微专题对随机变量的理解与分布列的制作讲义-2022-2023学年高二下学期数学沪教版（2020)选择性必修第二册（含答案）

(
微专题
对
随机变量
的理解与
分布列
的制作
)
【学生版】
(
学习笔记
)
(
学习笔记
“微专题”
是指：针对教材中的“四基”、“四能”、数学方法、数学思想等的一种“小切口”，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升；
) (
知识梳理
)
1、随机变量
（1）定义：在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量；
（2）表示：随机变量常用大写字母X，Y，…表示．
2、离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量；
3、随机变量X的分布列
要掌握一个离散型随机变量X的取值规律，必须知道：
（1）X所有可能取的值ω1，ω2，…，ωn；
（2）X取每一个值xi的概率p1，p2，…，pn，需要列出下表：
（其中：；且）
【或】
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
此表称为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
4、随机变量X的分布列的性质
（1）pi≥0，i＝1,2,3，…，n；
（2）p1＋p2＋…＋pn＝1.
5、二点分布【拓展】
如果随机变量X的分布列为
【或】
X 0 1
P q p
其中0＜p＜1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．
(
典题例析
)
(
学习笔记
)例1、判断下列命题是真假(正确的打“√”，错误的打“×”)
①在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量；(　　)
②在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值；(　　)
③在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数；(　　)
④离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等；(　　)
⑤在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1；(　　)
【答案】；
【解析】
例2、一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为X；
（1）列表说明可能出现的结果与对应的X的值；
（2）若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定η是否为随机变量．
【提示】　→→
【解析】
【说明】本题考查随机变量的判定；一般可以用 “三步法”判定离散型随机变量
1、依据具体情境分析变量是否为随机变量．
2、由条件求解随机变量的值域．
3、判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量；
例3、写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．
（1）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
（2）从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和；
(
学习笔记
)例4、口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．
【说明】本题考查了求随机变量的分布列的方法与步骤；
1、求随机变量的分布列的步骤：
（1）找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1，2，…，n)；
（2）求出取每一个值的概率P(X＝xi)＝pi.；
（3）列出表格。
2、求离散型随机变量分布列时应注意的问题
（1）确定离散型随机变量X的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．
（2）在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确；
例5、设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，求：
（1）P(X＝1或X＝2)；
（2）P；
(
学习笔记
)【说明】本题主要考查了分布列及其性质的应用；利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：
（1）X的各个取值表示的事件是互斥的.
（2）不仅要注意，而且要注意pi≥0，i＝1，2，…，n.
例6、【拓展】袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝求X的分布列；
【说明】本题考查了两步法判断一个分布是否为二点分布：
（1）看取值：随机变量只取两个值0和1；
（2）验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立；
(
方法归纳
)如果一个分布满足以上两点，则该分布是二点分布，否则不是二点分布；
1、随机变量的辨析方法
（1）随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同；
（2）随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果；
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量；
2、问题探究
（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？
【解析】
（2）在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？
【解析】　
3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为X，则“X≥4”表示的随机事件是什么？
【解析】
4、利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些问题有什么共同点？
【解析】
5、只取两个不同值的随机变量是否一定服从二点分布？ (
学习笔记
)
【解析】
(
巩固练习
)
1、设某项试验成功的概率是失败概率的2倍，记Y＝则P(Y＝0)＝(　　)
A．0　　　　B．　　　　C.　　　　D．
2、设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X 0 1
P 9a2－a 3－8a
则常数a的值为(　　)
A．　 B． C．或 D．－或－
3、袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是________．
4、甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________．
5、已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2，….则P(2＜X≤4)等于
6、已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围为________．
7、在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．
（1）求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；
（2）若胜场次数为X，求X的分布列．
(
学习笔记
)8、从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的分布列．
(
微专题
对
随机变量
的理解与
分布列
的制作
)
【教师版】
(
知识梳理
) (
学习笔记
“微专题”
是指：针对教材中的“四基”、“四能”、数学方法、数学思想等的一种“小切口”，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升；
)
1、随机变量
（1）定义：在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量；
（2）表示：随机变量常用大写字母X，Y，…表示．
2、离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量；
3、随机变量X的分布列
要掌握一个离散型随机变量X的取值规律，必须知道：
（1）X所有可能取的值ω1，ω2，…，ωn；
（2）X取每一个值xi的概率p1，p2，…，pn，需要列出下表：
（其中：；且）
【或】
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
此表称为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
4、随机变量X的分布列的性质
（1）pi≥0，i＝1,2,3，…，n；
（2）p1＋p2＋…＋pn＝1.
5、二点分布【拓展】
如果随机变量X的分布列为
【或】
X 0 1
P q p
其中0＜p＜1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．
(
学习笔记
) (
典题例析
)
例1、判断下列命题是真假(正确的打“√”，错误的打“×”)
①在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量；(　　)
②在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值；(　　)
③在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数；(　　)
④离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等；(　　)
⑤在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1；(　　)
【答案】①√；②√；③×；④×；⑤√；
【解析】
①因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1；
②因为掷一枚质地均匀的骰子试验中，所有可能结果有6个，故“出现的点数”这一随机变量的取值为6个；
③因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]范围内；
④因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件；
⑤由分布列的性质可知，该说法正确；
例2、一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为X；
（1）列表说明可能出现的结果与对应的X的值；
（2）若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定η是否为随机变量．
【提示】　→→
【解析】（1）
X 0 1 2 3
结果 取得3个黑球 取得1个白球，2个黑球 取得2个白球，1个黑球 取得3个白球
（2）由题意可得：Y＝5X＋6，而X可能的取值范围为{0,1,2,3}，
所以Y对应的各值是：5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6；
故Y的可能取值为6，11，16，21.显然，Y为随机变量；
【说明】本题考查随机变量的判定；一般可以用 “三步法”判定离散型随机变量
1、依据具体情境分析变量是否为随机变量．
2、由条件求解随机变量的值域．
(
学习笔记
)3、判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量；
例3、写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．
（1）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
（2）从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和；
【提示】　→→
【解析】（1）设所需的取球次数为X，则
X＝1，2，3，4，…，10，11，
X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，…，11；
（2）设所取卡片上的数字和为X，则X＝3，4，5，…，11.
