22.3.2 最大利润问题 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
22.3.2 最大利润问题
1．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．
2．能弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围．
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题．商品买卖过程中，作为商家，利润最大化是永恒的追求．
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
你知道这些数量关系吗？
（1）销售额＝售价×销售量；
（2）利润＝销售额－总成本＝单件利润×销售量；
（3）单件利润＝售价－进价．
调整价格包括涨价和降价两种情况．让我们一起来分析一下吧！
（1）涨价销售
①设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，填空：
建立函数关系式：y＝(20＋x)(300－10x)，
即：y＝－10x2＋100x＋6 000．
单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
涨价销售
20
300
(20＋x)
(300－10x)
(20＋x)(300－10x)
6 000
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，
故300－10x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤30．
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y＝－10x2＋100x＋6 000，
所以当 时，y＝－10×52＋100×5＋6 000＝6 250．
即涨价5元时，最大利润是6 250元．
建立函数关系式：y＝(20－x)(300＋20x)，
即：y＝－20x2＋100x＋6 000．
（2）降价销售
①设每件降价x元，每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
降价销售
20
300
(20－x)
(300＋20x)
(20－x)(300＋20x)
6 000
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20－x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤20．
③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
即降价2.5元时，最大利润是6 125元．
综上可知，定价57.5元时，最大利润是6 125元．
y＝－20x2＋100x＋6 000，
②自变量x的取值范围如何确定？
当 时，
由（1）（2）的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定价能使利润最大了吗？
求解最大利润问题的一般步骤
1．建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝单件利润×销售量”；
2．结合实际意义，确定自变量的取值范围；
3．在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出．
例 王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
(70，75)
(80，70)
解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
根据题意得解得
故y与x之间的函数关系式是y＝－0.5x＋110．
（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需要支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？
解：设合作社每天获得的利润为w元，
由（1）可知游客居住房间数为y＝－0.5x＋110，
则w＝x(－0.5x＋110)－20(－0.5x＋110)＝－0.5x2＋120x－2 200
＝－0.5(x－120)2＋5 000．
因为60≤x≤150，所以当x＝120时，w取得最大值，此时w＝5 000，
故当房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5 000元．
1．某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30)出售，可卖出(600－20x)件，为使利润最大，则每件售价应定为________元．
25
2．进价为80元/件的某衬衣定价为100元/件时，每月可卖出2 000件；售价每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出该衬衣的总件数y（件）与衬衣售价x（元/件）之间的函数关系式为____________________，每月利润w（元）与衬衣售价x（元/件）之间的函数关系式为____________________________
（以上关系式只列式不化简）．
y＝2 000－5(x－100)
w＝[2000－5(x－100)](x－80)
3．一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次．第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元．产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件．如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则
w＝[12＋2(x－1)][80－4(x－1)]
＝(10＋2x)(84－4x)
＝－8x2＋128x＋840
＝－8(x－8)2＋1 352．
因为x≤9，故当x＝8时，w有最大值，且w最大＝1 352．
答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1 352元．
4．某种商品每天的销售利润 y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：
y＝ax2＋bx－75．其图象如图．
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：由题中条件可求y＝－x2＋20x－75．
∵－1＜0，对称轴为x＝10，
∴当x＝10时，y值最大，最大值为25．
7
x/元
y/元
5
16
O
即销售单价定为10元时，销售利润最大为25元．
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
解：由对称性知y＝16时，x＝7或13．
7
x/元
y/元
5
16
O
故销售单价在7≤x≤13时，利润不低于16元．
最大利润问题
建立函数关系式
确定自变量的取值范围
确定最大利润
总利润＝单件利润×销售量
＝总售价－总成本
涨价：要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出