21.3.3 几何图形问题 课件（18张PPT）

(共18张PPT)
21.3.3 几何图形问题
1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
2．能够列一元二次方程解有关特殊图形的实际问题．
(60＋2x)(40＋2x)＝3 500．
假如有一幅画长60 cm，宽40 cm，要给它四周裱上同样宽度的木框，使它的总面积达到3 500 cm2，设木框宽度为x cm，你能列出等式吗？
如图，要设计一本书的封面，封面长为27 cm，宽为21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
（1）根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的长宽之比也是27∶21＝9∶7，那你知道上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推．
设中央的矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是
（2）设上、下边衬的宽均为9x cm，而不是设为x cm，这样做有什么好处？
列出的方程为整数式，方便计算．
（3）解方程时课本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更简便解法吗？
原方程可化为
（4）方程的哪个根符合实际意义？为什么？
符合实际意义．
当 时，
上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合实际情况．
（5）如果设中央矩形的长为9x，根据课本上的等量关系，请你列方程求解，你的解法是什么？
设中央矩形的长为9x cm．则宽为7x cm．
列方程得 ．即x2＝ ，
解得 （舍去）．
∴上、下边衬的宽为 （cm），
左、右边衬的宽为 （cm）．
（6）练习：要为一幅长29 cm，宽22 cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，相框的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？
设相框宽度为x cm，根据题意，得 ．
整理得，8x2＋204x－319＝0，解得 ．
∴x1＝ ，x2＝ （不合题意，舍去）．
∴x＝ ≈1.5．
答：相框的宽度约为1.5 cm．
20
32
x
x
解：设道路的宽为x m．可列方程
例1 如图，在一块宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则道路的宽为多少？
还有其他列方程的方法吗？
方法一：
整理，得x2－52x＋100＝0，
解得x1＝2，x2＝50．
当x＝50时，32－x＝－18，不合题意，舍去．
∴x＝2．
答：道路的宽为2 m．
解：设道路的宽为x m．
可列方程(32－x)(20－x)＝540，
整理，得x2－52x＋100＝0，
解得x1＝2，x2＝50．
当x＝50时，32－x＝－18，不合题意，舍去．
∴x＝2．
答：道路的宽为2 m．
方法二：
20
32
x
x
20－x
32－x
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）．
例2 如图，要利用一面墙（墙足够长）建羊圈，用58 m的围栏围成面积为200 m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC各是多少米？
D
C
B
A
解：设AB长是x m．
则(58－2x)x＝200，
即x2－29x＋100＝0．
解得x1＝25，x2＝4．
当x＝25时，58－2x＝8；
当x＝4时，58－2x＝50．
答：羊圈的边长AB和BC各是25 m，8 m或4 m，50 m．
围墙问题一般先设其中的一条边为x，然后用x表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解．需要注意联系实际问题选择合适的解．
1．在一幅长80 cm，宽50 cm的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（　　）
A．x2＋130x－1 400＝0
B．x2＋65x－350＝0
C．x2－130x－1 400＝0
D．x2－65x－350＝0
80 cm
x
x
x
x
50 cm
B
2．一块矩形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5 cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3 000 cm3，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为x cm，则长为2x cm．
列方程，得5(2x－10)(x－10)＝3 000，
整理，得x2－15x－250＝0．
解得x1＝25，x2＝－10（舍去），
∴2x＝50．
答：铁板的长为50 cm，宽为25 cm．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm．点P沿AC边从点A向终点C以1 cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2 cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm ？
根据题意得AP＝x cm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2x cm．
解：设点P，Q出发x s后△PCQ的面积为9 cm ．
解得x1＝x2＝3．经检验，符合题意．
答：点P，Q出发3 s后可使△PCQ的面积为9 cm ．
整理，得
则有
几何图形问题与一元二次方程
几何图形
运用常见几何图形的
面积公式构建等量关系
类型
课本封面问题
小路宽度问题
常采用图形平移聚零为整，方便列方程
动点面积问题