2022-2023学年6月安徽省滁州市来安中学6月调研高二年级数学试卷（含解析）

2022-2023学年6月安徽省滁州市来安中学调研高二年级数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，则( )
A. B. C. D.
2. 已知等比数列首项为，前项和为，若，则公比为( )
A. B. C. D.
3. 设某项试验的成功率是失败率的倍，用随机变量去描述次试验的成功次数，则等于( )
A. B. C. D.
4. 已知函数是奇函数且其图象在点处的切线方程为，设函数，则的图象在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5. 已知数列，，，若，则正整数的值为( )
A. B. C. D.
6. 抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果定义事件：“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的个数是( )
与互斥 与对立 与相互独立
A. B. C. D.
7. 已知函数，，若，其中，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8. 现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其它无区别的小球，第个袋子中有个红球，个白球现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球每个取后不放回，若第三次取出的球为白球的概率为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为，则( )
A. B. 展开式中所有项的系数和为
C. 展开式中二项式系数和为 D. 展开式中不含常数项
10. 某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量颗之间的关系，采集组数据，作如图所示的散点图若去掉后，下列说法正确的是( )
A. 相关系数的绝对值变小 B. 决定系数变大
C. 残差平方和变大 D. 解释变量与响应变量的相关性变强
11. 定义在区间上的连续函数的导函数为，若使得，则称为区间上的“中值点”下列在区间上“中值点”多于一个的函数是( )
A. B.
C. D.
12. 某种疾病在某地区人群中发病率为现有一种检测方法能够检测人体是否患该病，但不是完全准确，其准确率如下：健康人群检测为阳性的概率为，患病人群检测为阴性的概率为设事件“某人不患该病”，“该人被检出阳性”，则( )
A.
B.
C. 该地区某人去检测是否患该病，检测为阳性的概率约为
D. 某人在不清楚是否得病的情况下被检测出阳性，那么他真正患该病的概率约为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设随机变量，则 ．
14. 若，则的值为 ．
15. 某公司销售某种业务保单，已知每份业务保单的利润现值随机变量可以用正态分布近似，且满足：，已知标准正态分布随机变量满足，那么该业务保单的利润现值可以以的概率大于 ．
16. 已知和分别是函数且的极大值点和极小值点．若，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数，．
若的图像在点处的切线过，求函数的单调区间；
当时，曲线与曲线存在唯一的公切线，求实数的值．
18. 本小题分
数列满足，数列前项和为，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
19. 本小题分
某大学有，两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近天选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况午餐，晚餐
甲 天 天 天 天
乙 天 天 天 天
假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率计算某天甲同学午餐去餐厅用餐的情况下晚餐去餐厅用餐的概率；
某天午餐，甲和乙两名同学准备去，这两个餐厅中某一个就餐设事件“甲选择餐厅就餐”，事件“乙选择餐厅就餐”，，若，
证明：事件和相互独立．
20. 本小题分
已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，．
求数列、的通项公式
设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
21. 本小题分
某工厂质检部门要对该厂流水线生产出的一批产品进行检验，如果检查到第件仍未发现不合格品，则此次检查通过且认为这批产品合格，如果在尚未抽到第件时已检查到不合格品则拒绝通过且认为这批产品不合格且每件产品质检费用为元设这批产品的数量足够大，并认为每次检查中查到不合格品的概率都为，即每次抽查的产品是相互独立的．
Ⅰ求这批产品能够通过检查的概率
Ⅱ记对这批产品的质检个数记作，求的分布列和数学期望
Ⅲ已知批此类产品，若，则总平均检查费用至少需要多少元总平均检查费用每批次平均检查费用批数
22. 本小题分
已知．
当时，求的最大值；
若存在 ，使得关于的方程有三个不相同的实数根，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查排列数公式，组合数公式．
根据排列数及组合数公式列方程计算即可．
【解答】
解：，，
所以，得．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等比数列前项和的计算及性质，利用数列前项和定义，避免了在转化时对公比是否为的讨论，利用数列前项和的定义及等比数列通项公式得出，解出即可．
【解答】
解：是等比数列，由数列前项和的定义及等比数列通项公式得，
，
，
解得，

