长春博硕学校2022—2023学年度下学期
高一年级期中考试数学学科试卷
考试时间： 120分钟 满分： 150分
审题人：高一数学组
一、单选
1. 若复数，则的共轭复数在复平面上对应的点为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由共轭复数的定义得共轭复数，进而可得解.
【详解】∵，∴，∴在复平面上对应点为．
故选D．
【点睛】本题主要考查了共轭复数的概念，考查了复数的几何意义，属于基础题.
2. 已知AD为的中线，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算可直接求得结果.
【详解】为中线，，即.
故选：.
【点睛】本题考查平面向量线性运算问题，属于基础题.
3. 已知在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用余弦定理可解得，由此可知为直角三角形，所以.
【详解】由余弦定理可得，
解得，所以，
所以为直角三角形，
则在中，．
故选：A.
4. 已知为单位向量，，向量的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用投影向量定义即可求得在上的投影向量.
【详解】在上的投影向量是
故选：B
5. 某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设船的实际速度为，则，由题意可得，即，代入计算即可求出答案．
【详解】解：设船的实际速度为，则，
北岸的点在的正北方向，游船正好到达处，则，
所以，
即，解得，
故选：D．
6. 为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
【答案】C
【解析】
【分析】由，再根据平移规则，得到答案．
【详解】由，
所以为了得到函数的图像，函数需要向右平移个单位，
即，
故选：C．
7. 已知，则下列描述中正确的是（ ）
A. 函数周期
B. 当，函数最大值是
C. 直线不是该函数的一条对称轴
D. 当，函数没有最小值
【答案】B
【解析】
【分析】由三角恒等变换化简函数关系式，再根据三角函数的单调性、周期性、对称性判定选项即可.
【详解】，
显然周期,故A错误；
当时，，(时取得)，故B正确；
由B知，时函数取得最值，则是该函数的一条对称轴，故C错误；
当时，，函数有最小值，在时取得，故D错误.
故选：B.
8. 在中，角所对的边分别为，且.若，则的最大值是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理和已知求出，再利用正弦定理求得，在中，运用余弦定理和的范围可得答案.
【详解】由正弦定理、可得，
因为，所以，
所以，
为三角形的内角，，
由正弦定理可得，其中为的外接圆半径，
，
，
在中，运用余弦定理，可得
，
化简，可得，
，
当时，取得最大值，
.
故选：C.
二、多选
9. 下列说法错误的有（ ）
A. 三点确定一个平面
B. 平面外两点A、B可确定一个平面与平面平行
C. 三个平面相交，交线平行
D. 棱台的侧棱延长后必交与一点
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用平面的基本性质判断选项A；举反例判断选项BC；利用棱台的定义判断选项D即得解.
【详解】A. 不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，所以该选项错误；
B. 平面外两点A、B在平面的垂线上，则经过A、B不能确定一个平面与平面平行，所以该选项错误；
C. 三个平面相交，交线不一定平行，如三棱锥的三个侧面，所以该选项错误；
D. 棱台的侧棱延长后必交与一点，所以该选项正确.
故选：ABC
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若复数，则
B. 若i为虚数单位，n为正整数，则
C. 若，则
D. 若，其中a，b为实数，a=1，b=-1
【答案】AD
【解析】
【分析】利用复数的性质判断选项A；通过计算判断选项BD；举反例判断选项C即得解.
【详解】A. 若复数，则,所以该选项正确；
B. 若i为虚数单位，n为正整数，则，所以该选项错误；
C. 若，则不一定成立，如，所以该选项错误；
D. 若，其中a，b为实数，则 .所以该选项正确.
故选：AD
11. 在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则为锐角三角形
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则是等腰三角形
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，用余弦定理可以判定；对于B，利用正弦函数单调性及诱导公式即可判定；对于C，由正弦函数的性质结合三角形内角即可判定；对于D，利用正弦定理及两角和的正弦公式即可判定.
【详解】对于A，由余弦定理可得，即，但无法判定A、C的范围，故A错误；
对于B，若为锐角三角形，则有，由正弦函数的单调性可得，故B正确；
对于C，若，由正弦函数的性质可得或，又，故或，所以C错误；
对于D，若，由正弦定理可得，结合两角和的正弦公式得
又，所以，故，所以D正确
故选：BD
12. 已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（ ）
A.
B. 若为偶函数，则
C. 若在区间上单调递增，则的最大值为
D. 若的一个对称中心为，则
【答案】BC
【解析】
【分析】求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的最大值判断选项C；求得的值判断选项D.
【详解】，
由图象的相邻两对称轴间的距离为，可得周期，
则.则.
选项A：由可得选项A判断错误；
选项B：若为偶函数，则，
则或，
又，则.判断正确；
选项C：由，可得，
又，且在区间上单调递增，
则，解之得，则的最大值为.判断正确；
选项D：由的一个对称中心为，
可得，则，
又，则.判断错误.
故选：BC
三、填空题
13. 复数____.
【答案】##
【解析】
【分析】利用复数除法即可求得的化简结果.
【详解】
故答案为：
14. 如图，已知的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角，则的面积为________
【答案】
【解析】
【分析】根据直观图画出原图，求出即得解.
【详解】根据直观图画出原图，如图所示，,,
所以.
故答案为：
15. 已知正三棱锥侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________.
【答案】
【解析】
【分析】
正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出表面积.
【详解】解析：过点作平面于点，记球心为.
∵在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为，
∴，
∴.
∵球心到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长，
∴，.
在中，，
即，解得，
∴外接球的表面积为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查正三棱锥的外接球的表面积以及计算能力，属于中档题.
16. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为_____________
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的图象，结合三角函数的性质，求得，进而求得函数的单调递减区间.
【详解】由函数的图象，可得，，即，
所以，即，
又由，可得，解得，即，
因为，所以，即，
令，解得，
即函数的递减区间为.
故答案为：.
四、解答题
17. 已知复数在复平面内所对应的点为.
（1）若复数为纯虚数，求的值；
（2）若点在第三象限，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简，再利用为纯虚数列方程组即可求解（2）依题意的实部和虚部均小于，解此不等式组即可求解
【小问1详解】
由题意得，
因为为纯虚数，
所以，解得.
【小问2详解】
复数在平面内所对应的点为，
因为点在第三象限，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
18. 如图，在梯形中，为的中点，，，，．
（1）求的值；
（2）求与夹角的余弦值．
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）首先由已知条件得出为等边三角形，，把和作为一组基向量，分别表示出和，直接计算即可．
（2）把和作为一组基向量，表示出，结合（1），由代入计算即可．
【小问1详解】
因为，，
所以，
又因为，
所以为等边三角形，
所以，，
在中，由得，
所以，
所以，
由，，
则．
【小问2详解】
由（1）得，，，
又，，
则
，
又，
，
所以．
19. 在中，已知，，．
（1）求面积；
（2）求内切圆半径．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由三角形面积计算公式，代入计算即可；
（2）首先由余弦定理求出，再由等面积法即可求出内切圆半径．
【小问1详解】
因为，，，
所以．
【小问2详解】
由，
解得，
设内切圆半径为，
则，
所以，
故内切圆半径为．
20. 如图，棱长为6的正方体，截去八个一样的四面体，得到一个新的多面体，
（1）求新多面体的体积；
（2）新多面体的表面积是多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正方体的体积减去八个四面体的体积即可求解；
（2）分别求出新多面体每个侧面的面积，相加即可.
【小问1详解】
由题意正方体的体积，
截去的每个四面体的体积，
所以新多面体的体积.
【小问2详解】
由图可知新多面体的侧面由6个正方形和8个正三角形组成，
正方形的边长和正三角形的棱长均为，正三角形的高为，
所以正方形面积，三角形面积，
所以新多面体的表面积.
21. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式及对称中心坐标：
（2）先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由最大值和最小值求得，的值，由以及可得的值，再由最高点可求得的值，即可得的解析式，由正弦函数的对称中心可得对称中心；
（2）由图象的平移变换求得的解析式，由正弦函数的性质可得的值域，令的取值为的值域，解不等式即可求解.
【小问1详解】
由题意可得：，可得，所以，
因为，所以，可得，
所以，
由可得，
因为，所以，，所以.
令可得，所以对称中心为.
【小问2详解】
由题意可得：，
当时，，，
若关于的方程有实数根，则有实根，
所以，可得：.
所以实数的取值范围为.
22. 已知向量.
（1）当时，求的值；
（2）设函数，且，求最大值以及对应的的值.
【答案】（1）1； （2）时，取最大值，最大值为
【解析】
【分析】（1）利用题给条件列方程即可求得的值；
（2）先利用向量的数量积化简的解析式，再利用三角函数性质即可求得的最大值以及对应的的值.
【小问1详解】
，
，
，.
【小问2详解】
因为，
所以，
，
所以，
所以，
由，可得，所以，
所以，
当，即时，取最大值，最大值为.长春博硕学校2022—2023学年度下学期
高一年级期中考试数学学科试卷
考试时间： 120分钟 满分： 150分
审题人：高一数学组
一、单选
1. 若复数，则共轭复数在复平面上对应的点为
A. B. C. D.
2. 已知AD为的中线，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 已知在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知为单位向量，，向量的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
5. 某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（ ）
A. B. C. D.
6. 为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
7. 已知，则下列描述中正确的是（ ）
A. 函数周期是
B. 当，函数最大值是
C. 直线不是该函数的一条对称轴
D. 当，函数没有最小值
8. 在中，角所对的边分别为，且.若，则的最大值是（ ）
A. 3 B. C. D.
二、多选
9. 下列说法错误的有（ ）
A. 三点确定一个平面
B. 平面外两点A、B可确定一个平面与平面平行
C. 三个平面相交，交线平行
D. 棱台的侧棱延长后必交与一点
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若复数，则
B. 若i为虚数单位，n为正整数，则
C. 若，则
D. 若，其中a，b为实数，a=1，b=-1
11. 在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则为锐角三角形
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则是等腰三角形
12. 已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（ ）
A.
B. 若为偶函数，则
C. 若在区间上单调递增，则的最大值为
D. 若的一个对称中心为，则
三、填空题
13 复数____.
14. 如图，已知的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角，则的面积为________
15. 已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________.
16. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为_____________
四、解答题
17. 已知复数在复平面内所对应的点为.
（1）若复数为纯虚数，求的值；
（2）若点在第三象限，求的取值范围.
18. 如图，在梯形中，为的中点，，，，．
（1）求值；
（2）求与夹角的余弦值．
19. 在中，已知，，．
（1）求面积；
（2）求内切圆半径．
20. 如图，棱长为6的正方体，截去八个一样的四面体，得到一个新的多面体，
（1）求新多面体的体积；
（2）新多面体的表面积是多少？
21. 已知函数部分图象如图所示.
（1）求的解析式及对称中心坐标：
（2）先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.
22 已知向量.
（1）当时，求的值；
（2）设函数，且，求的最大值以及对应的的值.
