22.1.4.2 用待定系数法求二次函数的解析式 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
22.1.4.2 用待定系数法求二次函数的解析式
1．知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数．
2．根据不共线的三点，会用待定系数法求二次函数的解析式．
3．根据具体问题的特征，能选择不同的方法确定二次函数的解析式．
1．求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
待定系数法
（1）设：设解析式；
（2）代：坐标代入；
（3）解：解方程（组）；
（4）还原：写解析式．
2．二次函数解析式：
顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点为(h，k)．
一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式．对于二次函数，由几个点的坐标可以确定二次函数的解析式？
已知一个二次函数的图象过点(－1，10)，(1，4)，
求这个函数的解析式．
第一步：设出解析式的形式；
第二步：代入已知点的坐标；
第三步：解方程组．
解：设所求的二次函数为y＝ax2＋bx＋c．
由已知，得
a－b＋c＝10，
a＋b＋c＝4，
三个未知数，两个等量关系，这个方程组能解吗？
4a＋2b＋c＝7，
(2，7)，
4a＋2b＋c＝7，
①
②
③
②－①，可得
2b＝－6
b＝－3
③－①，可得
3a＋3b＝－3
a＋b＝－1
a＝2
将a＝2，b＝－3代入①，可得
2＋3＋c＝10
c＝5
解方程组，得
a＝2，b＝－3，c＝5．
a－b＋c＝10，
a＋b＋c＝4，
已知一个二次函数的图象过点(－1，10)，(1，4)，
求这个函数的解析式．
第一步：设出解析式的形式；
第二步：代入已知点的坐标；
第三步：解方程组．
解：设所求的二次函数为y＝ax2＋bx＋c．
由已知，得
a－b＋c＝10，
a＋b＋c＝4，
4a＋2b＋c＝7，
(2，7)，
解方程组，得
因此，所求二次函数是
a＝2，b＝－3，c＝5．
y＝2x2－3x＋5．
求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值．
由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，然后求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式．
图象顶点为(h，k)的二次函数的解析式是y＝a(x－h)2＋k，如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？
已知抛物线顶点为(1，－4)，且过点(2，－3)，求其解析式．
解：∵抛物线顶点为(1，－4)，
∴设其解析式为y＝a(x－1)2－4．
又∵抛物线过点(2，－3)，
则－3＝a(2－1)2－4，则a＝1．
∴其解析式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3．
已知顶点坐标和一点，求二次函数解析式的一般步骤：
第一步：设解析式为y＝a(x－h)2＋k．
第二步：将已知点坐标代入求a值，得出解析式．
一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝－1，当x＝－2与 时，y＝0，求这个二次函数的解析式．
两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？
方法1：设 ，再把x＝0，y＝－1代入其中，求出a的值．
方法2：设y＝ax2＋bx＋c，由“x＝0时，函数值y＝－1，当x＝－2与 时，y＝0”，列方程组求出a，b，c的值．
方法1更简捷．
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点（两点的纵坐标都为0），与y轴交于点C(0，3)，求这个二次函数的解析式．
解：∵图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)，
∴设函数解析式为y＝a(x－1)(x－3)．
∵图象过点C(0，3)，
∴3＝a(0－1)(0－3)，解得a＝1．
∴二次函数解析式为y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3．
交点式法求二次函数的解析式
这种已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法．
其步骤是：
（1）设函数解析式是y＝a(x－x1)(x－x2)；
（2）先把两交点的横坐标x1，x2代入解析式中，得到只含参数a的解析式；
（3）将另一点的坐标代入上步中的解析式，求出a值；
（4）将a用求得的值换掉，写出函数解析式．
用待定系数法求二次函数的解析式的一般步骤：
①设出合适的函数解析式；
②把已知条件代入函数解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
③解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数的解析式．
例1 一个二次函数的图象经过(0，1)，(2，4)，(3，10)三点，求这个二次函数的解析式．
∴所求的二次函数的解析式是
4a＋2b＋1＝4，
9a＋3b＋1＝10，
c＝1，
解得
解：设这个二次函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c，
由于这个函数经过点(0，1)，(2，4)，(3，10)，可得
例2 一个二次函数的图象经点(0，1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的解析式．
又∵它的图象经过点(0，1)，可得1＝a(0－8)2＋9，
解得a＝，
∴所求的二次函数的解析式是y＝(x－8)2＋9．
解：∵这个二次函数的图象的顶点坐标为(8，9)，
∴设函数解析式为y＝a(x－8)2＋9．
例3 二次函数图象经过点A(1，0)，B(0，－3)，对称轴是直线x＝2．求出这个二次函数的解析式．
解：∵图象经过点A(1，0)，对称轴是直线x＝2，
∴图象经过另一点(3，0)．
∴设该二次函数的解析式为y＝a(x－1)(x－3)．
将点(0，－3)代入，得
－3＝a(0－1)(0－3)，
解得
a＝－1．
∴该二次函数的解析式为y＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3．
1．一个二次函数的图象经过(0，0)，(－1，－1)，(1，9)三点，这个二次函数的解析式是_____________．
y＝4x2＋5x
∵二次函数的图象经过(0，0)，(－1，－1)，(1，9)三点，
解析：设这个二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
∴代入得
解得a＝4，b＝5，c＝0，
即二次函数的解析式是y＝4x2＋5x．
2．过点(2，4)，且当x＝1时，y有最大值6，则其解析式是__________________．
y＝－2(x－1)2＋6
解析：根据题意设抛物线解析式为y＝a(x－1)2＋6，
把(2，4)代入得a＋6＝4，即a＝－2，
则抛物线解析式为y＝－2(x－1)2＋6．
3．已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的解析式．
解：∵点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，
∴设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)．
又∵抛物线过点M(0，1)，
∴1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，
∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y＝－x2＋1．
①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
已知条件
所选方法
待定系数法
求二次函数解析式
用一般式法：y＝ax2＋bx＋c
用顶点法：y＝a(x－h)2＋k
用交点式法：
y＝a(x－x1)(x－x2)