22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 课件（21张PPT）

(共21张PPT)
22.1.2 二次函数 y＝ax 的图象和性质
1．正确理解抛物线的有关概念．
2．会用描点法画出二次函数y＝ax 的图象，概括图象的特点．
3．掌握二次函数y＝ax 的图象和性质，并会应用．
（1）一次函数的图象是什么？
（2）画函数图象的基本方法与步骤是什么？
（3）研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？
一条直线．
列表——描点——连线．
函数的图象．
在八年级下册，我们学习了一次函数的概念，研究了它的图象和性质．类比一次函数的研究方法，现在我们用数形结合的方法来研究二次函数的图象和性质．
画出二次函数y＝x2的图象．
（1）列表：在y＝x2中，自变量x可以是任意实数．列表表示几组对应值：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y
… 9 4 1 0 1 4 9 …
我们从最简单的二次函数y＝x2开始，逐步深入地讨论二次函数的图象和性质．
（2）描点．
（3）连线．
思考：连线时应注意什么问题？与同学交流．
1
2
3
4
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x
1
2
3
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5
6
7
8
9
10
y
O
－1
－2
－3
－4
－5
y＝x2
1
2
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x
1
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y
O
－1
－2
－3
－4
－5
y＝x2
当取更多个点时，函数y＝x2的图象如图．
这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴．
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点．
二次函数y＝x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线．
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y＝x2的图象有哪些性质，并与同伴交流．
1．y＝x2是一条抛物线；
5．图象有最低点．
4．顶点为(0，0)；
3．图象关于y轴对称；
2．图象开口向上；
1
2
3
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x
1
2
3
4
5
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y
O
－1
－2
－3
－4
－5
y＝x2
观察二次函数y＝x2的图象，y随x的变化如何变化？
从二次函数y＝x2的图象可以看出：
当x＜0时，y随x的增大而减小；
当x＞0时，y随x的增大而增大．
1
2
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x
1
2
3
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5
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y
O
－1
－2
－3
－4
－5
y＝x2
解：（1）列表．
8
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
4.5
例 在同一直角坐标系中画出函数y＝ x2和y＝2x2的图象．
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y＝ x2
x
y＝2x2
…
…
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
8
…
…
4.5
2
0.5
0
0.5
2
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8
1
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x
1
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4
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6
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10
y
O
－1
－2
－3
－4
－5
（2）描点．
（3）连线．
y＝2x2
y＝ x2
（1）函数y＝ x2和y＝2x2的图象与函数y＝x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
（2）当a＞0时，二次函数y＝ax2的图象有什么特点？
不同点：a值越大，抛物线的开口越小．
1
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x
1
2
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y
O
－1
－2
－3
－4
－5
y＝2x2
y＝ x2
y＝x2
相同点：开口向上．
顶点：原点(0，0)——最低点．
对称轴： y轴．
增减性：在y轴左侧，y随x增大而减小；在y轴右侧，y随x增大而增大．
二次函数y＝ax2(a＞0)的图象和性质如下表：
函数 图象 开口方向 开口大小 顶点坐标 对称轴 增减性 最值
y＝ax2 (a＞0) 向上 |a|越大， 开口越小 (0，0) y轴(直线x＝0) 左减 右增 当x＝0时，
y最小值＝0
（1）列表．
x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y＝－x2
y＝－ x2
y＝－2x2
…
…
－4
－2.25
－1
－0.25
0
－0.25
－1
－2.25
－4
…
…
－2
－2
－1.125
－0.5
－0.125
0
－0.125
－0.5
－1.125
…
…
－8
－4.5
－2
－0.5
0
－0.5
－2
－4.5
－8
在同一坐标系中画出函数 的图象．
（2）描点．
（3）连线．
x
1
y
－1
－2
－3
0
1
2
3
－1
－2
－3
－4
－5
x
1
y
－1
－2
－3
0
1
2
3
－1
－2
－3
－4
－5
（1）函数y＝－ x2和y＝－2x2的图象与函数y＝－x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
不同点：a值越小，抛物线的开口越小．
相同点：开口向下．
顶点：原点(0，0)——最高点．
对称轴：y轴．
增减性：在y轴左侧，y随x增大而增大；
在y轴右侧，y随x增大而减小．
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质如下表．
函数 y＝ax2 图象 开口方向 开口大小 顶点坐标 对称轴 增减性 最值
a＞0 向上 |a|越大， 开口越小 (0，0) y轴 （直线x＝0） 左减 右增 当x＝0时，
y最小值＝0
a＜0 向下 |a|越大， 开口越小 (0，0) y轴 （直线x＝0） 左增 右减 当x＝0时，
y最大值＝0
1．关于x的二次函数y＝－3x2，下列结论：
①图象的开口向下；②顶点是(0，0)；③图象有最低点；④当x＜0时，y随x的增大而增大．
其中正确的结论的个数为（　　）
A．1个　　　　　　B．2个　　　　　　C．3个　　　　　　D．4个
C
2．抛物线y＝0.5x2，y＝－3x2，y＝x2的开口最大的是（　　）
A．y＝0.5x2　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．y＝－3x2
C．y＝x2　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　D．无法确定
A
解：依题意，得
m＋1＞0，①
m2＋m＝2，②
解②，得m1＝ 2，m2＝1．
由①，得m＞ 1．
所以m＝1．
此时，二次函数的解析式为y＝2x2．
3．已知y＝ 是二次函数，其图象开口向上，求m的值和函数解析式．
二次函数y＝ax2的图象及性质
画法
描点法
列表、描点、连线
图象
抛物线
轴对称图形
性质
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性