率，
即P(B|A)＝＝＝.；
例4、甲文具盒内有2支蓝色笔和3支黑色笔，乙文具盒内也有2支蓝色笔和3支黑色笔．现从甲文具盒中任取两支放入乙文具盒，然后再从乙文具盒中任取两支，则最后取出的两支笔都为黑色笔的概率为
【提示】注意阅读理解前提，条件；
【答案】；
【解析】设事件Ai表示“从甲文具盒中取出i支黑色笔放入乙文具盒中”(i＝0,1,2)，
事件B表示“最后取出的两支笔都为黑色笔”，
则P(A0)＝＝，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.
而P(B|A0)＝＝，P(B|A1)
＝＝，P(B|A2)＝＝；
(
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)由全概率公式得，P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝×＋×＋×＝.
【说明】本题主要考查全概率公式的应用；在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易，但总可以适当地构造一组两两互斥的Ai，使B伴随着某个Ai的出现而出现，且每个P(Ai∩B)容易计算，可用所有P(Ai∩B)之和计算P(B)．应用全概率公式解决实际问题时，准确、迅速寻找事件组是解决此类问题的关键，一般方法和步骤如下：
（1）认真分析题中条件，找出事件组A1，A2，…，An，它们往往是我们考虑事件B发生时的若干不同的假设情况，把这些假设情况都列出，并由题意计算概率P(Ai)．
（2）求出在Ai发生的条件下B发生的条件概率，P(B|Ai)(i＝1,2，…，n)．∩
（3）运用全概率公式计算概率．
(
方法
归
纳
)
1、计算条件概率需要注意的问题：
（1）公式P(B|A)＝仅限于P(A)>0的情况．当P(A＝0)时，我们不定义条件概率．
（2）计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(A∩B)．
（3）条件概率是指在一定条件下发生的概率，是概率的一种，具有概率的一般性质．
（4）P(B|A)与P(A|B)不一定相等．
（5）利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)求解有些条件概率问题较为简捷，但应注意这个性质是在“B与C互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱用这个公式.
2、条件概率的解题策略
分解计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
3、概念、公式理解与拓展
（1）如何利用定义法求解条件概率？
提示：用定义法求条件概率P(B|A)的步骤：
（2）如何理解概率的乘法公式？
提示：概率的乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法，即当直接计算P(AB)不好计算时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用概率的乘法公式P(AB)＝ P(A) P(B|A) 或P(AB)＝ P(B) P(A|B)求解即可．
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)（3）如何判断一个概率问题是否为条件概率问题？
提示：当题目中出现“在……前提(条件)下”等字眼时，一般为条件概率；题目中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，一般也认为是条件概率．
由于样本空间变化，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的．
（4）全概率公式的主要用途是什么？
提示：全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题，分解为若干个简单事件的概率计算问题，最后应用概率的可加性求出最终结果．它实质上是概率的加法公式和乘法公式的综合运用，是在概率的加法公式和乘法公式的基础上推导出来的．全概率公式可简化思考过程，起到化整为零，化难为易的作用．
（5）利用全概率公式计算概率的难点是什么？
提示：全概率公式中“全”就是总和的含义：每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即事件B发生的可能性，就是其原因Ai发生的可能性与在Ai发生的条件下B发生的可能性的乘积之和．具体运用公式时，难点在于如何选择事件A1，A2，…，An，一定要把产生结果的原因全找出来，不能遗漏，并且保证A1，A2，…，An为两两互斥事件，选择恰当将会使计算大为简化，若选择不当，将会影响计算，甚至导致错误．
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巩固练习
)
1、下列说法正确的是(　　)
A．P(B|A)＜P(AB) B．P(B|A)＝是可能的
C．0＜P(B|A)＜1 D．P(A|A)＝0
【答案】B；
【解析】由条件概率公式P(B|A)＝及0≤P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB)，故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P(AB)＝P(B)，此时P(B|A)＝，故B选项正确，由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D选项错误．故选B；
2、某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，则由题意可得P(A)＝，P(AB)＝，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A)＝＝＝.故选C．
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)3、从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝
【答案】
[解析]　解法一：P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝.由条件概率计算公式，得P(B|A) ＝＝＝.故选B．
解法二：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个．
事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形，即n(AB)＝1.
故由古典概型概率P(B|A)＝＝.;
4、一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B．则P(B|A)=
【提示】首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解；
【答案】
【解析】　由古典概型的概率公式可知
（1）P(A)＝，P(B)＝＝＝，P(A∩B)＝＝.
（2）P(B|A)＝＝＝.
5、4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是________．
【答案】；
【解析】因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是；
6、袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________．
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)【答案】；
【解析】记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才能取到黄球”为事件C，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝；
7、已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率
为 %　
【答案】72；
【解析】记“任选一件产品是合格品”为事件A，则P(A)＝1－P()＝1－4%＝96%. 记“任选一件产品是一级品”为事件B.由于一级品必是合格品，所以事件A包含事件B，故P(AB)＝P(B)．由合格品中75%为一级品知P(B|A)＝75%; 故P(B)＝P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝96%×75%＝72%；
8、已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人，
如果此人是色盲，则此人是男人的概率
【答案】
【解析】设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，
“任选一人是色盲”为事件C.
此人患色盲的概率P(C)＝P(A∩C)＋P(B∩C)
＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝.
P(A|C)＝＝＝.
9、盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？
【解析】　由题意得球的分布如下：
玻璃 木质 合计
红 2 3 5
蓝 4 7 11
合计 6 10 16
设A＝{取得蓝球}，B＝{取得玻璃球}，
则P(A)＝，P(AB)＝＝.
(
学习笔记
)∴P(B|A)＝＝＝.
10、（1）设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是________．
（2）抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．
①求P(A)，P(B)，P(AB)；
②当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．
【提示】(1)直接应用公式P(B|A)＝求解．
(2)①利用古典概型求P(A)，P(B)及P(AB)．
②借助公式P(B|A)＝求概率．
【解析】（1）0.5　[设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，而所求概率为P(B|A)，由于B A，故AB＝B，
于是P(B|A)＝＝＝＝0.5，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.]
（2）　①设x为掷红骰子得到的点数，y为掷蓝骰子得到的点数，则所有可能的事件与(x，y)建立对应如图．
显然：P(A)＝＝，
P(B)＝＝，P(AB)＝.
②P(B|A)＝＝＝.