3.【答案】
【解析】
【分析】
根据某项试验的成功率为失败率的倍，写出随机变量的分布列，分布列中两个变量对应的概率，是含有的代数式，根据分布列概率的性质，写出关于的等式，解出结果．
本题离散型随机变量的分布列的性质，是一个基础题，解题过程中用到方程思想，通过解方程得到要求的概率．
【解答】
解：设的分布列为：
即“”表示试验失败，“”表示试验成功，
设失败的概率为，成功的概率为，
由，
．
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性，考查求曲线上一点的切线方程，属于中档题．
由是奇函数且其图象在点处的切线方程为，可得函数在时的函数值以及在点处的切线斜率，进而可得答案．
【解答】
解：由已知得，，
因为是奇函数，所以，所以，即，
所以，，又因为，所以，，所以的图象在点处的切线方程为，即．
故选A．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数列的递推关系式，考查等差数列的有关运算，为中档题．
【解答】
解：，可知，
则可知为首项为，公差为的等差数列，有，
，则．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件，条件概率的计算等基础知识，是中档题．
由题计算，并根据互斥事件、对立事件、相互独立事件的概念依次判断，即可得解．
【解答】
解：由题意可知事件，事件为奇数，事件“”，
，，，，，，共种可能，总事件种，，
，，，，，，，，，共种可能，总事件种，，
，，且，，，，，，共种可能，总事件种，，，
若，则，肯定是一奇一偶；若为奇数，则，肯定两个都是奇数，
则由题可知，事件和事件是互斥事件，不同时发生，但可以同时不发生，故正确，错误；
，，故错误；
当，时，事件发生，事件也发生；当，时，事件发生，事件不发生，即事件与事件相互独立，故正确．
故选C．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查转化思想与数形结合思想，关键是合理构造新函数对条件进行变形，属于中档题．
由题意转化条件得，，通过导数画出函数的图象，数形结合可知，进而可得，设，，运用导数即可求得最大值．
【解答】
解：由题意，，
则，
，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又当时，，
可作函数的图象如下：
由图象可知，当时，有唯一解，
故，且，
，
设，，
则，
令，解得，
易得当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
故，即的最大值为．
故选B．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查古典概型，互斥事件及相互独立事件的概率求法问题，考查了逻辑分析能力和计算能力，属于较难题．
设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，再分四类求出第三次取出白球的方法数，进而求出第个袋子中第三次取出的是白球的概率，及选到第个袋子的概率为，最后根据互斥事件及独立事件的概率即可求解．
【解答】
解：设选出的是第个袋子，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
白，白，白，取法数为，
白，红，白，取法数为，
红，白，白，取法数为，
红，红，白，取法数为，
从而第三次取出的是白球的种数为：
，
则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第个袋子的概率为，
故对于任意的正整数，求第三次取出为白球的概率为：
．
所以，解得
故答案为

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式展开式，二次项系数，特定项系数，属于中档题．
由展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为，解得，结合各选项要求逐项计算判断即可．
【解答】
解：的展开式的通项为，
第二项系数绝对值为，第三项系数绝对值为
则，即解得：，A正确
令，则展开式中所有项的系数和为，B错误
展开式中二项式系数和为，C错误
，令，，所以展开式中不含常数项，D正确．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用散点图判断两个变量的关系，属于基础题．
根据去掉点后变量与变量的线性相关性变强进行分析，即可得解．
【解答】
解：由散点图可知，散点大致分布在一条直线附近，变量和变量具有线性相关关系．
离回归直线较远，去掉后变量和变量的相关性变强，
相关系数 的绝对值变大，残差的平方和变小，决定系数 变大，
各组数据对应的点到回归直线的距离的平方和变小，所求回归直线方程与实际更接近．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查新定义问题，考查导数的运算、导数的几何意义，解题的关键是对“中值点”的应用转化，属于中档题．根据题意，“中值点”的几何意义是在区间上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间的两个端点连线的斜率值．由此定义再结合函数的性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案．
【解答】
解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间的两个端点连线的斜率值．
对于选项， ，，显然，在区间上的任何一点都是“中值点”，故A正确；
对于选项，在区间两端点连线的斜率，即过点，的斜率为，，由，得．
根据“中值点”函数的定义，故函数在区间只存在一个“中值点”，故B不正确；
对于选项，在两端点的斜率为，，令，得：，故在区间只存在一个“中值点”，故C不正确；
对于选项，在两端点的斜率为，因为，令，解得：，函数在区间存在两个“中值点”，故D正确．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查条件概率和全概率公式综合，属于较难题．
【解答】
解：由题意可得，
，
，
可得A正确．
则有，
故BC错误．
．
故D正确．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查次独立重复试验的概率计算，属于基础题．
【解答】

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二项式定理有关的应用，属于中档题．
先利用二项式定理求出，再化简可得．
【解答】
解：，，
其中，
．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查正态分布，属于较易题.
【解答】
解:由题意可得Z~N(350,1002)，设该业务保单的利润现值为x,
则有Z=，
解得x>185.5.

