2022-2023学年安徽省亳州市第二高级中学高二下学5月考试数学试题（含解析）

2022-2023学年安徽省亳州市第二高级中学高二下学5月考试数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在各项均不为零的等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
2. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升．”其大意为“官府陆续派遣人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多人，修筑堤坝的每人每天分发大米升．”在该问题中前天共分发升大米．( )
A. B. C. D.
3. 记为等差数列的前项和．若，，则
A. B. C. D.
4. 曲线：在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5. 设函数的导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
6. 已知等差数列的公差不为零，且 成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数，若有且只有两个整数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为( )
A. B. C. D.
10. 已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. 数列是递减数列 B. 数列是等差数列
C. D. 取得最大值时，
11. 已知数列满足，其中，为数列的前项和，则下列四个结论正确的是( )
A. 数列的通项公式为
B. 数列为递减数列
C.
D. 若对于任意的都有，则
12. 已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，在点的切线方程是
B. 当时，在上是减函数
C. 若只有一个极值点，则或
D. 若有两个极值点，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 等差数列中，，，则 ．
14. 已知函数，则 ．
15. 已知函数，若函数至少有两个零点，则 的取值范围是 ．
16. 数列满足，前项和为，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知数列的首项，前项和为，且
求证：数列是等比数列；
求数列的通项公式．
18. 本小题分
已知等差数列的首项为，公差为，且，，成等比数列．
求的通项公式；
若，求的值．
19. 本小题分
数列的前项和满足．
求证：数列是等比数列，并求；
若数列为等差数列，且，，求数列的前项．
20. 本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程
直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
21. 本小题分
设函数．
当时，求的极值；
如果在上恒成立，求实数的取值范围．
22. 本小题分
已知正项数列，其前项和为．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了等差数列的相关知识，属基础题．
根据递推关系求出通项公式，进一步求出
【解答】
解：由于 ，因为 ，所以 ，
则，于是由得，
所以，
于是，，
故选A．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查等差数列的简单应用，熟记等差数列的定义，以及等差数列的求和公式即可，属于基础题．
根据题意，得到每天分发的大米构成等差数列，由题中数据，得到首项与公差，根据求和公式，即可求出结果．
【解答】
解：记第一天共分发大米为升，
由题意，每天分发的大米构成等差数列，公差为，
因此，前天共分发大米为
升
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式属于基础题．
利用等差数列的求和公式求出公差，再利用等差数列的通项公式，即可得．
【解答】
解：设等差数列的公差为，，
，解得．
，，．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数公式的运用，考查导数的几何意义，正确求导是关键，属于基础题．
求出原函数的导函数，得到令，求出和的值，代入直线方程的点斜式即可得答案．
【解答】
解：易知
由于曲线在某一点的切线斜率就是该点导数值
当时，，，
曲线在点处的切线方程为，
即．
故选A．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了导数的计算，考查了求导函数值，属于基础题．
求导后，令，可求得，再令可求得结果．
【解答】
解：因为，
所以，
令可得，
所以，
所以，
所以．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查等差数列的通项及前项和，属于一般题．
解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质，利用性质和基本不等式解决问题．
【解答】
解：根据题意得，．
因为、、成等比数列，
所以，
解得：．
所以，，
，
当时等号成立，
即时，取最小值为．
故选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究不等式的解，属于综合题．
【解答】
解：的定义域为，由，得，
令，定义域为，，定义域为，
则，令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，
在处取极大值也是最大值，
又、，当时，
作出的大致图像如图所示，
易知的图象是恒过点的直线，
若，则显然不符合题意，
若，则，即，解得

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数比较大小，利用导数求函数的单调性，属于较难题．
根据观察，比较大小可转化为比较和的大小，从而构造函数 ，求导判断函数单调性并利用单调性比较大小；比较大小可转化为比较和 大小，即比较和的大小，从而构造函数，求导判断函数单调性并利用单调性比较大小，即可得解．
【解答】
解：设，
则 ．
当时，，
所以函数在上单调递减，
所以，所以，
故，则，即；
设，
则，
令 ，则，
当时，，
则函数在上单调递减，
又，
所以当时，，
所以当时，，
则函数在上单调递增，
所以，
即，即，所以 ，
综上可知，．
故选D．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的运算，考查函数的奇偶性，属于基础题．
求出函数的导函数，并判断其奇偶性，即可得出结论．
【解答】
解：对于， ，为奇函数，不符合题意
对于，，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意
对于，，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意
对于，，其导函数不是偶函数，图象不关于轴对称，不符合题意．
故选BC．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了等差数列的通项公式及前项和公式，等比数列的判定，属于中档题
利用等差数列的求和公式和下标和性质可判断选项AD；利用等比数列的定义可判断选项B；利用等差数列前项和的基本量运算，可判断选项 C．
【解答】
解：设等差数列的公差为，，，
等价于，即，
由可得，，数列是递减数列，选项 A正确；
且取得最大值时，，选项 D正确；
为常数，数列是等比数列，选项 B错误；
，
，即，选项 C错误；
故选：

