24.1.4.2 圆内接四边形 课件(共16张PPT)

(共16张PPT)
24.1.4.2　圆内接四边形
1.掌握圆内接多边形、多边形的外接圆的概念.
2.掌握圆内接四边形的性质：对角互补.
解：如图，连接 OD.
在 Rt△ABC 中，
D
C
B
A
O
∴∠ACB =∠ADB = 90°.
∵ AB 是直径，
如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm. ∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长.
∴ AD = BD.
∴∠AOD =∠BOD.
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD =∠BCD.
在 Rt△ABD 中，AD2 + BD2 = AB2，
D
C
B
A
O
解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则应考虑构造直角三角形来求解.
D
C
B
A
O
思考：四边形ADBC是什么四边形？
圆内接四边形
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为：
∠A+ ∠C=180 ，
∠B+ ∠D=180 .
思考
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
你能证明猜想吗？
α β
∵ ∠A所对的圆心角是∠β，∠C所对的圆心角是∠α，
证明：连接OB，OD．
∴
同理
∴
又
圆内接四边形的对角互补.
归纳
每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
特别提醒
例 如图，AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，交⊙O 于 D，AF 交⊙O 于 G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵ 四边形 ACDG 内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.
又 AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，∴ AB 垂直平分 CD.
∴ AC＝AD.
∴∠ADC＝∠ACD.
∴∠FGD＝∠ADC.
1. 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠A = 110°，
∠B = 80°，则∠C = ° ，∠D = °.
2. ⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C =
1∶2∶3，则∠D = °.
70
100
90
3. 如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠BOD＝120°，
那么∠BCD = (　 )
A．120° B．100°
C．80° D．60°
A
4.如图， 四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB是直径， DC = CB，若∠ C=110 °， 则∠ABC的度数等于( )
55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
A
5.如图，四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形，已知∠ BOD=100°，则∠ BCD 的度数为( )
A. 50° B. 80° C. 100° D. 130°
解题秘方：将所求的角的度数转化为求圆内接四边形对角的度数.
解析：∵∠ BAD 与∠ BOD 是同弧所对的圆周角和圆心角，
∴∠ BAD= ∠ BOD= ×100°=50°.
又四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形，
∴∠ BCD+ ∠ BAD ＝ 180°.
∴∠ BCD＝180°－∠ BAD ＝ 180°－50°＝ 130°.
5.如图，四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形，已知∠ BOD=100°，则∠ BCD 的度数为( )
A. 50° B. 80° C. 100° D. 130°
D
圆内接多边形
圆内接四边形
性质
对角
互补