X＝3，表示“取出标有1，2的两张卡片”；
X＝4，表示“取出标有1，3的两张卡片”；
X＝5，表示“取出标有2，3或标有1，4的两张卡片”；
X＝6，表示“取出标有2，4或1，5的两张卡片”；
X＝7，表示“取出标有3，4或2，5或1，6的两张卡片”；
X＝8，表示“取出标有2，6或3，5的两张卡片”；
X＝9，表示“取出标有3，6或4，5的两张卡片”；
X＝10，表示“取出标有4，6的两张卡片”；
X＝11，表示“取出标有5，6的两张卡片”；
【说明】本题考查了随机变量的可能取值及试验结果；用随机变量表示随机试验的结果
问题的关键点和注意点：
1、关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果；
2、注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果；
例4、口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．
【提示】由题意得X的可能取值为3，4，5，6，是离散型随机变量．可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率；
【解析】随机变量X的可能取值为3，4，5，6；
从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C，
事件“X＝3”包含的基本事件总数为C，
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学习笔记
)事件“X＝4”包含的基本事件总数为CC，
事件“X＝5”包含的基本事件总数为CC，
事件“X＝6”包含的基本事件总数为CC.
从而有P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
【说明】本题考查了求随机变量的分布列的方法与步骤；
1、求随机变量的分布列的步骤：
（1）找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1，2，…，n)；
（2）求出取每一个值的概率P(X＝xi)＝pi.；
（3）列出表格。
2、求离散型随机变量分布列时应注意的问题
（1）确定离散型随机变量X的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．
（2）在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确；
例5、设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，求：
（1）P(X＝1或X＝2)；
（2）P；
【提示】先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，【解析】（1）∵i＝＋＋＋＝1，∴a＝10，
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学习笔记
)则P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝；
（2）由a＝10，
可得P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝.；
【说明】本题主要考查了分布列及其性质的应用；利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：
（1）X的各个取值表示的事件是互斥的.
（2）不仅要注意，而且要注意pi≥0，i＝1，2，…，n.
例6、【拓展】袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝求X的分布列；
【提示】X只有两个可能取值，属于二点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，最后列出表格的形式即可；
【解析】由题设可知X服从二点分布．
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝.
∴X的分布列为；
【说明】本题考查了两步法判断一个分布是否为二点分布：
（1）看取值：随机变量只取两个值0和1；
（2）验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立；
(
方法归纳
)如果一个分布满足以上两点，则该分布是二点分布，否则不是二点分布；
1、随机变量的辨析方法
（1）随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同；
（2）随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果；
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量；
2、问题探究
(
学习笔记
)（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？
【解析】可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上；
（2）在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？
【解析】　X＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10；
3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为X，则“X≥4”表示的随机事件是什么？
【解析】“X≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点;
4、利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些问题有什么共同点？
【解析】这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从二点分布的随机变量．
5、只取两个不同值的随机变量是否一定服从二点分布？
【解析】不一定．如随机变量X的分布列由下表给出
X不服从二点分布，因为X的取值不是0或1；
(
巩固练习
)
1、设某项试验成功的概率是失败概率的2倍，记Y＝则P(Y＝0)＝(　　)
A．0　　　　B．　　　　C.　　　　D．
【答案】C；
【解析】由题意知，可设P(Y＝1)＝p，则P(Y＝0)＝1－p，又p＝2(1－p)，解得p＝，故P(Y＝0)＝；
2、设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X 0 1
P 9a2－a 3－8a
则常数a的值为(　　)
A．　 B． C．或 D．－或－
【答案】A；
【解析】由随机变量分布列的性质可得
(
学习笔记
)解得a＝.]
3、袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是________．
【答案】9；
【解析】由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1,2,3,4,5中某个．故两次抽取球号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9种．
4、甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________．
【答案】　0,1,2,3
【解析】　甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．
5、已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2，….则P(2＜X≤4)等于
【答案】；
【解析】　2＜X≤4时，X＝3,4；所以P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
6、已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围为________．
【答案】　
【解析】　设X的分布列为
X x1 x2 x3
P a－d a a＋d
由离散型随机变量分布列的基本性质知
解得－≤d≤.
7、在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．
（1）求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；
（2）若胜场次数为X，求X的分布列．
【解析】（1）若胜一场，则其余为平，共有C＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有CC＋C＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况．综上，共有31种情况．
(
学习笔记
)（2）X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，
所以X的分布列为
8、从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的分布列．
【解析】从箱中取两个球的情形有以下6种：
{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．
当取到2白时，结果输2元，随机变量X＝－2；
当取到1白1黄时，输1元，随机变量X＝－1；
当取到1白1黑时，随机变量X＝1；
当取到2黄时，X＝0；
当取到1黑1黄时，X＝2；
当取到2黑时，X＝4.
则X的可能取值为－2，－1，0，1，2，4.
P(X＝－2)＝＝，P(X＝－1)＝＝，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝.
从而得到X的分布列如下：