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查根据数列的递推公式求通项公式，数列的单调性，裂项相消法求和，数列与不等式，属于中档题．
对：根据数列前项和与通项公式之间的关系即可求得数列的通项公式；对：根据数列单调性的定义分析判断即可；对：利用裂项相消法求和即可求得；对：分析可得，结合恒成立问题即可求解，即可得结果．
【解答】
解：对：由，
当时，；
当，时，则，
两式相减得：，则，
又当时，也满足上式，
所以，A错误；
对：，当时恒成立，
故，
所以数列为递减数列，B正确；
对：，
所以，C错误；
对：因为对任意的恒成立，
所以，
若对于任意的都有，则，D正确．
故选BD．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查利用导数求曲线的切线方程，利用导数判断函数单调性以及根据极值点个数求参数问题，属于较难题．
【解答】
解：对于，当时，，，，，
则在点的切线方程是，A正确；
对于，，由于，令，则，
由于，当时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
则的最大值为，
故当时，，在上是减函数，B正确；
对于，当时，，令，，
当时，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，最大值为，
则，故，此时无极值点，则C错误；
对于，，设函数的两个极值点为，
即是方程的两个不等实数根，即，且，
，设，，
在同一坐标系内画出两函数的图象，如图所示，
要使这两个函数有两个不同的交点，应满足
，解得，则D正确．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的性质，属于基础题．
直接利用等差数列的性质求解即可．
【解答】
解：因为为等差数列，所以，
所以．
故答案为：．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查基本初等函数的求导，属于基础题．
根据导数的公式，代入求解即可．
【解答】
解：，
，
令，则，
．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数零点问题，属于中档题目．
根据题意转化为 至少有两个不同的解，令 ，转化为函数 的图象与 至少有两个交点，求得 ，求得函数 单调性和极值，结合图象，即可求解．
【解答】
解：由题意，函数 至少有两个零点，即 至少有两个不同的解，
令 ，则函数 的图象与 至少有两个交点，
又由 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ，当 时， ，
作出函数 的图象，如图所示，
由图象可知， ，即实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查累加法求通项公式，等差数列的求和公式以及数列的递推关系，属于较难题．
对取偶数，再结合条件可求得前项中所有奇数项的和，对取奇数时，利用累加法求得的值，用其表示出前项和可得答案．
【解答】
解：因为，
当，，，时，，，
，．
因为前项和为，
所以，
所以，
当为奇数时，，
所以，，，
累加得，
所以，
所以，，，，，
，，
因为，所以，所以．
故答案为：．

17.【答案】证明：，
时，，
，得，
则，
当时，，
得，也满足，且，
所以
所以数列是首项为，公比为的等比数列；
解：由可得，
即有．
【解析】本题考查数列的通项和前项和之间的关系，考查等比数列的证明，属于中档题．
先由得到，两式相减，再验证的情况即可证明；
由得到数列是等比数列即可得到，从而解得答案．
18.【答案】解：，公差为，，．
又，，成等比数列，所以，
即有，解得或，
当时，；当时，，
故的通项公式为或，；
，，此时，
．
当时，，
．
故 ．
【解析】本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的中项性质，考查分类讨论思想和方程思想，以及化简运算能力，属于中档题．
运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到所求通项公式；
由题意可得，讨论时，，运用等差数列的求和公式可得所求和；由，，所求和为，运用等差数列的求和公式，可得所求和．
19.【答案】解：当时，，解得；
因为，所以当时，，
得：，所以，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以；
由知，，，所以，，
设的公差为，则，解得，
所以，
所以，
设数列的前项和为，数列的前项和为，
所以，
，
得：
，
所以，
又，
所以，
所以的前项和为．
【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查了数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
由数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，可得所求；
运用等差数列的通项公式可得及的通项公式，由数列的错位相减法和等差数列、等比数列的求和公式，可得所求和．
20.【答案】解：根据题意，得．
又点在函数的图象上，
所以曲线在点处的切线的斜率，
所以切线方程为．
设切点为，则直线的斜率为，
所以直线的方程为．
又直线过点，
则，
整理得，解得，
所以，直线的斜率，
所以直线的方程为，切点坐标为．

【解析】本题考查导数的几何意义，导数的运算等知识，属于中档题．
经检验点是曲线上的点，只需求导，将的值代入求出斜率，再结合已知点写出切线方程即可
由于原点不在曲线上，所以设切点为，把代入导函数表示出斜率，根据设出的切点坐标和斜率写出切线方程，把原点代入切线方程中化简可求出，把代入曲线方程即可求出，且得到切线的斜率，根据斜率和切点坐标写出切线方程即可．
21.【答案】解：由已知，当时， ，
，
在上单调递增，且，
则，随变化如下表：
极小值
有极小值，没有极大值．
由题可得恒成立，，
当时，上式恒成立；
当时，，又，故
令，则，令，解得，
当时， ，当时， ，
函数在上单调递增，在上单调递减，
则，
，解得： ，
的取值范围是．

【解析】本题考查利用导数求函数的极值点，利用导数研究恒成立问题，属于较难题．
当时，求导令导函数等于零，列表，通过表格找到函数极值即可；
由题可得恒成立，求恒成立问题一般要分离参数，构造函数求其最值，即可求出取值范围．
22.【答案】解：由已知，
所以有，
，得，即，，
所以数列是公比为的等比数列．
又，所以
由得，
当为奇数时，
．
当为偶数时，
综上所述，．
【解析】本题考查数列的递推关系、等比数列的通项公式以及分组转化求和法．
利用可将已知等式化为，得数列是公比为的等比数列，利用等比数列通项公式得到结果；
由得，分为奇数和为偶数时，通过分组转化求和法可求得结果．
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