第22章二次函数导学案(安徽省太和县胡总中心学校九年级上)

22.1.1 二次函数
【学习目标】
1. 了解二次函数的有关概念．
2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。
3. 确定实际问题中二次函数的关系式。
【学习重难点】
类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。
【学习过程】
一、依标独学：
1.若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的 ，x叫做 。
2. 形如的函数是一次函数，当时，它是 函数；形如 的函数是反比例函数。
二、围标群学：
1．用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为米，则宽为 米，如果将面积记为平方米，那么与之间的函数关系式为= ，整理为= .
2.n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_______________________．
3.用一根长为40的铁丝围成一个半径为的扇形，求扇形的面积与它的半径之间的函数关系式是 。
4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？
。
5.归纳：一般地，形如 ，（ ）的函数为二次函数。其中是自变量，是_______，b是_______，c是________．
三、扣标展示：
（1）二次项系数为什么不等于0？
答： 。
（2）一次项系数和常数项可以为0吗？
答： .
四、达标测评
1．观察：①；②；③y＝200x2＋400x＋200；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有 。（只填序号）
2. 是二次函数，则m的值为______________．
3.若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为 。
五、课后反思：
22.1.2二次函数的图象
【学习目标】
1．知道二次函数的图象是一条抛物线；
2．会画二次函数y＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．
【学习重难点】
数形结合是学习函数图象的精髓所在，从图象上学习认识函数.
【学习过程】
一、依标独学：
1.画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。
2.一次函数图象的形状是 ；反比例函数图象的形状是 .
二、围标群学
（一）画二次函数y＝x2的图象．
列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝x2 … …
在图（3）中描点，并连线
1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？
2.归纳：① 由图象可知二次函数的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线；
②抛物线是轴对称图形，对称轴是 ；③的图象开口______；
④ 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是 ；
它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y有最 值等于0.
⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即<0时，随的增大而 ，>0时，随的增大而 。
（二）例1在图（4）中，画出函数，，的图象．
解：列表：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
… …
归纳：抛物线，，的图象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数_______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．
例2 请在图（4）中画出函数，，的图象
列表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
… …
归纳：抛物线，，的的图象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数_______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．
三、扣标展示：
归纳：1、抛物线的性质
图象（草图） 对称轴 顶点 开口方向 有最高或最低点 最值
＞0 当x＝____时，y有最_______值，是______．
＜0 当x＝____时，y有最_______值，是______．
2.当＞0时，在对称轴的左侧，即 0时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 0时随的增大而 。
3．在前面图（4）中，关于轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？
答： 。由此可知和抛物线关于轴对称的抛物线是 。
4．当＞0时，越大，抛物线的开口越___________；当＜0时， 越大，抛物线的开口越_________；因此，越大，抛物线的开口越________。
四、达标测评
1．函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，有最_________值是_________．
2. 函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，有最_________值是_________．
3. 二次函数的图象开口向下，则m___________．
4. 二次函数y＝mx有最高点，则m＝___________．
五、课后反思：
22.1.3二次函数二次函数的图象（一）
【学习目标】
1．知道二次函数与的联系．
2.掌握二次函数的性质，并会应用；
【学习重难点】
类比一次函数的平移和二次函数的性质学习，要构建一个知识体系。
【学习过程】
一、依标独学：1、直线可以看做是由直线 得到的。
2、练习：若一个一次函数的图象是由平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。
解：
3、由此你能推测二次函数与的图象之间又有何关系吗？
猜想： 。
二、围标群学
（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数，，的图象．
2．可以发现，把抛物线向______平移______个单位，就得到抛物线；把抛物线向_______平移______个单位，就得到抛物线.
