24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
24.1.2　垂直于弦的直径
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形．
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题．
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题．
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？
通过探究可以发现，圆是轴对称图形，
任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
探 究
易 错 提 醒
因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”.
求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，
A为⊙O上点C,D以外的任意一点.
过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，
连接OA，OA′.
O
A＇
D
M
A
·
C
在△OAA′中，∵OA=OA′,∴△OAA′是等腰三角形.
又AA′⊥CD，∴AM=MA′.
即CD是AA′的垂直平分线.
这就是说，对于圆上任意一点A，
在圆上都有关于直线CD的对称点A′，
因此 ⊙O关于直线CD对称.即
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
O
A＇
D
M
A
·
C
从以上证明可知，如果 ⊙O的直径CD垂直于弦AA′，垂足为M,那么点A和点A′是对称点.
把圆沿着直径CD折叠时，点A和点A′重合，AM与A′M重合，弧AC,弧AD分别与弧A′C，弧A′D重合.
因此，AM=A′M，弧AC=弧A′C,弧AD=弧A′D.
即直径CD平分弦AA′,并且平分弧AA′，弧ACA′.
·
O
D
M
A
A＇
C
这样，我们就得到垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
特别提醒
1. “垂直于弦的直径”中的“直径”，其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可.
2. “两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆.
例1 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
解：如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为 O，半径为 R.
经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC，D 为垂足，OC 与弧 AB 相交于点C，连接OA.
根据垂径定理，D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD 就是拱高.
由题设可知AB=37，CD=7.23，
所以 AD= AB= ×37=18.5，OD=OC－CD=R－7.23.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，
即R2=18.52＋(R－7.23)2.解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
分析：构造垂径定理的基本图形解题. 把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里是解题的关键.
例2 如图，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H，且CD=2 ，BD= ，则AB 的长为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
例2 如图，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H，且CD=2 ，BD= ，则AB 的长为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解析：连接OD，如图.
∵ CD⊥AB，CD=2 ，∴ CH=DH= .
在Rt △BHD中，由勾股定理，得BH=1.
设⊙O的半径为r，在Rt △OHD 中，OH2＋HD2=OD2，
即(r－1)2＋( )2=r2. 解得r= .∴ AB=3.
B
1.下列说法中不正确的是(　　)
A．经过圆心的直线是圆的对称轴
B．直径是圆的对称轴
C．圆的对称轴有无数条
D．当圆绕它的圆心旋转60°时，仍会与原来的圆重合
B
2.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10 cm，OE=6 cm，则AB= cm．
16
·
O
A
B
E
3.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形木材的直径是（　　）（1尺＝10寸）
A．12寸 B．13寸
C．24寸 D．26寸
D
4.如图，已知AD 是⊙ O 的直径，BC 是⊙ O 的弦，AD ⊥ BC，
垂足为点E，AE=BC=8，求⊙ O 的直径.
垂直于弦的直径
垂径定理
垂径定理的推论
平分弦
平分弦所对的弧
垂直于弦