21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1．探索一元二次方程的根与系数的关系．
2．不解方程，利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题．
（1）x2＋3x－4＝0；　　（2）x2－5x＋6＝0；　　（3）2x2＋3x＋1＝0．
一元二次方程 两根
x1 x2 x2＋3x－4＝0
x2－5x＋6＝0
2x2＋3x＋1＝0
－4
1
2
3
－1
－3
－4
5
6
将二次项系数化为1
方程的两根x1和x2与系数a，b，c有什么关系？
解下列方程并完成填空：
x1＋x2＝？
x1·x2＝？
（1）一元二次方程(x－x1)(x－x2)＝0（x1，x2为已知数）的两根是什么？若将此方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
方程x2＋px＋q＝0的两根x1，x2满足上面两个关系式
(x－x1)(x－x2)＝0
x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0
x2＋px＋q＝0
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q
（2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么，你可以发现什么结论？
注：b2－4ac≥0
↗
满足上述关系的前提条件
b2－4ac≥0．
如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么
一元二次方程的根与系数的关系
例1 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积．
（1）x2－6x－15＝0；　　（2）3x2＋7x－9＝0；　　（3）5x－1＝4x2．
注意公式自身的符号及系数的符号．
（2）x1＋x2＝－＝－，
x1x2＝＝＝－3．
解：（1）x1＋x2＝－(－6)＝6，
x1x2＝－15．
（3）化一般式，得4x2－5x＋1＝0，
用根与系数的关系前，一定要化成一般式．
x1＋x2＝－＝－＝，
x1x2＝＝．
例1 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积．
（1）x2－6x－15＝0；　　（2）3x2＋7x－9＝0；　　（3）5x－1＝4x2．
与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根x1，x2有关的几个代数式的变形
求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式，再整体代入．
1． ；
2． ；
3． ；
4． ；
5． ；
6． ．
例2 已知实数a，b分别满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则的值是（　　）
A． B． C． D．
A
∴．
解析：∵a2－6a＋4＝0和b2－6b＋4＝0两个等式的形式相同，且a≠b，
∴a，b可以看成是方程x2－6x＋4＝0的两个根，∴a＋b＝6，ab＝4，
解：设方程的两根分别为x1，x2，
例3 已知关于x的一元二次方程2x2－mx－2m＋1＝0的两根的平方和为 ，求m的值．
由已知得
∵ ，∴ ，
∴ ，解得m1＝－11，m2＝3．
求解此类问题时，必须将求出的字母的值代回原方程进行检验，看是否满足判别式Δ＞0，否则可能会多解．
当m＝－11时，方程为2x2＋11x＋23＝0，Δ＝121－4×2×23＝－63＜0，
方程无实数根，不合题意，应舍去；
当m＝3时，方程为2x2－3x－5＝0，Δ＝(－3)2－4×2×(－5)＝49＞0，
方程有两个不相等的实数根．综上所述，m的值为3．
1．关于x的方程x2＋px＋q＝0的根为x1＝1＋ ，x2＝1－ ，则p＝______，q＝______．
－2
－1
－7
2．已知方程5x2＋kx－6＝0的一根是2，则另一根是______，k＝______．
3．求下列方程的两根x1，x2的和与积．
（1）x2－3x＋2＝0；　　　　　　　（2）x2＋x＝5x＋6
解：（1）x1＋x2＝3，
x1x2＝2．
（2）化简得x2－4x－6＝0，
则x1＋x2＝4，x1x2＝－6．
4．已知两个数的和为8，积为9.75，求这两个数．
解：设其中一个数为x，则另一个数为8－x．
根据题意，得x(8－x)＝9.75，
整理，得x2－8x＋9.75＝0．
解得x1＝6.5，x2＝1.5．
当x＝6.5时，8－x＝1.5；当x＝1.5时，8－x＝6.5．
∴这两个数是6.5和1.5．
（1）　　　 ； 　　　　 （2） ．
5．x1，x2是方程x2－5x－7＝0的两根，不解方程求下列各式的值．
解：∵x1，x2是方程x2－5x－7＝0的两根，
则x1＋x2＝5，x1x2＝－7．
（1） ．
（1）　　　 ； 　　　　 （2） ．
5．x1，x2是方程x2－5x－7＝0的两根，不解方程求下列各式的值．
解：（2）
6．已知关于x的方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0的两根之和等于两根之积，求m的值．
解：设方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0的两根为x1，x2．
∴x1＋x2＝2m＋3，x1x2＝m2．
根据题意得m2＝2m＋3，解得m1＝3，m2＝－1．
当m＝3时，原方程为x2－9x＋9＝0，b2－4ac＝45＞0，方程有实数根．
当m＝－1时，原方程为x2－x＋1＝0，b2－4ac＝－3＜0，方程无实数根，此m值舍去．
∴m的值为3．
一元二次方程的根与系数的关系
内容
变形
如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别是x1，x2，
那么