22.1.1 二次函数 课件（22张PPT）

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第二十二章 二次函数
从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线．在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度 y 与它距离喷头的水平距离 x 之间有什么关系？
通过上述过程，我们对函数在反映现实世界的运动变化中的作用会有进一步的体会．
回答上述问题就要用到二次函数．
像学习一次函数一样，本章我们首先讨论什么样的函数是二次函数，然后讨论二次函数的图象和性质，并由此加深对一元二次方程的认识，最后运用二次函数分析和解决某些实际问题．
22.1.1 二次函数
1．理解并掌握二次函数的概念和一般形式．
2．会利用二次函数的概念解决问题．
3．能根据实际问题列二次函数解析式．
1．什么叫函数
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
3．一元二次方程的一般形式是什么？
一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数．当b＝0 时， y＝kx＋b即y＝kx，是正比例函数．
2．什么是一次函数？正比例函数呢？
ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为_______．
此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数．
y＝6x2
问题2 n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
分析：每个球队要与其他______个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为__________．
答：
此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有唯一的一个对应值，即m是n的函数．
n－1
问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？
分析：这种产品的年产量是20件， 一年后的产量是_________件，再经过一年的产量是__________件，即两年后的产量y＝__________．
答：
y＝20x2＋40x＋20．
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数．
20(1＋x)
20(1＋x)2
20(1＋x)2
思考：函数y＝6x2，m＝ n2－ n， y＝20x2＋40x＋20有什么共同点？
y＝6x2
自变量
函数
函数解析式
y
y
m
x
x
n
分析：认真观察以上三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数．
这些函数有什么共同点？
这些函数自变量的最高次项都是二次！
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式．
（2）a，b，c为常数，且a≠0．
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项．
（4）x的取值范围是任意实数．
一般地，形如y＝ax ＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．
例1 下列函数中，哪些是二次函数？
二次函数必须同时满足三个条件：
（1）函数解析式是整式．
（2）化简后自变量的最高次数是2．
（3）二次项系数不为0．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
例2 若y＝(m－2) xm －2＋4是二次函数，求m的值和函数解析式．
∴m＝－2， y＝－4x2＋4．
解：由题意得
∴
二次项系数不为0
自变量的最高次数是2
即当t＝2时，计算此时对应的y值．
例3 从地面向上抛一个小球，小球的飞行高度y（m）与飞行时间t（s）之间的关系式为y＝20t－5t2．
（1）抛出小球2 s后，小球的飞行高度是多少？
解：当t＝2时，y＝20×2－5×22＝40－20＝20，
故抛出小球2 s后，小球的飞行高度是20 m．
即当y＝15时，计算此时对应的t值．
（2）小球飞行多长时间后，飞行高度是15 m？
解：当y＝15时，20t－5t2＝15，
即 t2－4t＋3＝0，
解得 t1＝1，t2＝3．
故小球飞行1 s和3 s时，飞行高度是15 m．
例3 从地面向上抛一个小球，小球的飞行高度y（m）与飞行时间t（s）之间的关系式为y＝20t－5t2．
例4 把一根8 m长的钢筋，焊接成一个如图所示的框架，使其下部为矩形，上部为半圆形．请写出框架的面积y（m2）与半圆的半径x（m）之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）
解：由题意，得y＝＋8x－(2＋π)x2，
即y＝－( π＋2)x2＋8x．
框架面积＝半圆面积＋矩形面积
x
2x
解析：当x＝2时，y＝22＋3×2－5＝4＋6－5＝10－5＝5．
1．已知二次函数y＝x2＋3x－5，当x＝2时，y＝_____．
5
2．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝　　　　．
解析：∵一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴二月份研发资金为a×(1＋x)，
∴三月份的研发资金y＝a×(1＋x)×(1＋x)＝a(1＋x)2．
a(1＋x)2
3．正方形的边长为5 cm，若正方形的边长增加x cm时，其面积增加y cm2．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）当正方形的边长分别增加2 cm，3 cm时，正方形的面积分别增加多少？
解：（1）y＝(5＋x)2－52＝x2＋10x．　
（2）当x＝2时，y＝22＋10×2＝24；
当x＝3时，y＝32＋10×3＝39．
所以当正方形的边长分别增加2 cm，3 cm时，正方形的面积分别增加24 cm2，39 cm2．　
4．某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元（x＞50），每月销售这种篮球获利y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
解：（1）设篮球售价为x元，则销量减少了10(x－50)个．
根据题意，得
10(x－50)＜500，即x＜100．
所以y＝[500－10(x－50)](x－40)＝－10x2＋1 400x－40 000（50＜x＜100）．　
4．某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元（x＞50），每月销售这种篮球获利y元．
（2）超市计划下月销售这种篮球获利8 000元，又要吸引更多的顾客，则这种篮球的售价应定为多少元？
解： （2）当y＝8 000时， 即－10x2＋1 400x－40 000＝8 000，
解方程，得x＝60或80．
结合题意要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．　
二次函数
定 义
一般形式
特殊形式
右边是整式；
自变量的最高次数是2；
二次项系数a≠0
y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c是常数）
y＝ax2；
y＝ax2＋bx；
y＝ax2＋c（a≠0，a，b，c是常数）