21.2.3.1 用因式分解法解一元二次方程 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
21.2.3.1 用因式分解法解一元二次方程
1．了解因式分解法．
2．掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤，体会“降次”的数学思想方法．
①配方法：把常数项移到方程的右边，得x2－3x＝－2．
两边都加上2，得x2－3x＋2＝－2＋2．
即2＝．
两边开平方，得x－＝±．
即x－＝，或x－＝－．
∴x1＝2，x2＝1．
问题 请用两种不同方法解下面的一元二次方程：
　　　　　　　　　　x2－3x＋2＝0．
问题 请用两种不同方法解下面的一元二次方程：
　　　　　　　　　　x2－3x＋2＝0．
②公式法：这里a＝1，b＝－3，c＝2．
∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝2，x2＝1．
还有其他解法吗？
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s后物体离地面的高度（单位：m）为10x－4.9x2．
问题 设物体经过 x s落回地面，请说说你列出的方程．
10x－4.9x2＝0．
你能用配方法或公式法解方程10x－4.9x2＝0吗？
是否还有更简单的方法呢？
分解因式：左边提公因式，得x(10－4.9x)＝0，
降次：把方程化为两个一次方程，得x＝0或10－4.9x＝0，
求解：解这两个一次方程，得x1＝0，x2＝ ．
思考 解方程10x－4.9x2＝0时，二次方程是如何降为一次的？
解方程10x－4.9x2＝0时，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
理论依据：
ab＝0
a＝0或b＝0．
降次
结构特征：等号左边是两个因式的乘积，右边是0．
例1 解方程：x(x－2)＋x－2＝0．
整体思想：公因式x－2
解法一用到了整体思想，
解法二用到了十字相乘法．
解法一：因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0．
于是得x－2＝0，或x＋1＝0，
∴x1＝2，x2＝－1．
解法二：整理，得x2－x－2＝0，
因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0．
于是得x－2＝0，或x＋1＝0，
∴x1＝2，x2＝－1．
例2 解方程：
平方差公式
解：移项、合并同类项，得
4x2－1＝0．
因式分解，得
(2x＋1)(2x－1)＝0．
于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
∴＝－，＝．
用因式分解法解一元二次方程的步骤
注意：不能随意在方程两边约去含未知数的代数式，如x(x－1)＝x，若约去x，则会丢失x＝0这个根．
1．移项：将方程的右边化为0；
2．分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；
3．转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
4．求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解．
常见类型 因式分解 方程的解
x2＋bx＝0 x(x＋b)＝0 x1＝0，x2＝－b
x2－a2＝0 (x－a)(x＋a)＝0 x1＝－a，x2＝a
x2±2ax＋a2＝0 (x±a)2＝0 x1＝x2＝ a
x2＋(a＋b)x＋ab＝0 （a，b为常数） (x＋a)(x＋b)＝0 x1＝－a，x2＝－b
常见的可以用因式分解法求解的方程的类型
1．下列方程，最适合用因式分解法解的是（　　）
A．(x－1)(x－2)＝3 　 　 　　 B．2(x－1)2＝x2－1
C．x2＋2x－1＝0 　　　　　 D．x2＋4x＝2
B
解析：选项A，整理得x2－3x－1＝0，方程左边不能进行因式分解，故不适合；选项B，原方程可化为2(x－1)2＝(x＋1)(x－1)，移项后方程左边可提取公因式(x－1)，能进行因式分解；选项C，方程左边不能进行因式分解，故不适合；选项D，整理得x2＋4x－2＝0，方程左边不能进行因式分解，故不适合．
2．方程2x2＝3x的解为（　　）
A．x＝0　　　　B．x＝　　　　C．x＝－　　　　D．x1＝0，x2＝
解析：移项，得2x2－3x＝0，左边因式分解，得x(2x－3)＝0，
∴x＝0或2x－3＝0，
∴x1＝0，x2＝．
D
3．解下列方程：
（1） （2）
解：（1）化为一般式
x2－2x＋1＝0．
因式分解，得
(x－1)(x－1)＝0．
∴x－1＝0，
∴x1＝x2＝1．
（2）因式分解，得
(2x＋11)(2x－11)＝0．
∴2x＋11＝0，或2x－11＝0，
∴
4．由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：
x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
（1）尝试．
分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋ )(x＋ )；
2
4
（2）应用．
请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0．
解：（2）∵x2－3x－4＝x2＋(－4＋1)x＋(－4)×1＝(x－4)(x＋1)＝0，
∴x－4＝0，或x＋1＝0，
∴x1＝4，x2＝－1．
因式分解法
概念
步骤
如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0
原理
将方程左边因式分解，右边＝0
1．移项；2．分解；
3．转化；4．求解