24.1.4.1 圆周角 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
24.1.4.1　圆周角
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.
3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角，∠BOC.
问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点
A
∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B，C两点.
一、圆周角的定义
A
O
B
C
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角．
如：∠ACB．
圆周角必须满足两个条件
①顶点在圆上；
②两边都与圆相交.
二、圆周角定理及其推论
如图，连接 BO,CO，得圆心角∠BOC. 测测看，试猜想∠BAC与∠BOC 存在怎样的数量关系.
猜测：圆周角的度数_______它所对弧上的圆心角度数的一半.
等于
探究
圆心O在∠BAC的内部
圆心O在∠BAC的
一边上
圆心O在∠BAC的外部
圆心O在∠BAC的一边上：
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
圆心O在∠BAC的内部：
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
圆心O在∠BAC的外部：
归纳
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ，D 是⊙O上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.
D
探究
∴∠BAC=∠BDC.
解：相等. 理由如下：
，
∵
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
A1
A2
A3
注意：“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一条弦所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角.
如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点（除点A，B外），那么∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想一想，∠ACB会是怎样的角？
·
O
A
C
B
探究
∵AB是直径，点O是圆心，
∴∠AOB=180°.
∵∠ACB是直径AB所对的圆周角，
∴∠ACB= ∠AOB=90°.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
·
C
O
B
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
例1 下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（4）
解：（1）中的∠BAC是圆周角；（2）（4）中的∠BAC不是圆周角，因为顶点不在圆上；（3）中的∠BAC不是圆周角，边AC没有和圆相交.
名称 关系 圆心角 圆周角
区别
联 系 顶点在圆心
顶点在圆上
在同圆中，一条弧
所对的圆心角唯一
在同圆中，一条弧
所对的圆周角有无数个
两边都与圆相交
例2 如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P， ∠ACD = 60°，∠ADC = 70°. 求∠APC 的度数.
O
A
D
C
P
B
解：连接 BC，如图，则∠ACB = 90°，
∠DCB =∠ACB－∠ACD
= 90°－60° = 30°.
∴∠BAD =∠DCB = 30°.
∴∠APC =∠BAD +∠ADC = 30° + 70°= 100°.
1.如图，点A，B，C是⊙O上点，且∠AOB＝50°，则∠ACB 等于( )
A．20° B．25°
C．30° D．50°
B
A
2.如图，在⊙O中，AB=AC ，∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为(　　)
A．65°　 　 B．75°
C．50° D．55°
3.如图，⊙O直径AC为10cm，弦AD为6cm.
（1）求DC的长；
解：∵AC是直径，
∴ ∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，
解：∵ AC是直径，∴ ∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB.
∵∠ACB=∠ADB ，∠BAC=∠BDC.
∴ ∠BAC=∠ACB，∴AB=BC.
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
B
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB，BC的长．
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆(或直径)所对的圆周角是直角. 90°的圆周角所对的弦是直径
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
圆内接四边形
圆内接四边形的对角互补