3．抛物线，，的形状_____________．开口大小相同。
三、扣标展示：（一）抛物线特点：
1.当时，开口向 ；当时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；
3. 对称轴是 。
（二）抛物线与形状相同，位置不同，是由 平移得到的。（填上下或左右）
二次函数图象的平移规律：上 下 。
（三）的正负决定开口的 ；决定开口的 ，即不变，则抛物线的形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线值 。
三、达标测评：
1.抛物线向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；
抛物线向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．
2．抛物线向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状__________，当= 时，有最 值是 。
3．由抛物线平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是 ，是把原抛物线向 平移 个单位得到的。
4. 写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．
五、课后反思：
22.1.3二次函数的图象（二）
【学习目标】
1．会画二次函数的图象；
2.知道二次函数与的联系．
3.掌握二次函数的性质，并会应用；
【学习过程】
一、依标独学：
1.将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
二、围标群学
画出二次函数，的图象；
归纳：（1）的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。
图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；
在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时随的增大而 。
可以看作由向 平移 个单位形成的。
（2）的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ， 图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；
在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时随的增大而 。
可以看作由向 平移 个单位形成的。
三、扣标展示
（一）抛物线特点：
1.当时，开口向 ；当时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。
（二）抛物线与形状相同，位置不同，是由 平移得到的。（填上下或左右）
结合学案和课本可知二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。
（三）的正负决定开口的 ；决定开口的 ，即不变，则抛物线的形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线值 。
四、达标测评
1．将抛物线向右平移1个单位后，得到的解析式为__________．
2．抛物线与y轴的交点坐标是_______，与x轴的交点坐标为________．
3. 写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与都相同的解析式__________．
五、课后反思：
22.1.3二次函数的图象（三）
【学习目标】1．会画二次函数的顶点式的图象；
2．掌握二次函数的性质；
【学习过程】
一、依标独学：
1.将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
二、围标群学
在右图中做出的图象：
观察：1. 抛物线开口向 ；
顶点坐标是 ；对称轴是直线 。
2. 抛物线和的形状 ，位置 。（填“相同”或“不同”）
3. 抛物线是由如何平移得到的？答： 。
三、扣标展示
平移前后的两条抛物线值变化吗？为什么？
答： 。
结合上图和课本例3归纳：
（一）抛物线的特点：
1.当时，开口向 ；当时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。
（二）抛物线与形状 ，位置不同，是由平移得到的。
二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。
（三）平移前后的两条抛物线值 。
四、达标测评
1..抛物线开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x＝ 时，y有最 值为 。
2、.函数的图象可由函数的图象沿x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单位得到。
3、若把函数的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。
4、一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，对称轴和抛物线相同，且顶点纵坐标为0，求此抛物线的解析式.
五、课后反思：
22.1.3二次函数的图象（四）
【学习目标】
会用二次函数的性质解决问题；
【学习过程】
一、依标独学：
1.抛物线开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x＝ 时，y有最 值为 。当 时，随的增大而增大.
2. 抛物线是由如何平移得到的？答：
。
二、围标群学
1.抛物线的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式？
分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。
2.仔细阅读课本例4：
分析：由题意可知：池中心是 ，水管是 ，点 是喷头，线段 的长度是1米，线段 的长度是3米。
由已知条件可设抛物线的解析式为 。抛物线的解析式中有一个待定系数，所以只需再确定 个点的坐标即可，这个点是 。
求水管的长就是通过求点 的 坐标。
三、扣标展示：
如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. AO= 3米，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1) 直接写出点A及抛物线顶点P的坐标；
(2) 求出这条抛物线的函数解析式；
四、达标测评
1..抛物线开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x＝ 时，y有最 值为 。
2、.函数的图象可由函数的图象沿x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单位得到。
3、若把函数的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。
五、课后反思：
22.1.4二次函数的图象
【学习目标】
1.能通过配方把二次函数化成的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。
2．熟记二次函数的顶点坐标公式；
3．会画二次函数一般式的图象．
【学习过程】
一、依标独学：
1.抛物线的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当= 时有最 值是 ；当 时，随的增大而增大；当 时，随的增大而减小。
2. 二次函数解析式中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。
二、围标群学：
（一）、问题：（1）你能说出函数 的图像的对称轴和顶点坐标吗？
（2）你有办法解决问题（1）吗？
解：的顶点坐标是 ，对称轴是 .
（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.
（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：
① ②
（5）归纳：二次函数的一般式可以用配方法转化成顶点式： ，因此抛物线的顶点坐标是 ；对称轴是 ，
（二）、用描点法画出的图像.
（1）顶点坐标为 ；
（2）列表：顶点坐标填在 ；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）
… …
…
（3）描点，并连线：
（4）观察：①图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；
② 时，随的增大而增大； 时随的增大而减小。
③该抛物线与轴交于点 。
④该抛物线与轴有 个交点.
