人教版九年级数学上册课件 21.3.2 平均变化率与销售问题

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21.3.2 平均变化率与销售问题
1．能够建立数学模型以解决平均变化率和销售问题．
2．能正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型．
1．审清题意
2．设未知数
3．列方程
4．解方程验根
5．作答
列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：
平均变化率问题与一元二次方程
两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生产1 t乙种药品的成本是6 000元．随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，生产1 t乙种药品的成本是3 600元．哪种药品成本的年平均下降率较大？
分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为
(5 000－3 000)÷2＝1 000（元），
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
但是，年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）．
乙种药品成本的年平均下降额为
(6 000－3 600)÷2＝1 200（元）．
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，
则一年后甲种药品成本为5 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为5 000(1－x)2元，
于是有5 000(1－x)2＝3 000．
解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．
乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比较两种药品成本的年平均下降率．
解：设乙种药品的年平均下降率为y，
列方程得6 000(1－y)2＝3 600．
解方程，得y1≈0.225，y2≈1.775．
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%．
综上所述，甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同，都是22.5%．
经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同；
成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大．
不但要考虑它们的平均下降额，而且要考虑它们的平均下降率．
销售问题与一元二次方程
超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，每次就要减少10个销售量，为了赚8 000元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？
根据每件商品的利润×件数＝8 000，
分析：设每件商品涨价x元，则商品单价为_________元，
每个商品的利润为________________元，
因为每涨价1元，每次就要减少10个销售量，则每涨价x元，每次就要减少______
个销售量，故销售量为______________个，
可列方程为_______________________________．
[(50＋x)－40]
(500－10x)
10x
(50＋x)
(500－10x)·[(50＋x)－40]＝8 000
解：设每个商品涨价x元，则售价为(50＋x)元，销售量为(500－10x)个，
可列方程(500－10x)·[(50＋x)－40]＝8 000，
整理得x2－40x＋300＝0，
解得x1＝10，x2＝30，都符合题意．
当x＝10时，50＋x＝60，500－10x＝400；
当x＝30时，50＋x＝80，500－10x＝200．
答：要想赚8 000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进货量应为400个；若售价为80元，则进货量应为200个．
涨价时，销售量要保证大于0；
降价时，要保证单个利润大于0．
列一元二次方程解“每每问题”的五个步骤
（1）设每件商品涨价（降价）x元（有时设新的定价为未知数）；
（2）用含x的代数式表示每件商品的利润P；
（3）用含x的代数式表示涨价（降价）后商品的销售量Q；
（4）根据“单件利润×销售量＝销售利润”，得P·Q＝销售利润；
（5）解方程，取舍，作答．
列一元二次方程解决销售问题的“一二三”
1．一个相等关系：单件利润×销售量＝销售利润．
2．两个变量：单件利润、销售量是较难表示的两个量．
3．三个检验：列方程后检验每项的意义、检验方程根的求解是否正确、作答前验根是否符合实际．
例1 为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作，盐城市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率．
解：设增长率为x，
根据题意，得20(1＋x)2＝24.2．
解得x1＝－2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．
答：增长率为10%．
例2 假设某种糖的成本为8元/千克，售价为12元时，可卖100千克．若售价涨了1元，则少卖5千克，要想售卖这种糖果获取利润640元，且售价不高于成本价的2.5倍，则每千克糖应涨价多少元？
解：设每千克糖应涨价x元．
依题意得(4＋x)(100－5x)＝640，
解得x1＝4，x2＝12．
∵售价不高于成本价的2.5倍，
即x＋12≤2.5×8，
∴x≤8，
∴x＝4．
题目中有限定条件时，要注意取舍．
即每千克糖应涨价4元．
1．某厂今年一月的总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率是x，列方程为（　　）
A．500(1＋2x)＝720 　　　　　　　B．500(1＋x)2＝720
C．500(1＋x2)＝720　　　　　　　 D．720(1＋x)2＝500
B
2．受全球金融危机的影响，2015年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为（　　）
A．10%　　　　　B．20%　　　　　C．19%　　　　　D．25%
A
3．在园林化城市建设期间，某市2020年绿化面积约为1 000万平方米，2022年绿化面积约为1 210万平方米．如果近几年绿化面积的年增长率相同，则2023年绿化面积约为（　　）
A．1 221万平方米　　　　　　　　　　　　　B．1 331万平方米
C．1 231万平方米　　　　　　　　　　　　　D．1 323万平方米
B
4．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？
解：设商品的销售单价应降低x元，则商品的销售单价为(60－x)元，销售量为(300＋20x)件．
列方程，得(60－x－40)(300＋20x)＝6 080，
整理，得x2－5x＋4＝0，解方程，得x1＝1，x2＝4，
要使顾客得实惠，取x＝4，所以销售单价定为56元．
答：应将销售单价定为56元．
平均变化率与销售问题
增长率问题
降低率问题
a(1＋x)n＝b，其中a为增长前的量，x为增长率，n为增长次数，b为增长后的量
销售问题
a(1－x)n＝b，其中a为降低前的量，x为降低率，n为降低次数，b为降低后的量．注意：降低率不可为负，且不大于1
销售利润＝单件利润×销售量
＝(售价－进价)×销售量