24.2.2.2 切线的判定和性质 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
24.2.2.2　切线的判定和性质
1. 能判定一条直线是否是圆的切线，能过圆上一点作圆的切线.
2. 理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.
3. 能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时飞出的火星，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿圆的切线方向飞出的.
思 考
如图，在 ⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和 ⊙O 有什么位置关系？
l
O
A
可以看出，圆心 O 到直线 l 的距离就是⊙O 的半径，直线 l 就是⊙O的切线.
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定定理
归 纳
切线必须同时具备两个条件：
1.直线过半径的外端;
2.直线垂直于这条半径.
特 别 提 醒
思 考
已知⊙O上一点 A，怎样根据圆的切线定义过点 A 作⊙O的切线？
A
B
观察：
(1)圆心 O 到直线 AB 的距离和圆的半径有什么数量关系
(2)二者位置有什么关系？
O
相等.
垂直.
结合切线定义，判断一条直线是一个圆的切线有几种方法？
思 考
3.判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
2.数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；
O
B
C
分析：由于 AB 过 ⊙O 上的点 C，所以连接 OC，证明 AB⊥OC 即可.
A
证明：如图，连接 OC .
∵ OA = OB，CA = CB，
∴ OC 是等腰△OAB 底边 AB 上的中线.　
∴ AB⊥OC.
∵OC 是 ⊙O 的半径，∴ AB 是 ⊙O 的切线.
例1 已知：直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB，CA = CB．
求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线．
当已知直线过圆上的一点时，连接圆心和该点得到圆的半径，然后证明直线与这条半径垂直，即可得出已知直线为圆的切线.
方 法 总 结
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D．
求证：AC 是⊙O 的切线．
B
C
D
A
E
证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E.
∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB.
又 AD 平分∠BAC，DE⊥AC，
∴ DE = DB.
∴ AC 是⊙O 的切线.
当未提及直线与圆有公共点时，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段等于半径，即可得出已知直线为圆的切线.
方 法 总 结
(1) 有交点，连半径，证垂直；
(2) 无交点，作垂直，证半径.
证切线时辅助线的添加方法
如图，如果直线 l 是 ⊙O 的切线， 切点为A ，那么半径 OA 与 l 垂直吗？
A
l
O
思 考
半径 OA 与 l要么垂直，要么不垂直，
可以用反证法证明.
M
假设 OA 与 l 不垂直，过点 O 作一条直径垂直于 l，垂足为 M.
则 OM所以 OA 与l垂直.
A
l
O
圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的性质定理
归 纳
切线的判定定理与性质定理的区别：切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切而要推得其他的结论时使用.它们是一个互逆的过程，不要混淆.
例2 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与 ⊙O相切于点 D. 求证：AC 是 ⊙O 的切线.
B
O
C
D
A
分析：根据切线的判定定理，要证明AC 是 ⊙O 的切线，只要证明由点 O 向 AC 所作的垂线段 OE 是 ⊙O 的半径就可以了. 而 OD 是 ⊙O 的半径，因此需要证明 OE = OD.
证明：如图，连接 OD，OA，过点O 作 OE⊥AC 于 E.
∵⊙O 与 AB 相切于 D，∴OD⊥AB.
又△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，
∴AO 平分∠BAC.
∴OD = OE，即OE是⊙O 的半径.
这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，
并且垂直于半径OE，
∴AC 与 ⊙O 相切．
E
B
O
C
D
A
(1) 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
(2) 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
切线的重要结论
1. 下列命题中，真命题是(　　)
A. 垂直于半径的直线是圆的切线
B. 经过半径外端的直线是圆的切线
C. 经过切点的直线是圆的切线
D. 圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
D
2. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，∠ABT = 45°，AT = AB．求证：AT 是 ⊙O的切线．
证明：∵∠ABT = 45°，AT = AB，
∴∠T = ∠ABT = 45°.
∴∠BAT = 90°.
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴AT 是 ⊙O 的切线．
3. 如图，⊙O 切 PB 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ⊙O 的半径是多少？
O
P
B
A
解：如图，连接 OB，易知∠OBP = 90°.
设⊙O 的半径为r，
则OA = OB = r，OP=OA+PA=2+r.
在 Rt△OBP 中，
OB2 + PB2 = PO2，即 r2 + 42 = (2+r)2.
解得 r = 3，
即 ⊙O 的半径为 3.
O
A
B
C
E
P
4. 如图，在△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交边 BC 于 P，PE⊥AC 于 E. 求证：PE 是 ⊙O 的切线.
证明：连接 OP，如图.
∵ AB = AC，∴∠B =∠C.
∵ OB = OP，∴∠B =∠OPB.
∴∠OPB =∠C.
∴ OP∥AC.
∵ PE⊥AC，∴ PE⊥OP.
∴ PE为 ⊙O 的切线.
切线的判定
和性质
判定
方法
性质
定理
定义法
数量关系法
判定定理
圆的切线垂直于经过切点的半径