22.1.4.1 二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
22.1.4.1 二次函数 y＝ax ＋bx＋c 的图象和性质
1．会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式 y＝a(x－h)2＋k．
2．会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴等性质．
函数 顶点坐标 对称轴 最值
y＝－2x2
y＝－2x2－5
y＝－2(x＋2)2
y＝－2(x＋2)2－4
y＝(x－4)2＋3
(0，0)
y轴
0
(0，－5)
y轴
－5
(－2，0)
直线x＝－2
0
(－2，－4)
直线x＝－2
－4
(4，3)
直线x＝4
3
？
？
？
我们已经知道y＝a(x－h)2＋k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论
的图象和性质？
怎样将 化成 y＝a(x－h)2＋k的形式？
配方法．
配方的方法及步骤是什么？
3．化：化成顶点式．
1．提：提出二次项系数；
2．配：括号内配成完全平方式；
＝ (x－6)2＋3．
＝ (x2－12x)＋21
＝ (x2－12x＋36－36)＋21
＝ (x－6)2＋21－18
配
方
可以通过配方法将 转化为 ．
先画出 的图象，再通过平移得到 的图象；
你能画出　　　　　　 的图象吗？
平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位；
平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位．
如何直接画出　　　　　　 的图象？
如果直接画二次函数 的图象，可按如下步骤进行．
由配方的结果可知，抛物线 的顶点是(6，3)，对称轴是x＝6．
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
… 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
先利用图象的对称性列表：
然后描点画图，得到 的图象（如图）．
5
10
x
y
5
10
O
观察图象，二次函数　　　　　　　 的性质（y随x如何变化）是怎样的？
5
10
x
y
5
10
O
从图中二次函数 的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当x＜6时，y随x的增大而减小；当x＞6时，y随x的增大而增大．
x＝6
我们如何用配方法将一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成顶点式y＝a(x－h)2＋k？
y＝ax ＋bx＋c
一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c可以通过配方化成y＝a(x－h)2＋k的形式，即
因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标是：
对称轴是：直线
（1）
（2）
x
y
O
x
y
O
如果a＜0，当x＜ 时，y随x的增大而增大；当x＞ 时，y随x的增大而减小．
如果a＞0，当x＜ 时，y随x的增大而减小；当x＞ 时，y随x的增大而增大．
由图象上横坐标为x＝－2的点在第三象限可得
4a－2b＋c＜0，故③正确；
解析：由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x＞－1可得2a－b＜0，故②正确；
例 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2．其中正确的个数是（　　）
A．1　　　　　　　B．2　　　　　　　C．3　　　　　　　D．4
例 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2．其中正确的个数是（　　）
A．1　　　　　　　B．2　　　　　　　C．3　　　　　　　D．4
D
解析：由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得a－b＋c＞0，则
(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得
(a＋c)2＜b2，故④正确．
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与系数的关系
①a决定开口方向：a＞0 开口向上；a＜0 开口向下；
②a，b同号对称轴在y轴的左侧；a，b异号对称轴在y轴的右侧；
③c＝0 经过原点；c＞0 与y轴的交点位于x轴的上方；
c＜0 与y轴的交点位于x轴的下方；
④当x＝1时，y的值为a＋b＋c，当x＝－1时，y的值为a－b＋c．
⑤当对称轴x＝1时，x＝ ＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0；
当对称轴x＝－1时，x＝ ＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0．
因此，判断2a＋b的符号，需判断对称轴x＝ 与1的大小，若对称轴在直线x＝1的左边，则 ，再根据a的符号即可得出结果；判断2a－b的符号，同理需判断对称轴与－1的大小．
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中x，y的部分对应值如下表：
x －1 0 1 2 3
y 5 1 －1 －1 1
A．y轴　　　B．直线x＝ 　　　C．直线x＝2　　　D．直线x＝
则该二次函数图象的对称轴为（　　）
D
2．已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（　　）
A．b≥－1　　　　B．b≤－1　　　　C．b≥1　　　　D．b≤1
D
x
y
O
b
1
由于当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
∴抛物线的对称轴应在直线x＝1处或其左侧．
解析：∵二次项系数－1＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为
∴b≤1，如图所示．故选D．
3．已知抛物线y＝2x2－12x＋13．
（1）当x为何值时，y有最小值？最小值是多少？
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，请直接写出新抛物线的解析式．
解：∵y＝2x2－12x＋13＝2(x－3)2－5，
∴抛物线开口向上，顶点为(3，－5)，对称轴为直线x＝3．
（1）当x＝3时，y有最小值，最小值为－5．
（2）当x＜3时，y随x的增大而减小．
（3）新抛物线的解析式为y＝2(x－5)2－3．
顶点：
对称轴：x＝
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
（一般式）
配方法
公式法
y＝a
（顶点式）