21.2.1.1 直接开平方法 课件（17张PPT）

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21.2.1.1 直接开平方法
1．会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程．
2．运用开平方法解形如x2＝p或(x＋n)2＝p(p≥0)的方程．
你会解哪些方程？你是如何解的？
二元、三元一次方程组
一元一次方程
分式方程
消元
去分母
思考：如何解一元二次方程？又有怎样的思想方法呢？
一般步骤
1．去分母
2．去括号
3．移项
4．合并同类项
5．系数化为1
代入消元法
加减消元法
问题 一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程
解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，列出方程
整理，得
x2＝25．
根据平方根的意义，得
即x1＝5，x2＝－5．
因棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm．
x＝±5．
用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义．
10×6x2＝1 500．
（2）当p＝0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根x1＝x2＝0；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程（Ⅰ）无实数根．
一般地，对于方程x2＝p，（Ⅰ）
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根
根据平方根的意义，直接用开平方的方法求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法．
直接开平方法解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程
探究：对照上面的方法，你认为应怎样解方程(x＋3)2＝5？
由方程x2＝25，得x＝±5．由此想到：
由方程(x＋3)2＝5，①
得
即 或
②
于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为
解法中，由方程①得到②，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了．
直接开平方法解一元二次方程的“三步法”
开方
求解
变形
将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常数的形式；
利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程；
解一元一次方程，得出方程的根．
例1 解下列方程：
（2）36x2－1＝0．
（1）2x2＝8；
解：（1）二次项系数化为1，得x2＝4．
开平方，得x＝±2．
即 x1＝2，x2＝－2．
解：（2）移项，得36x2＝1．
即 ．
二次项系数化为1，得x2＝ ．
开平方，得x＝± ．
例1 解下列方程：
（2）36x2－1＝0．
（1）2x2＝8；
例2 解下列方程：
（1）(x＋5)2＝25；
解：（1）直接开平方，得x＋5＝±5，
即x＋5＝5或x＋5＝－5．
所以x1＝0，x2＝－10．
（2）4(x－3)2－32＝0．
（2）4(x－3)2－32＝0．
解：（2）移项，得4(x－3)2＝32．
二次项系数化为1，得(x－3)2＝8．
直接开平方，得x－3＝ ．
即 或
一移
二化
三开
四解
五写
用直接开平方法解一元二次方程的步骤
所以 ， ．
1．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是（　　）
A．x－6＝－4　　　　　　　　　　　　B．x－6＝4
C．x＋6＝4　　　　　　　　　　　　　D．x＋6＝－4
D
C．4(x－1)2＝9，解方程，得4(x－1)＝±3，x1＝ ，x2＝
D．(2x＋3)2＝25，解方程，得2x＋3＝±5，x1＝1，x2＝－4
2．下列解方程的过程中，正确的是（　　）
A．x2＝－2，解方程，得x＝±
B．(x－2)2＝4，解方程，得x－2＝2，x＝4
D
（1）方程x2＝0.25的根是___________________．
（2）方程2x2＝18的根是________________．
（3）方程(2x－1)2＝9的根是_______________．
x1＝0.5，x2＝－0.5
x1＝3，x2＝－3
x1＝2，x2＝－1
3．填空：
4．解下列方程：
（1）x2－81＝0；　　　（2）2x2＝50；　　　（3）(x＋1)2＝4．
解：（1）x1＝9，x2＝－9．
（2）x1＝5，x2＝－5．
（3）x1＝1，x2＝－3．
直接开平方法
概念
步骤
基本思路
利用平方根的定义求方程的根的方法
关键要把方程化成x2＝p(p≥0)或
(x＋n)2＝p(p≥0)的形式
一元二次方程
两个一元一次方程
降次
直接开平方法