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数的极值求解参数，考查转化能力与运算求解能力，属于较难题．
求导，转化为 至少要有两个零点 和 ，构造函数 ，分类讨论，判断单调性，进而求解范围．
【解答】
解： 至少要有两个变号零点 和 ，
构造函数 ，对其求导， ，
若 ，则 在 上单调递减，此时若 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时若有 和 分别是函数 且 的极大值点和极小值点，则 ，不符合题意；
若 ，则 在 上单调递增，此时若 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
令 ，则 ，
此时若有 和 分别是函数 且 的极大值点和极小值点，且 ，则需满足 ，
即
故 ，
所以 ．

17.【答案】解：由得，又，
所以在处切线方程为，代入得，
所以，
，
由得，由得，
所以单调递增区间为，
单调递减区间为．
设公切线与两曲线的切点为，，易知，
由，
，
所以，
由，故，所以，故，
所以，，
构造函数，问题等价于直线与曲线在时有且只有一个交点，
，当时，单调递增当时，单调递减
的最大值为，，当时，，
故．
【解析】本题考查导数几何意义，考查利用导数研究函数单调性，及最值，属较难题．
求导，得切线方程，将代入求得，再根据导数正负即可求得单调区间；
设公切线与两曲线的切点为，，根据导数几何意义得，
构造函数，问题等价于直线与曲线在时有且只有一个交点，结合导数即可求解．
18.【答案】解：由已知可得：当 时， ，
当 时， ，符合，所以．
．
，
，
得，，
所以．

【解析】本题主要考查错位相减法求和，求数列的通项公式，属于中档题．
19.【答案】解：设事件为某天甲同学中午去餐厅用餐，事件为该天晚上去餐厅用餐，
由题知 ， ，
由 可知 ，
化简得 ，可知 与相互独立，即和相互独立．

【解析】本题考查条件概率的计算，条件概率与独立性的关系，属于中档题．
20.【答案】解：因为数列是等比数列，且，，
所以等比数列的公比为．
所以．
因为数列是等差数列，
且，，
所以公差，
所以，
故，．
由数列满足，
数列的前项和为，
，
两式相减，得，
，不等式，化为，
令且在上是增函数，即转化为，
为偶数时，对一切恒成立，令，只需的最小值，上单调递增，所以，得．
为奇数时，对一切恒成立，令，只需的最小值，上单调递增，所以得．
综上，实数的取值范围是．

【解析】本题考查由递推数列求数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题．
首先得到数列是首项为，公比为的等比数列，从而得到数列的通项公式，再求出，的公差为，从而得到数列的通项公式；
写出数列的通项公式，由错位相减法求出数列的前项和将不等式，化为，为偶数时，对一切恒成立，令，只需的最小值，得；为奇数时，对一切恒成立，令，只需的最小值，得，从而得到实数的取值范围．
21.【答案】解：Ⅰ记事件为“这批产品能够通过检查”，则由题意知：．
Ⅱ由题可知，，，
，，，，
所以的分布列为：
故的数学期望为：．
Ⅲ设，，
因为，且开口向下，所以在单调递减，
所以．
所以每批次平均检查费用至少为元，
所以批次此类产品总平均检查费用至少需要元．
【解析】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是较难题．
Ⅰ利用每次抽查的产品是相互独立的，根据独立事件发生的概率计算公式求即可；
Ⅱ由已知条件知的所有取值，分别求出相对应的概率，由此能求出的概率分布列和数学期望；
Ⅲ由Ⅱ中所求期望，结合导数判断单调性即可求解．
22.【答案】解：当 时， ，
则，
当 时， ，所以在上单调递增；
当 时， ，所以在上单调递减，
所以 ；
，经验证 不是方程的根，
所以原方程的根等价于 的根，
记 ， ，令 ， ，单调递减．
当时，
，即 ，
令 ，解得，
当时，，则函数在上单调递减；
当时，，则函数在上单调递增，
则为极大值点，极大值为．
当 时， ，
所以 在 无实数根；
当 时，
，
令，
则，
有两个极值点 ，且 ，
令 ，则，
故
，所以 ，
存在 使有三个实根，所以 满足条件．
当 时 ，可知 ，
显然 ，所以仅有一个正根，
要使 有两个负根，则
综上所述 即 ．

【解析】本题考查了利用导数研究方程的根、利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的思想，属于难题．
利用导数判断出函数的单调性，再根据函数的单调性即可求出最值．
验证 不是方程的根，将原方程的根等价于 的根，记 ， ，令 ，令 ，讨论 的取值，利用导数求出函数 的最值，通过比较即可确定答案．
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