22.3.1 几何图形面积问题 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
22.3.1 几何图形面积问题
1．分析实际问题中变量之间的二次函数关系．
2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．
3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值．
（1）y＝x2－4x－5；　　　　　（2）y＝－x2－3x＋4．
解：（1）开口方向：向上；对称轴：x＝2；
顶点坐标：(2，－9)；最小值：－9．
（2）开口方向：向下；对称轴：x＝ ；
顶点坐标：( ， )；最大值： ．
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
分析：
①由a＝－5可得，图象的开口向下；
②结合自变量t的取值范围0≤t≤6，画函数图象的草图如图；
③根据题意，结合图象可知，小球在抛物线的顶点时为最大高度．
解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度．
即小球运动的时间是3 s时，小球最高，且最大高度是45 m．
一般地，当a＞0(a＜0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点有最低（高）点，也就是说，当x＝ 时，二次函数有最小（大）值 ．
用总长为60 m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？
l
S
(30－l)
l(30－l)
0＜l＜30
何时取最大值呢？
分析：①已知矩形场地的周长是60 m，一边长是l m，则另一边长是 m，场地面积S＝ m2．
②由一边长l及另一边长30－l都是正数，
可列不等式组： ．
解不等式组得l的范围是 ．
分析：③根据解析式，可以确定这个函数的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，与横轴的交点坐标是 ，与纵轴的交点坐标是 ．
向下
直线l＝15
(15，225)
(0，0)，(30，0)
(0，0)
l
S
用总长为60 m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？
④根据l的取值范围及③，画出该函数图象的草图．
50
100
S
150
200
250
O
－50
50
l
由图象知：
点 是图象的最高点，即当l＝ 时，S有最 （选填“大”或“小”）值．
(15，225)
15
大
用总长为60 m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？
可列方程
S＝l(30－l)，
即S＝－l2＋30l
(0＜l＜30)．
即当l是15 m时，场地的面积S最大为225 m2．
l
S
解：矩形场地的周长是60 m，一边长为l m，
所以另一边长为 m.
用总长为60 m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？
利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：
1．根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；
2．确定自变量的取值范围；
3．根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；
4．根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值．
例 如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，这个矩形的长、宽分别为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解：根据题意，设矩形菜园平行于墙的一边长为l m，菜园的面积为S m2，
得(0＜l≤18)，即S＝(0＜l≤18)．
二次函数S＝的对称轴为，
当l＜30时，S随l的增大而增大，
因为0＜l≤18，所以l＝18时，S取得最大值378，
即当矩形的长为21 m，宽是18 m 时，菜园的面积最大，最大面积为378 m2．
注意：实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围进行分析．通过结合实际问题，判断何时在顶点处取最值、何时在端点处取最值．
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1．审：仔细审题，厘清题意．
2．设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数．
3．列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式．
4．解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题．
5．检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论．
2．用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为（　　）
A．20　　　　　　B．40　　　　　　C．100　　　　　　D．120
1．已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为（　　）
A．25 cm2　　　　B．50 cm2　　　　C．100 cm2　　　　D．不确定
B
D
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A开始沿AB以2 cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC以4 cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过 　　 秒，四边形APQC的面积最小．
A
B
C
P
Q
3
4．如图，四边形的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＋BD＝10，当AC，BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？
解：设AC＝x，四边形ABCD面积为y，
则BD＝(10－x)．
即当AC，BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大．
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
依据：常见几何图形的面积公式
最值有时不在顶点处，需要利用函数的增减性来确定