21.2.3.2 一元二次方程解法的灵活选用 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
21.2.3.2 一元二次方程解法的灵活选用
1．能根据方程的特征，体会方程的不同解法．
2．能用配方法、公式法、因式分解法解对应形式的一元二次方程．
解一元二次方程的方法：
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
基本思路：
将二次方程化为一次方程，即降次．
配方法：
分别用配方法、公式法和因式分解法解方程10x－4.9x2＝0．
－x＝0，
－x＋＝0＋，
＝，
x－＝±，x＝±＋，
∴＝，＝0．
10x－4.9x2＝0化为一般式为4.9x2－10x＝0．
公式法：
∵a＝4.9，b＝－10，c＝0．
∴b2－4ac＝(－10)2－4×4.9×0＝100．
x＝＝，
∴ ＝，＝0．
分别用配方法、公式法和因式分解法解方程10x－4.9x2＝0．
因式分解法：
∴＝0，＝．
10x－4.9x2＝0，
x(10－4.9x)＝0，
x＝0或10－4.9x＝0，
分别用配方法、公式法和因式分解法解方程10x－4.9x2＝0．
一元二次方程解法的比较
方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点
直接开平方法 平方根的定义 (ax＋b)2＝n(a≠0，n≥0)型方程 开平方 求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程
因式分解法 若ab＝0，则a＝0或 b＝0 能化为一边为0，另一边为两个因式乘积的形式的方程 分解因式 求解迅速、准确，但适用范围小
配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 配方 解法繁琐，当二次项系数为1时用此法比较简单
公式法 配方 所有一元二次方程 代入求根公式 计算量大，易出现符号错误
配方法要先配方，再降次；
通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；
因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便．
总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．
例 用适当的方法解方程：
（1）3x(x＋5)＝5(x＋5)； （2）(5x＋1)2＝1；
分析：该式左右两边含公因式，所以用因式分解法解答较快．
解：变形得(3x－5)(x＋5)＝0．
即3x－5＝0，或x＋5＝0．
解得
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法．
解：开平方，得
5x＋1＝±1．
解得x1＝0，x2＝
开平方，得
例 用适当的方法解方程：
（3）x2－12x＝4； （4）3x2＝4x＋1．
分析：二次项系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法．
解：整理成一般形式，得3x2－4x－1＝0．
∵Δ＝b2－4ac＝28＞0，
分析：二次项系数为1，可用配方法．
解：配方，得x2－12x＋62＝4＋62，
即(x－6)2＝40．
解得x1＝ ，x2＝
一元二次方程的解法选择基本思路
1．一般地，当一次项系数为0时(ax2＋c＝0)，应选用直接开平方法；
2．若常数项为0(ax2＋bx＝0)，应选用因式分解法；
3．化为一般式(ax2＋bx＋c＝0)后，若一次项系数和常数项都不为0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法．系数含根式时也可选公式法．
1．将下列序号填到对应的横线上．
①x2－3x＋1＝0；②3x2－1＝0；③－3t2＋t＝0；④x2－4x＝2；
⑤2x2－x＝0；⑥5(m＋2)2＝8；⑦3y2－y－1＝0；⑧2x2＋4x－1＝0；
⑨(x－2)2＝2(x－2)．
适合运用直接开平方法：___________________；
适合运用因式分解法：___________________ ；
适合运用公式法：___________________ ；
适合运用配方法：___________________ ．
②
⑥
③
⑤
⑨
①
⑦
⑧
④
2．按题目要求的方法解下列方程：
（1）＜m＞＜/m＞；（直接开平方法）
解：＜m＞，
∴x＜/m＞，
∴＜m＞，＜m＞＜/m＞．
（2）＜m＞＜/m＞；（因式分解法）
解：＜m＞＜/m＞，
∴＜m＞＜/m＞，＜m＞＜/m＞．
（3）＜m＞＜/m＞．（配方法）
解：＜m＞＜/m＞，
∴＜m＞＜/m＞，＜m＞＜/m＞，
∴＜m＞＜/m＞，＜m＞＜/m＞．
3．用适当方法解下列方程：
（1）(2x＋3)2－25＝0； （2）x2＋5x＋7＝3x＋11；
解：化简，得
4x2＋12x＋9－25＝0，
整理，得x2＋3x－4＝0，
分解因式，得(x－1)(x＋4)＝0，
解得x1＝1，x2＝－4．
解：化简，得x2＋2x＝4，
配方法，得x2＋2x＋1＝5，
即(x＋1)2＝5，
解得
可得x＋=1=± ，
4．用公式法和因式分解法解方程x(5x＋4)－(4＋5x)＝0．
解：公式法：原方程化为一般形式，得5x2－x－4＝0．
∵a＝5，b＝－1，c＝－4，
b2－4ac＝(－1)2－4×5×(－4)＝81＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
∴x＝ ，∴x1＝ ，x2＝1．
因式分解法：方程左边提公因式，得
(5x＋4)(x－1)＝0，则x1＝　　，x2＝1．
解一元二次方程
解法
根的判别式
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
求根公式
前提：Δ≥0