24.1.3 弧、弦、圆心角 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
24.1.3　弧、弦、圆心角
1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间的关系定理并利用其解决相关问题.
3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.
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探究
所得的图形与原图形重合.
剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？由此你能得到什么结论？
探究
剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？由此你能得到什么结论？
圆绕圆心旋转任意一个角度，
依然重合.
圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.
圆具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.
归纳
·
O
B
A
顶点在圆心的角叫做圆心角
如图，∠ AOB 是弦AB所对的圆心角，AB是∠ AOB 所对的弧.
注意:一条弧所对的圆心角只有一个.
圆心角的条件
1. 顶点在圆心上；
2. 两条边和圆相交.
其中“顶点在圆心上”是圆心角的必备条件.
同圆
O
A
B
C
D
探究
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么AB 和CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么AB = CD ，弦AB=弦CD.
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？
O
A
B
O ′
C
D
等圆
探究
成立.
归纳
在同圆或等圆中：
1.相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
2.相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
3.相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
弧、弦、圆心角之间的关系
归纳
弧、弦、圆心角之间的关系
圆心角等
弧等
弦等
知一推二
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以.如图，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.
A
B
O
D
C
例1 如图，AB 是⊙O 的直径，BC=CD=DE， ∠COD = 35°，
求∠AOE 的度数．
·
A
O
B
C
D
E
∴∠BOC =∠COD =∠DOE = 35°.
∴∠AOE = 180° - 3×35° = 75°.
解：∵ BC=CD=DE，
A
B
C
O
∴ AB=AC.∴△ABC是等腰三角形．
又∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA.
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
例2 如图，在⊙O中，AB= AC，∠ACB=60°.
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明：∵ AB= AC ，
1.下面四个图形中的角，是圆心角的是(　　)
D
2.下列说法中，正确的是(　　)
A．等弦所对的弧相等
B．等弧所对的弦相等
C．在同圆中，圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等，所对的圆心角相等
C
3. 在⊙O中，圆心角∠AOB＝2∠COD，则AB与CD的关系是（ ）
A. AB=2CD
B. AB＞2CD
C. AB＜ 2CD
D.不能确定
A
4. 如图，AB，CD 是⊙O 的两条弦．
（1）如果 AB = CD，那么_________，_______________；
（2）如果 ， 那么_________，__________________；
（3）如果∠AOB =∠COD，
那么_________，________.
·
C
A
B
D
O
AB = CD
AB = CD
AB = CD
(
(
∠AOB =∠COD
∠AOB =∠COD
AB = CD
(
(
AB = CD
(
(
（4）如果 AB = CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，那么 OE 与 OF 相等吗？为什么？
·
C
A
B
D
O
解：OE = OF.
理由如下：
∵ OE⊥AB，OF⊥CD，
∵ AB = CD，
∴ AE = CF.
∵ OA = OC，
∴ Rt△AOE≌Rt△COF .
∴ OE = OF.
∴
应用提醒
①要注意前提条件；②要灵活转化.
圆心角
弧、弦、圆心角的关系定理及推论
在同圆或等圆中
概念：顶点在圆心的角