三三、扣标展示
求出顶点的横坐标后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？计算并比较。
四、达标测评：
1.已知二次函数的图象过点（1，2），则的值为________________．
2.一个二次函数的图象过（0，1）、（1,0）、（2，3）三点，求这个二次函数的解析式。
五、课后反思：
22.1.5用待定系数法求二次函数的解析式
【学习目标】
1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式；
2.会用待定系数法求二次函数的解析式。
【学习过程】
一、依标独学：
已知抛物线的顶点坐标为（-1，2），且经过点（0,4）求该函数的解析式.
解：
二、围标群学
1.一次函数经过点A(-1,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。
分析：要求出函数解析式，需求出的值，因为有两个待定系数，所以需要知道两个点的坐标，列出关于的二元一次方程组即可。
解：
2. 已知一个二次函数的图象过（1，5）、（）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。
分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？答： ；所设解析式中有 个待定系数，它们分别是 ，所以一般需要 个点的坐标；请你写出完整的解题过程。
解：
三、扣标展示
用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式和一般式。
1．已知抛物线过三点，通常设函数解析式为 ；
2．已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式为 。
四、达标测评：
1．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－1），求这个二次函数的解析式．
2.已知二次函数的图象过点（1，2），则的值为________________．
3.一个二次函数的图象过（0，1）、（1,0）、（2，3）三点，求这个二次函数的解析式。
五、课后反思：
22.2用函数观点看一元二次方程（一）
【学习目标】
体会二次函数与方程之间的联系。
理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，
【学习过程】
一、依标独学：
1.直线与轴交于点 ，与轴交于点 。
2.一元二次方程，当Δ 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ 时，方程有两个相等的实数根；当Δ 时，方程没有实数根；
二、围标群学
1.解下列方程
（1） （2） （3）
2.观察二次函数的图象，写出它们与轴的交点坐标：
函数
图 象
交点 与轴交点坐标是 与轴交点坐标是 与轴交点坐标是
3.对比第1题各方程的解，你发现什么？
三、扣标展示：
⑴一元二次方程的实数根就是对应的二次函数与轴交点的 .（即把代入）
⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为）
二次函数 与 一元二次方程
与轴有 个交点 0，方程有 的实数根
与轴有 个交点；这个交点是 点 0，方程有 实数根
与轴有 个交点 0，方程 实数根.
四、达标测评
1. 二次函数，当＝1时，＝______；当＝0时，＝______．
2．抛物线与轴的交点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ；
3. 已知抛物线的顶点在x轴上，则＝____________．
4．已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是_________．
五、课后反思：
22.2用函数观点看一元二次方程（二）
【学习目标】
1. 能根据图象判断二次函数的符号；
2.能根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。
【学习过程】
一、依标独学：
根据的图象和性质填表：（的实数根记为）
（1）抛物线与轴有两个交点 0；
（2）抛物线与轴有一个交点 0；
（3）抛物线与轴没有交点 0.
二、围标群学：
1.抛物线和抛物线与轴的交点坐标分别是
和 。抛物线与轴的交点坐标分别是 .
2.
抛物线
开口向上，所以可以判断 。
对称轴是直线= ，由图象可知对称轴在轴的右侧，则>0，即 >0，已知 0，所以可以判定 0.
因为抛物线与轴交于正半轴，所以 0.
抛物线与轴有两个交点，所以 0；
三、扣标展示：
⑴的符号由 决定：
①开口向 0；②开口向 0.
⑵的符号由 决定：
① 在轴的左侧 ；
② 在轴的右侧 ；
③ 是轴 0.
⑶的符号由 决定：
①点（0，）在轴正半轴 0；
②点（0，）在原点 0；
③点（0，）在轴负半轴 0.
⑷的符号由 决定：
①抛物线与轴有 交点 0 方程有 实数根；
②抛物线与轴有 交点 0 方程有 实数根；
③抛物线与轴有 交点 0 方程 实数根；
④特别的，当抛物线与x轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点.
四、达标测评：
抛物线如图所示：看图填空：
（1）_____0；（2） 0；（3） 0;
（4） 0 ;(5)______0；
（6）；（7）；
（8）；（9）
五、课后反思：
2
3
4
1