24.2.1 点和圆的位置关系 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
24.2.1　点和圆的位置关系
1. 理解并掌握点和圆的三种位置关系.
2. 理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.
3. 了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.
4. 了解反证法的证明思想.
我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉．下图是射击靶的示意图，它由很多同心圆构成.你知道击中靶上不同位置的成绩什么如何计算的吗？
解决这个问题，需要研究点和圆的位置关系.
下图中点和圆的位置关系有哪几种？
.
o
.
C
.
.
.A
.
点和圆的位置关系有三种：
点在圆内，点在圆上，点在圆外.
.
B
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
d
d
d
r
P
d
P
r
d
P
r
d
＜
r
r
=
＞
r
反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点和圆的位置关系呢？
设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系.
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r；
点P在圆上 d=r；
点P在圆内 d＜r.
符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.
探究
问题1：如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？
·
·
·
·
·
以不与点A重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；
可作无数个圆.
A
问题2：如何过两点A，B作一个圆？
过两点可以作多少个圆？
·
·
·
·
A
B
作线段AB 的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;
可作无数个圆.
问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
A
B
C
D
E
G
F
●o
经过B，C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.
经过A，B，C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.
经过A，B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
归纳
定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
(1)已知圆心、半径，可以确定一个圆.
(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
确定一个圆的条件
已知△ABC，用直尺与圆规作出过A，B，C三点的圆.
A
B
C
O
(1)作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；
(2)以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可.
三角形外接圆的作法
锐角三角形的外心位于三角形内；
直角三角形的外心位于斜边的中点处；
钝角三角形的外心位于三角形外.
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察其外心的位置.
思考
经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
l1
l2
A
B
C
P
如图，假设经过同一条直线l上的A,B,C三点可以作一个圆.
设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l.
这与学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.
所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆.
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾 (常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
1.假设命题的结论不成立；
2.从这个假设出发，经过推理，得出矛盾；
3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
反证法的一般步骤
警示误区
假设否定的是命题的结论，而不是已知条件.
在推理论证时，要把假设作为新增条件参加论证.
例1 如图，已知⊙ O 的半径r=5 cm，圆心O 到直线l 的距离d=OD=3 cm，在直线l 上有P，Q，R 三点，且有PD=4 cm，QD=5 cm，RD=3 cm，那么P，Q，R 三点与⊙ O 的位置关系各是怎样的？
分析：比较点到圆心的距离与半径的大小确定点的位置情况.
解：如图，连接OR，OP，OQ.
∵ PD=4 cm，OD=3 cm，且OD ⊥ l，
∴ OP=5 cm=r. ∴点P 在⊙ O 上.
∵ QD=5 cm，∴ OQ= cm>5 cm，
∴点Q 在⊙ O 外.
∵ RD=3 cm，∴ OR=3 cm<5 cm. ∴点R 在⊙ O 内.
例2 如图，点A，B，C 在同一条直线上，点D 在直线AB 外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
分析：明确四个点中取三个点的组数；数清去掉三个点共线的组数.
例2 如图，点A，B，C 在同一条直线上，点D 在直线AB 外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，在A，B，C，D 四个点中取三个点的组数为：点A，B，C；点A，B，D；点B，C，D；点A，C，D；共四组. 而A，B，C 三个点在同一条直线上，因此过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是3.
C
例3 用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”.
证明：如果AB∥CD,那么∠1=∠2.
假设∠1≠∠2，过点O作直线A′B′，使∠EOB′=∠2.
根据“同位角相等，两直线平行”，可得A′B′∥CD.
这样，过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于CD，这与平行公理“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾.
这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1=∠2.
例4 如图，△ ABC 内接于⊙ O，∠C=45°，AB=4，求⊙ O 的半径.
解：如图，设⊙ O 的半径为r.
∵∠ C=45°，∴∠ AOB=2 ∠ C=90°.
∴ OA2+OB2=AB2，即r2+r2=42.
解得r1=2 ，r2=－2 (不符合题意，舍去).
∴⊙ O 的半径为2 .
1.平面内，已知⊙O的直径为20cm，PO＝12cm，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O上
B．点P在⊙O外
C．点P在⊙O内
D．不能确定
B
2.用反证法证明“ △ ABC 中至少有两个锐角”， 第一步应为( )
A. 假设△ ABC 中至多有一个锐角
B. 假设△ ABC 中有一个直角
C. 假设△ ABC 中有两个直角
D. 假设△ ABC 中有两个锐角
A
3.下列说法中，正确的是(　　)
A．三点确定一个圆
B．圆有且只有一个内接三角形
C．三角形的外心到三角形三边的距离相等
D．三角形有且只有一个外接圆
D
点和圆的位置关系
圆外、圆上、圆内
三角形的
外接圆
确定圆
的条件
反证法