22.3.3 抛物线型的实际问题 课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
22.3.3 抛物线型的实际问题
1．能建立合适的直角坐标系，用二次函数的知识解决与抛物线相关的实际问题．
2．进一步巩固二次函数的性质与图象特征．
生活中我们可以看到很多抛物线形的物体或运动轨迹，比如拱桥、喷泉等，还有其他的例子吗？
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？
分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．
为解题简便，以拋物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系（如图）．
解：设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2．
由抛物线经过点(2，－2)，可得－2＝a×22，a＝－．
这条抛物线表示的二次函数为y＝－x2．
当水面下降1 m时，水面的纵坐标为－3．
当y＝－3时，－x2＝－3，解得x1＝，x2＝－，
所以当水面下降1 m时，水面宽度为2 m．
水面下降1 m，水面宽度增加(－4) m．
还有其他建坐标系的方式吗？
x
y
O
x
y
O
x
y
O
注意：同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式，通常应使已知点在坐标轴上．
解决形状为抛物线形的实际问题时，一般分为以下四个步骤：
（1）建立适当的平面直角坐标系；
（2）根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标；
（3）恰当选用二次函数的解析式形式，用待定系数法求出抛物线的解析式；
（4）利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解．
例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12 m，宽是4 m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝－ x2＋2x＋c表示．
（1）请写出该抛物线的函数关系式；
解：根据题意得C(0，4)，
把C(0，4)代入y＝－ x2＋2x＋c得c＝4，
所以抛物线解析式为y＝－
x2
＋2x＋4．
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
∴这辆货车能安全通过．
∴对称轴为x＝6，
由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2，0)或(10，0)，
当x＝2或x＝10时，y＝ ＞6，
解：抛物线解析式为y＝－ x2＋2x＋4＝－
(x－6)2＋10，
例2 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．一名运动员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离为15 m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度为45 m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60 m，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）．
∵与x轴交于点A(60，0)，
解：设抛物线的解析式为y＝a(x－h)2＋k，
根据题意得：抛物线的顶点坐标为(15，45)，
∴y＝a(x－15)2＋45．
∴0＝a(60－15)2＋45，
∴这名运动员起跳时的竖直高度为40米．
解得：a＝－ ．
∴解析式为y＝－ (x－15)2＋45，
令x＝0得：y＝－ (0－15)2＋45＝40，
∴点B的坐标为(0，40)，
例3 如图，施工队要修建一个横断面为抛物线的隧道，OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式；
设y＝a(x－8)2＋8，
x
y
解：如图，以O为原点建立平面直角坐标系，易得抛物线的顶点坐标为(8，8)．
将点(0，0)代入上式，得0＝64a＋8，
解得
故函数的解析式为 (0≤x≤16)．
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明．
即允许的最大高度为6米，
解：由题意得车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧与边沿处的距离x＝7.5－3.5＝4．
当x＝4时，y＝6，
而5.8＜6，故该车辆能通行．但是车顶与隧道间距很小，需小心行驶．
8
16
4
7.5
x
y
1．某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物（如图所示），大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（　　）
A．9.2 m 　　　B．9.1 m
C．9 m 　　　　 D．5.1 m
B
2．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水平宽度AB＝1.6 m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m，那么在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的解析式是 ．
y＝－3.75x2
A B
3．某幢建筑物，从10米高的窗户A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（如图），若抛物线最高点M离墙1米，离地面 米，求水流落地点B离墙的距离．
M
转化
回归
（二次函数的图象和性质）
拱桥问题
运动中的抛物线形问题
（实物中的抛物线形问题）
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确地转化为点的坐标；
选择简便的运算方法．
实际问题
数学模型
转化的关键