21.2.2.2 用公式法解一元二次方程 课件（19张PPT）

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21.2.2.2 用公式法解一元二次方程
2．会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程．
1．了解一元二次方程求根公式的推导过程．
请用配方法解下列方程：
方程（1）用配方法比较简单，方程（2）用配方法比较复杂，对于方程（2）有没有更好的方法呢？
（1）x2－4x＋3＝0； （2）3x2－＝4．
解：（1）x2－4x＋3＝0，
x2－4x＝－3，
x2－4x＋22＝－3＋22，
(x－2)2＝1，
x－2＝±1，
x1＝3，x2＝1．
（2）3x2－＝4，
x2－x＝，
x2－x＋＝，
＝，x－＝±，
∴x1＝，x2＝
用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
，
，
x2＋
，
当b2－4ac≥0时，
，
，
，
．
求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的结果．解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．
当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为
的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式．
例1 用公式法解方程：
（1）2x2＋5x－3＝0；　　　　　　　　 （2）4x2＝9x．
解：（1）这里a＝2，b＝5，c＝－3．
∵b2－4ac＝52－4×2×(－3)＝49＞0，
∴x＝＝＝．
即x1＝＝，x2＝＝－3．
例1 用公式法解方程：
（1）2x2＋5x－3＝0；　　　　　　　　 （2）4x2＝9x．
解：（2）将方程化为一般形式，得4x2－9x＝0．
这里a＝4，b＝－9，c＝0．
∵b2－4ac＝(－9)2－4×4×0＝81＞0，
∴x＝＝．
即x1＝＝，x2＝＝0．
用公式法解一元二次方程的步骤
1．把方程化为一般形式，一般应使a＞0；
2．指出一般式中的a，b，c的值；
3．计算代数式b2－4ac的值，判断其是否非负；
4．当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式求解．
例2 用公式法解方程：x2＋3＝2x．
解：将方程化为一般形式，得
x2－2x＋3＝0．
这里a＝1，b＝－2，c＝3．
∵b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝0，
∴x＝，
即x1＝x2＝．
此时b2－4ac＝0
方程有两个相等的实数根
例3 用公式法解方程，并求根的近似值（精确到0.01）：
(x＋1)(3x－1)＝1．
解：将方程化为一般形式，得3x2＋2x－2＝0．
这里a＝3，b＝2，c＝－2．
∵b2－4ac＝22－4×3×(－2)＝28＞0，
∴x＝＝．
即x1＝≈≈0.55，x2＝≈≈－1.22．
公式法求解一元二次方程的两点注意
（1）必须先将方程化成一般形式，再确定a，b，c的值．
（2）当b2－4ac≥0时，方程有实数根；
当b2－4ac＜0时，求根公式不成立，此时方程无实数根．
1．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是关于x的方程x2－6x＋8＝0的一个解，则这个三角形的周长为_______．
解析：x2－6x＋8＝0，这里a＝1，b＝－6，c＝8．
∵b2－4ac＝(－6)2－4×1×8＝4＞0，
∴x＝＝，即x1＝4，x2＝2．
∵6－3＜第三边的长＜6＋3，即3＜第三边的长＜9，
∴第三边的长为4．
∴这个三角形周长为3＋6＋4＝13．
13
2．用公式法解方程：(x－2)(1－3x)＝6．
解：化为一般式，得3x2－7x＋8＝0，
这里a＝3，b＝－7，c＝8．
∵b2－4ac＝(－7)2－4×3×8＝49－96＝－47＜0，
∴原方程没有实数根．
3．用公式法解下列一元二次方程．
（1）x2－3x－2＝0；
（2）－x2－2x＝2x＋1．
解：（1）∵a＝1，b＝－3，c＝－2，
∴b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－2)＝17＞0．
∴x＝＝．
∴．
解：（2）方程化为x2＋4x＋1＝0．
∵a＝1，b＝4，c＝1，
∴b2－4ac＝42－4×1×1＝12＞0，
∴x＝＝．
∴x1＝，x2＝．
3．用公式法解下列一元二次方程．
（1）x2－3x－2＝0；
（2）－x2－2x＝2x＋1．
4．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的一个根为0，求m的值．
解：把x＝0代入原方程，得m2－3m＋2＝0．
这里a＝1，b＝－3，c＝2，
∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1＞0，
∴m＝＝，即m1＝2，m2＝1．
又原方程为关于x的一元二次方程，
∴m－1≠0，即m≠1，∴m＝2．
5．无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出你的答案并说明理由．
解：方程化简为x2－5x＋6－p2＝0，
∴b2－4ac＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝4p2＋1≥1，
∴Δ＞0，
∴无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根．
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（Δ值）；
四代（求根公式计算）