22.2.2 二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴交点情况的探究 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
22.2.2 二次函数 y＝ax ＋bx＋c 的图象与 x 轴交点情况的探究
1．能从二次函数与一元二次方程的关系中总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数之间的关系．
2．会用一元二次方程解决二次函数图象与x轴的交点问题．
3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
x＝2
（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为( )，
一元一次方程x＋2＝0的根为____________．
（2）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为( )，
一元一次方程－3x＋6＝0的根为________．
x＝－2
－2，0
观察发现：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
2，0
交点横坐标＝方程的根
二次函数的图象与x轴的交点呢？
在直角坐标系中画出二次函数y＝x －2x－3的图象．
－1
－1
－2
－3
－4
－2
－3
－4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
y
x
图象与x轴的交点坐标是什么？
y＝x －2x－3
二次函数图象与x轴的交点
坐标是(－1，0)，(3，0)．
一元二次方程x2－2x－3＝0的两根是
x1＝－1，x2＝3．
－1
－1
－2
－3
－4
－2
－3
－4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
y
x
y＝x －2x－3
发现
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根；
（2）二次函数的图象与x轴交点问题可以转化为一元二次方程去解决．
二次函数图象与x轴的交点
坐标是(－1，0)，(3，0)．
一元二次方程x2－2x－3＝0的两根是
x1＝－1，x2＝3．
例1 求抛物线y＝x2＋4x－5与x轴的交点坐标．
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1，x2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标分别是( )，( )．
x1，0
x2，0
解：令y＝0，
则x2＋4x－5＝0，
解得x1＝－5，x2＝1，
∴交点坐标为 (－5，0)，(1，0)．
－1
－1
－2
－3
－4
－2
－3
－4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
y
x
y＝2x2＋x－3
y＝4x2－4x＋1
例2 下列二次函数的图象与x轴有交点吗？若有，求出交点坐标．
（1）y＝2x2＋x－3；
（2）y＝4x2－4x＋1；
（3）y＝x2－x＋1．
O
－1
－1
－2
－3
－4
－2
－3
－4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
y
x
O
y＝2x2＋x－3
y＝4x2－4x＋1
y＝x2－x＋1
例2 下列二次函数的图象与x轴有交点吗？若有，求出交点坐标．
（1）y＝2x2＋x－3；
（2）y＝4x2－4x＋1；
（3）y＝x2－x＋1．
－1
－1
－2
－3
－4
－2
－3
－4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
y
x
y＝2x2＋x－3
y＝4x2－4x＋1
y＝x2－x＋1
两个交点，
坐标：(－，0)，(1，0)
无交点
一个交点，
坐标：(，0)
例2 下列二次函数的图象与x轴有交点吗？若有，求出交点坐标．
（1）y＝2x2＋x－3；
（2）y＝4x2－4x＋1；
（3）y＝x2－x＋1．
O
如何根据二次函数与x轴的交点个数，判断一元二次方程的根的情况？
二次函数与x轴交点个数 一元二次方程根的情况
2个
1个
0个
两个不相等实数根
两个相等
实数根
无实数根
－1
－1
－2
－3
－4
－2
－3
－4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
y
x
y＝2x2＋x－3
y＝4x2－4x＋1
y＝x2－x＋1
O
由？决定
b －4ac的符号
＜0
＝0
＞0
如何根据二次函数与x轴的交点个数，判断一元二次方程的根的情况？
二次函数与x轴交点个数 一元二次方程根的情况
2个
1个
0个
两个不相等实数根
两个相等
实数根
无实数根
二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根 一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0根的判别式Δ＝b2－4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
只有一个交点
有两个相等的
实数根
没有交点
没有实数根
b2－4ac＞0
b2－4ac＝0
b2－4ac＜0
例3 利用函数y＝－x ＋2x－3的图象，求方程－x ＋2x－3＝－8的近似解（结果保留小数点后一位）．
由题意得：
分析：当二次函数y＝ax2＋bx＋c给定y的值时，则可将二次函数转化为一元二次方程．
二次函数y＝－x ＋2x－3的函数值为－8时，所对应的点的横坐标即为方程－x ＋2x－3＝－8的解，故可通过画出函数图象来估算方程的近似解．
例3 利用函数y＝－x ＋2x－3的图象，求方程－x ＋2x－3＝－8的近似解（结果保留小数点后一位）．
解：画出函数y＝－x ＋2x－3的图象．
1
2
3
x
－1
－2
－3
－4
－5
y
1
O
－1
－2
4
－6
－7
－8
y＝－x ＋2x－3
根据图象可知，方程－x ＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x ＋2x－3与直线x＝－8的交点的横坐标．
左交点的横坐标在－2到－1之间，
右交点的横坐标在3到4之间．
使用计算器通过不断缩小交点横坐标的范围，来估算方程的解：
左交点 右交点 x －1.3 －1.4 －1.5 … 3.3 3.4 3.5 …
y
－7.29
－7.29
－7.76
－7.76
－8.25
－8.25
…
…
例3 利用函数y＝－x ＋2x－3的图象，求方程－x ＋2x－3＝－8的近似解（结果保留小数点后一位）．
观察表格中数据，可得结论：x＝－1.4和x＝3.4是方程的两个近似根，即x1≈－1.4，x2≈3.4．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝m的根实际上是抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝m的交点的横坐标．
用图象法求一元二次方程的近似根的步骤：
（1）画出函数的图象，并由图象确定方程根的个数；
（2）由图象交点位置确定横坐标的范围；
（3）估计方程的近似根．
1．二次函数y＝x2＋x－6的图象与x轴交点的横坐标是（　　）
A．2和－3 　　　　　　　　　 B．－2和3
C．2和3 　　　　　　　　　 D．－2和3
解析：令x2＋x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝2，
所以交点横坐标为2和－3，
故选A．
A
2．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3（m是常数）．求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点．
即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点．
证明：令y＝0，得0＝x2－2mx＋m2＋3．
∵Δ＝(－2m)2－4×1×(m2＋3)
＝4m2－4m2－12
＝－12＜0，
∴方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数解，
3．利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根（精确到0.1）．
解：作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示．
故一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根是x1≈－0.4（或－0.5），x2≈2.4（或2.5）．
O
y＝x2－2x－1
由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间．
先求－1和0之间的根.当x＝－0.4时，y＝－0.04；当x＝－0.5时，y＝0.25；
因此，x＝－0.4（或x＝－0.5）是方程的一个近似根，
同理，x＝2.4（或x＝2.5）是方程的另一个近似根．
画图象
当y＝0时
二次函数
一元二次方程
方程根的情况
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
抛物线与x轴的公共点情况
两个公共点
一个公共点
没有公共点
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解方程