24.3 正多边形和圆 课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
24.3　正多边形和圆
1. 了解正多边形和圆的有关概念.
2. 理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.
3. 会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.
各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.利用正多边形，可以得到许多美丽的图案.你能找出下面各个图形中用到的正多边形吗？
问题1 什么叫做正多边形？
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等；
菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等.
问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
探 究
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
接下来，以圆内接正五边形为例证明.
把⊙O 分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.
·
A
O
E
D
C
B
五边形 ABCDE 是正五边形吗？简单说说理由.
解：∵AB=BC=CD=DE=EA，∴AB=BC=CD=DE=EA，BCE=3AB=CDA，
∴∠A=∠B.
同理∠B=∠C=∠D= ∠E.
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O 上，
∴五边形 ABCDE 是⊙O的内接正五边形.
把圆分成n(n ≥ 3)等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n 边形，这个圆就是这个正n 边形的外接圆.
圆的内接正 n 边形
O
A
B
C
D
E
F
G
H
R
r
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
正多边形每一边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角. 正 n 边形的每个中心角都等于 .
归 纳
所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.
例1 如图，三角形AOB 是正三角形，以点O 为圆心，OA 为半径作⊙ O，直径FC ∥ AB，AO，BO 的延长线交⊙ O 于点D，E，求证：六边形ABCDEF 为圆内接正六边形.
分析：紧扣正多边形的定义，结合同圆中弦、弧、圆心角的关系证明.
证明：∵三角形AOB 是正三角形，
∴ ∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60 °，OB=OA.
∴点B 在⊙ O 上.∵ FC∥AB，
∴∠FOA=∠OAB=60°，∠COB=∠OBA=60°.
∴ ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=
∠ FOA=60° .∴AB = BC = CD = DE = EF = FA .
∴六边形ABCDEF 为圆内接正六边形.
︵
︵
︵
︵
︵
︵
证明一个多边形是圆内接正多边形
1.利用正多边形的定义，证明圆内接多边形的每个内角相等，每条边相等；
2. 证明圆内接多边形各边所对的弧相等，即证明这个多边形的各顶点等分这个圆.
方 法 归 纳
例2 有一个亭子，它的地基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的周长和面积 ( 结果保留小数点后一位).
C
D
O
E
F
A
B
解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角为60°，△OBC是等边三角形，正六边形的边长等于它的半径.
C
D
O
E
F
A
P
B
因此，亭子地基的周长l=6×4=24(m).
作OP⊥BC，垂足为P. 在Rt△OPC中，OC=4m，PC=2m，利用勾股定理，得边心距
亭子地基的面积
1.连半径，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
圆内接正多边形的辅助线
2.作边心距，构造直角三角形.
O
边心距r
边长一半
半径R
C
M
中心角一半
常见的正多边形的边长与半径的关系：
1. 正六边形的边长等于其外接圆半径.
2. 正三角形的边长等于其外接圆半径的 倍.
3. 正方形的边长等于其外接圆半径的 倍.
特别提醒
思 考
正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？
正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？
中心角
A
B
C
D
E
F
O
半径R
边心距r
中心
正多边 形边数 内角 中心角 外角
3
4
6
n
60°
120°
120°
90°
90°
90°
120°
60°
60°
正多边形的外角=中心角
归 纳
实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图，画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关.
怎样画任意正n边形呢？
将圆 n 等分，然后顺次连接各等分点，即得到所要作的正n 边形.
思考：怎样等分圆？
先用量角器画一个度数为 的圆心角，则此圆心角所对的弧就是圆的 ，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n 等分点，顺次连接各等分点，就得到圆的内接正n 边形，如图① .
1. 用量角器等分圆
在⊙ O 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可把圆周四等分，从而作出正方形，若再逐次平分各边所对的弧，就可以作边数逐次倍增的正多边形，如正八边形、正十六边形等.
2. 用尺规等分圆
对于一些特殊的正n 边形，如正方形、正八边形，可以用圆规和直尺作图. 如图 ② .
1. 画圆内接正n边形，实质是找圆的 n 等分点.
2. 用量角器等分圆是一种简单常用的方法，但边数很大时，容易产生较大误差.
3. 尺规作图是一种比较准确的等分圆的方法，但只限于作一些特殊的正多边形.
特 别 提 醒
1.下列说法中，不正确的是(　　)
A. 正多边形一定有一个外接圆和一个内切圆
B. 各边相等且各角相等的多边形是正多边形
C. 正多边形的内切圆和外接圆是同心圆
D. 正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D
2.若一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，则这个四边形一定是( )
A.矩形
B. 菱形
C. 正方形
D. 不能确定
A
3.一元钱硬币的直径约为 24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过 (　　)
A. 12 mm
B. 12 mm
C. 6 mm
D. 6 mm
A
4.如图，正五边形 ABCDE 内接于⊙O，则∠ADE 的度数是( )
A．60° B．45° C．36° D．30°
·
A
B
C
D
E
O
C
解析：由五边形 ABCDE 是正五边形且内接于⊙O，可求出弧 AE 所对的圆心角的度数等于 360°÷5 = 72°，再根据圆周角定理可得到∠ADE 的度数.
5. 如图，已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的对称中心，G，H 分别是 AF，BC 上的点，且 AG = BH．
(1) 求∠FAB 的度数；
解：∵六边形 ABCDEF 是正六边形，
∴∠FAB = .
E
D
O
F
C
A
B
G
H
E
D
O
F
C
A
B
G
H
(2) 求证：OG = OH．
证明：连接 OA，OB，
∵OA = OB，∴∠OAB =∠OBA.
∵∠FAB =∠CBA，∴∠OAG =∠OBH.
∴△AOG ≌△BOH（SAS）.∴OG = OH．
在△AOG 和△BOH 中，
正多边
形和圆
相关概念
有关计算
画法
中心
半径
中心角
边心距