21.2.2.1 一元二次方程根的判别式 课件（21张PPT）

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21.2.2.1 一元二次方程根的判别式
1．会用一元二次方程根的判别式判断根的情况．
2．能根据根的情况，确定方程中字母系数的取值范围．
问题 老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？
我们可以用配方法解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)．
移项，得
二次项系数化为1，得
配方，得
即
∵a≠0，∴4a2＞0． 式子b2－4ac的值有以下三种情况:
（1）
（2）
（3）
判别式的情况 一元二次方程根的情况
两个不相等实数根
两个相等实数根
没有实数根
两个实数根
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
Δ≥0
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac．
ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)
一元二次方程
Δ的值
根的情况
按要求填表：
0
4
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
3．判断根的情况，得出结论．
1．化为一般式，确定a，b，c的值．
根的判别式的使用方法
2．计算Δ的值，确定Δ的符号．
例1 不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x2＋x－4＝0； （2）4y2＋9＝12y； （3）5(t2＋1)－6t＝0．
解：（1）这里a＝2，b＝1，c＝－4，
∵Δ＝b2－4ac＝12－4×2×(－4)＝33＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
这里a＝4，b＝－12，c＝9．
∵Δ＝b2－4ac＝(－12)2－4×4×9＝0，
∴原方程有两个相等的实数根．
解：（2）把原方程化为一般形式，得
4y2－12y＋9＝0．
例1 不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x2＋x－4＝0； （2）4y2＋9＝12y； （3）5(t2＋1)－6t＝0．
解：（3）把原方程化为一般形式，得
5t2－6t＋5＝0．
这里a＝5，b＝－6，c＝5．
∵Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×5×5＝－64＜0，
∴原方程没有实数根．
例1 不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x2＋x－4＝0； （2）4y2＋9＝12y； （3）5(t2＋1)－6t＝0．
例2 已知关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）选择一个k的正整数值，并求出方程的根．
解:（1）∵关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(－3)2－4k＞0，即9－4k＞0，
解不等式，得k＜．
∵kx2－3x＋1＝0是一元二次方程，∴k≠0，
故k的取值范围是k＜且k≠0．
例2 已知关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）选择一个k的正整数值，并求出方程的根．
解：（2）取不等式k＜的一个正整数解k＝2，
则方程为2x2－3x＋1＝0．
应用配方法解这个方程，得x1＝1，x2＝．
（1）运用根的判别式时，必须将方程化为一般形式．
（2）方程有两个实数根时，Δ≥0．
（3）无法确定方程是否为一元二次方程时，应分类讨论．
有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2－12x＋k＝0的两根，求k的值．
解:（1）当另两边长都为等腰三角形的腰长时，方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即(－12)2－4k＝0，
解得k＝36．
此时方程为x2－12x＋36＝0，
解得x1＝x2＝6．
长为3，6，6的线段能构成等腰三角形．
有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2－12x＋k＝0的两根，求k的值．
（2）当3为等腰三角形的腰长时，x＝3是方程的根．
把x＝3代入方程，得9－36＋k＝0，∴k＝27，
∴方程为x2－12x＋27＝0，解得x1＝3，x2＝9．
∵3＋3＜9，
∴长为3，3，9的线段不能构成三角形，
∴k＝27不符合要求．
综上，k的值为36．
1．一元二次方程x2－5x＋7＝0的根的情况是（　　）
A
A．没有实数根 　　　　　　 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 　　　　 D．有两个实数根
解析：∵Δ＝(－5)2－4×1×7＝－3＜0，
∴此方程没有实数根．
2．若关于x的一元二次方程x2－4x＋5＝a有实数根，则a的取值范围是（　　）
D
A．a＜1　　　　　B．a＞1　　　　　C．a≤1　　　　　D．a≥1
Δ≥0
解析：整理方程，得x2－4x＋5－a＝0，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴Δ＝16－4×1×(5－a)≥0，
解得a≥1，
∴a的取值范围为a≥1．
3．关于x的方程m2x2＋(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ．
且
解析：∵a＝m2，b＝2m＋1，c＝1，方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝(2m＋1)2－4m2＝1＋4m＞0，∴m＞．
又二次项系数不为0，
∴m≠0，即m＞且m≠0．
4．若关于x的方程kx2－4x＋2＝0有实数根，则k的取值范围为_________．
k≤2
解析：分两种情况讨论．
（1）若方程为一元一次方程，则k＝0，
方程化为－4x＋2＝0，解得
（2）若方程为一元二次方程，则k≠0且Δ≥0，
即(－4)2－4×k×2≥0且k≠0，
解得k≤2且k≠0，
综上所述，k的取值范围为k≤2．
根的判别式Δ＝b2－4ac
与根的关系
应用
Δ＞0 方程有两个不相等的实数根
Δ＝0 方程有两个相等的实数根
Δ＜0 方程没有实数根
不解方程确定方程根的情况
由根的情况确定字母的值或范围