24.4.1 弧长和扇形面积 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
24.4.1　弧长和扇形面积
1. 理解弧长和扇形面积公式的探求过程.
2. 会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
我们在小学学习了圆的面积和扇形的面积，也学习了圆的周长，那么圆上一部分的长，也就是一条弧的长怎么去求呢？现在重新学习圆的面积和扇形面积，比以前是不是有了更深的要求呢？
下面我们就来学习本节内容.
探 究
问题1 半径为R的圆，周长是多少？
O
R
问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几
O
R
180°
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
(1) 圆心角是180°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的______.
(2) 圆心角是90°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的______.
(3) 圆心角是45°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_______.
(4) 圆心角是n°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_______.
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为
归 纳
用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义：n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
温馨提示
运用弧长公式进行计算时，注意几点：
1. 题目若没有写明精确度，可以用含“π”的式子表示弧长.
2.在弧长公式中，已知l，n，R中任意两个量，都可求出第三个量.
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度L.(结果取整数)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
因此所要求的展直长度 L≈2×700+1 570=2 970(mm).
700mm
700mm
R=900mm
(
100 °
A
C
B
D
O
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
如图，绿色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
探 究
问题1 半径为 r 的圆，面积是多少？
O
r
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几？具体是多少呢
O
r
180°
O
r
90°
O
r
45°
O
r
n°
圆心角占
周角的比例 扇形面积占
圆面积的比例 扇形的
面积
=
＝
＝
＝
●
O
A
B
D
C
E
F
●
O
A
B
C
D
大小不变时，对应的扇形面积与 有关，
越长，面积越大.
圆心角
半径
半径
圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大.
圆心角
半径
圆心角
总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.
扇形的面积与哪些因素有关？
半径为 r 的圆中，圆心角为 n° 的扇形的面积为
① 公式中 n 的意义：n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的；
② 公式要理解记忆 ( 即按照上面推导过程记忆 ).
归 纳
问题 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
A
B
O
O
例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积 ( 结果保留小数点后两位 )．
O
解：如图，连接 OA，OB，作弦 AB 的垂直平分线，
垂足为 D，交弧 AB 于点 C，连接 AC.
∵OC = 0.6 m，DC = 0.3 m，
∴OD = OC － DC = 0.3（m）.
∴OD = DC.又 AD⊥DC，
∴AD 是线段 OC 的垂直平分线.∴AC = AO = OC.
从而∠AOD = 60°，∠AOB = 120°.
O
A
B
C
D
有水部分的面积
O
A
B
C
D
O
O
弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积
S弓形=S扇形－S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积公式
1. 在半径为 6 的⊙O中，60°圆心角所对的弧长(　　)
A. π
B. 2π
C. 4π
D. 6π
B
2. 如图，是一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥．已知 AB 的长为10，圆周角∠C = 30°，则弧 AB 的长为 (　　)
A. π
B． π
C． π
D． π
B
3. 某扇形的圆心角为 72°，面积为 5π，则此扇形的弧长为(　　)
A. π
B. 2π
C. 3π
D. 4π
B
4.如图，∠ACB是 ⊙O 的圆周角，若 ⊙O 的半径为 10，∠ACB = 45°，则扇形 AOB 的面积为 (　　)
A．5π
B．12.5π
C．20π
D．25π
D
5.如图，AC 是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO =45 cm，CO =5 cm，当AC 绕点O 顺时针旋转90°时，求雨刷器AC 扫过的面积.
分析：利用旋转，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积，利用扇形面积公式计算.
5.如图，AC 是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO =45 cm，CO =5 cm，当AC 绕点O 顺时针旋转90°时，求雨刷器AC 扫过的面积.
解：∵△ A′C′O 是△ ACO 绕点O 旋转90°得到的，
∴△ AOC ≌△ A′OC′.
∴雨刷器AC 扫过的面积= 扇形OAA′的面积－ 扇形OCC′的面积= ×π=500π(cm2).
弧长
阴影部分面积
求法：整体思想
割补法
计算公式：
公式
S弓形 = S扇形 - S三角形
S弓形 = S扇形 + S三角形
扇形
弓形
公式