24.2.2.3 切线长定理和三角形的内接圆 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
24.2.2.3　切线长定理和三角形的内接圆
1.掌握切线长的定义及切线长定理.
2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
3.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质.
上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
P
O
B
A
O.
P
A
B
1.猜想：图中的线段PA与PB有什么关系？
2.图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？
O.
P
A
B
如图，过圆外一点P有两条直线PA,PB分别与⊙O相切.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.
注 意：
切线是直线，不可度量；
切线长是切线上切点与切点外另一点之间的线段的长，可以度量.
P
O
A
B
探 究
如图，PA，PB是☉O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与
∠BPO有什么关系？你能证明吗？
P
O
A
B
P
O
A
B
证明：如图，连接OA和OB.
∵PA和PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又OA=OB,OP=OP.
∴Rt△AOP ≌ Rt△BOP.
∴PA=PB,∠APO=∠BPO.
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
特别提醒
经过圆上一点作圆的切线，有且只有一条，过切点的半径垂直于这条切线；经过圆外一点作圆的切线，有两条，这点和两个切点所连的两条线段相等.
若连接两切点 A，B，AB 交 OP 于点 M. 你又能得出什么新的结论 请给出证明.
解：OP 垂直平分 AB.
证明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线，
点 A，B 是切点，
∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB.
∴ △PAB 是等腰三角形，
PM 为顶角的平分线.
∴ OP 垂直平分 AB.
M
O
P
A
B
如图是切线长定理的一个基本图形, 可以直接得到结论：
(1)PO ⊥ AB；
(2)AO ⊥ AP，BO ⊥ BP；
(3)AP=BP；
(4)∠ 1= ∠ 2= ∠ 3= ∠ 4；
(5)AD=BD.
例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 与 ⊙O 分别相切于点 E，F，G，H. 求证：AB + CD = AD + BC.
证明：∵ AB，BC，CD，DA 与 ⊙O 分别
相切于点 E，F，G，H，
·
A
B
C
D
O
E
F
G
H
∴ AE = AH，BE = BF，CG = CF，DG = DH.
∴ AE + BE + CG + DG = AH + BF + CF + DH，
∴ AB + CD = AD + BC.
思 考
如图是一块三角形的铁片，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？
假设符合条件的圆已作出，那么这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径.
如何找到这个圆心呢？
已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆.
M
N
D
作法：
1.作∠ABC 和∠ACB的平分线BM 和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC，垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
A
B
C
O
1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
归 纳
要点解读
1.一个三角形有一个内切圆，而一个圆有无数多个外切三角形.
2.三角形的内心在三角形的内部.
三角形内心的性质
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.
三角形的内心到三角形三边的距离相等.
例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x，则AE=x.CD=CE=AC－AE=13－x,
BD=BF=AB－AF=9－x.
由BD+CD=BC,可得(13－x)+(9－x)=14.
解得x=4.
因此AF=4，BD=5，CE=9.
归 纳
求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为：
一是连顶点、内心产生角平分线；
二是连切点、内心产生半径及垂直条件.
1.下列说法正确的是(　　)
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
C
2.下列说法错误的是(　　)
A．三角形有且只有一个内切圆
B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上
C．三角形的内心不一定都在三角形的内部
D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC
C
B
P
O
A
3.PA，PB是☉O的两条切线，A，B是切点，OA=3.
（1）若AP=4，则OP= ；
（2）若∠BPA=60 °，则OP= .
5
6
4.如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.
A
B
C
I
解：连接IB，IC.
∵点I是△ABC的内心，
∴BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB.
在△IBC 中，
5.如图，在△ABC中，I是内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.
证明：连接BI.
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI.
∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD.
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD. ∴BD=ID．
切线长
切线长定理
三角形内切圆
作用
辅助线
原理
图形的轴对称性
提供了证线段和
角相等的新方法
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点