7.1.1数系的扩充和复数的概念课件-2022-2023学年高一下学期人教A版（2019）数学必修第二册(共22张PPT)

(共22张PPT)
对于一元二次方程 ，当 时，没有实数根．因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，诸如此类问题将无法解决．
引入
如何解决数学家在研究解方程问题时遇到的负实数开平方问题呢？
问题 从方程的角度看，负实数能不能开平方，实际上就是方程x2=-a（a＞0）有没有解的问题．把这类问题再进一步简化，
最终转化为最简单的方程x2+1=0有没有解的问题.
x2+1=0在实数集中无解，能否引入新数，适当地扩充实数集，使这个方程在新数集中有解呢？
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
人教A版高中数学必修第二册
今天真顺，可是我现在
共捕了多少头野猪呢？
有办法了，用结绳来计数！
我真是天才！
计数的需要
自然数
被“数”出来的自然数
远古时期的人类，用划痕、 石子、结绳记数，创造了自然数1.2.3.4. 5……
自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地.
相反量的需要
负数
被“欠”出来的负数
东汉初期的“九章算术”中就有负数的说法．
负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾.
记出入账
等额公平分配的需要
分数
被“分”出来的分数
分数的引入,解决了在整数中不能整除的矛盾.
大约在春秋战国时期
《九章算术》 (东汉初年) :
第二章“粟米”：粮食的按比例折换；
第三章“衰分”：比例分配问题；
第六章“均输”：合理摊派赋税；
第八章 “方程”：解一次方程组.
无论是负数、分数的确切定义和科学表示，还是它们的运算，最早建立起来的都是中国，比欧洲早1400年.
毕达哥拉斯（约公元前560—480年）
1
1

x2=2
度量计算的需要
无理数
边长为1的正方形的对角线长是多少
被“推”出来的无理数
约2500年前，古希腊的毕达哥拉斯学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数, 引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数。
无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.
自然数集
整数集
有理数集
实数集
刻画相反意义的量
引入了
负数
解决测量等分问题
引入了
分数
解决度量正方体对角线等问题
引入了
无理数
自然数
负整数
整数
无理数
有理数
分数
实数
从社会实践来看
随着社会发展，数系在不断扩充．
计数的需要
引入了
自然数
从数学发展的角度来看
（2）在整数集中求方程2x-1=0的解；
自然数集
N
整数集
Z
有理数集
Q
实数集
R
无解
有解
无解
有解
有解
无解
（3）在有理数集中求x2-2=0方程的解；
数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题．
（4）在实数集中求x2+1=0方程的解．
无解
有解
？
引入
新数
（1）在自然集中求方程x+1=0的解；
如果没有运算，数只是孤立的符号！
有理数集
实数集
运算
运算律
交换律
结合律
分配律
交换律
结合律
分配律
数系扩充规则：数集扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．
引入了
无理数
＋（－）
×（÷）
＋（－）
×（÷）
问题 数系经过扩充后，在运算上遵循了什么规则？
回到问题：求下列方程的解
希望：引进一个新数使方程有解
设想：引入的新数能像实数那样进行加法、乘法运算，保持原有的（实数）加法、乘法运算律仍成立
1、引进一个新数
历史上，新数i是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的，他用了“imaginary”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的.
我们可以引入一个数“i”，使i2=-1，
这样x=i就是方程x2+1=0的解．
实数
新数i
加法运算
乘法运算
a+i
bi
a+bi(a，b∈R)
3+i
2i
3+2i
依据规则：在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致．
(1)形如 的数叫做复数,通常用字母 z 表示.
(2)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用C 表示.
实部
虚部
2、复数与数系的扩充
i 叫虚数单位
3、复数的分类
实数
纯虚数
虚数
实数R
纯虚数
虚数
复数集C
4 、复数相等
规定：
如果两复数能比较大小，那么这两复数一定为实数。
思考: 任意两个复数可以比大小吗？
例1. 将下列复数分类，分出实数、纯虚数和虚数，并指出虚数的实部与虚部。
复数集C
实数R
纯虚数
虚数
复数集C
(2)当 ，即 时，复数 z 是虚数．
例2 实数m取什么值时，复数 是
(1) 实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
解：(1) 当 ，即 时，复数 z 是实数．
(3)当 ，且 ，
即 时，复数 z 是纯虚数．
作业
1.半期同步测试题（一）；
2.半期复习.
在几何上，我们用什么来表示实数
实数的几何意义
类比实数的表示，可以用什么来表示复数？
实数可以用数轴上的点来表示。
实数
数轴上的点
(形)
(数)
一一对应
复数的一般形式？
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
一个复数由什么唯一确定？
由一个有序实数对（a,b）唯一确定