21.2.1.2 配方法 课件（20张PPT）

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21.2.1.2 配方法
1．理解配方法的概念．
2．能够用配方法解一元二次方程及解决有关问题．
3．探索直接开平方法和配方法之间的区别与联系．
（1）9x2＝1；
（2）(x－2)2＝2．
1．用直接开平方法解下列方程：
2．你还记得完全平方公式吗？填一填：
（1）a2＋2ab＋b2＝( )2；
（2）a2－2ab＋b2＝( )2．
a＋b
a－b
解：（1）
（2）
下列方程能用直接开平方法来解吗
（1）x2＋6x＋9＝5；
（2）x2＋4x＋1＝0．
？
解：方程变形为(x＋3)2＝5，
试一试，解方程：x2＋6x＋9＝5．
开平方，得
解得
将方程左边因式分解，得到完全平方式
用直接开平方法解方程
任何一元二次方程都可以通过配方法求解．那如何配方呢？
填上适当的数或式，使下列各等式成立．
（1）x2＋4x＋ ＝(x＋ )2；
（2）x2－6x＋ ＝(x－ )2；
（3）x2＋8x＋ ＝(x＋ )2；
（4）
x2－ x＋ ＝(x－ )2．
你发现了什么规律？
22
2
32
3
42
4
对于二次项系数为1的二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方式．
填一填：
x2＋px＋( )2＝(x＋ )2．
把握二次项系数为1的完全平方式的特点：
常数项等于一次项系数一半的平方．
配方的关键
想一想 怎样解方程x2＋4x＋1＝0 (I)
问题1 能不能将方程(I)变成(x＋n)2＝p的形式呢？
解：
x2＋4x＋1＝0
x2＋4x＝－1
移项
x2＋4x＋4＝－1＋4
两边都加上4
为什么在方程x2＋4x＝－1的两边加上4？加其他的数，行吗？
(x＋2)2＝3
左边写成完全平方的形式
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
配方法解一元二次方程的基本思路
把方程化为(x＋n)2＝p的形式，再运用直接开平方法降次，转化为两个一元一次方程求解．
解：（1）移项，得x2－8x＝－1．　　　　　　
例1 解下列方程：
（1）x2－8x＋1＝0；　　（2）2x2＋1＝3x；　　（3）3x2－6x＋4＝0．
配方，得x2－8x＋42＝－1＋42，
即(x－4)2＝15．
由此可得x－4＝±
＝4＋，＝4－．
解：（2）移项，得2x2－3x＝－1．
二次项系数化为1，得 ．
直接开平方，得
解得
配方，得
即 ．
写成 ，不要写成 ，避免配方出错．
例1 解下列方程：
（1）x2－8x＋1＝0；　　（2）2x2＋1＝3x；　　（3）3x2－6x＋4＝0．
解：（3）移项，得3x2－6x＝－4．　　
二次项系数化为1，得x2－2x＝－　　　
配方，得x2－2x＋12＝－＋12，即(x－1)2＝－．
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，上式不成立，即原方程无实数根．　　　　
注意：在(x＋n)2＝p中，只有当p≥0时，才能直接开平方，p＜0时，直接下结论：方程无实数根．
例1 解下列方程：
（1）x2－8x＋1＝0；　　（2）2x2＋1＝3x；　　（3）3x2－6x＋4＝0．
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一般步骤 方法
一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边
二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数
三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
四开 开平方求根 利用平方根的意义直接开平方
例2 用配方法求最值．
（1）2x2－4x＋5的最小值；　（2）－3x2＋6x－7的最大值．
解：（1）原式＝2(x－1)2＋3．
当x＝1时，有最小值3．
（2）原式＝－3(x－1)2－4．
当x＝1时，有最大值－4．
ax2＋bx＋c(a，b，c均为常数)型代数式求最值或证明恒为正（负）等问题时，都要想到运用配方法，将含字母部分配成a(x＋m)2＋n的形式来解决．
例3 若a，b，c为△ABC的三边长，且
试判断△ABC的形状．
∴△ABC为直角三角形．
解：将原式配方，得
由非负式的性质可知
即
∴
1．方程x2－4＝0的解是（　　）
A．x＝2　　　　B．x＝－2　　　　C．x＝±2　　　　D．x＝±4
2．方程2x2－3m－x＋m2＋2＝0有一根为x＝0，则m的值为（　　）
A．1　　　　 B．1 C．1或2 D．1或－2
C
C
3．解方程：(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8．
解：方程化简，得x2＋2x＋5＝8．
移项，得x2＋2x＝3．
配方，得x2＋2x＋1＝3＋1，
即(x＋1)2＝4．
开平方，得x＋1＝±2．
解得x1＝1，x2＝－3．
解：配方，得x2－4x＋(－2)2＝1＋(－2)2，
即(x－2)2＝5．
开平方，得x－2＝±．
解得x1＝2＋，x2＝2－．
4．用配方法解x2－4x＝1．
5．解方程：3x2＋8x－3＝0．
解：两边同除以3，移项得x2＋x＝1．
配方，得x2＋x＋()2＝()2＋1，即(x＋)2＝．
开方，得x＋＝±，
即x＋＝或x＋＝－．
所以x1＝，x2＝－3．
配方法
定义
步骤
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法
一移；二化；三配；四开
应用
求代数式的最值或证明