中小学教育资源及组卷应用平台
2023年中考数学模拟押题最后一卷（武汉卷）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
2. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船开启中国航天新征程．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A B. C. D.
5. 计算结果是（ ）
A. B. C. D.
6. 若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A. 0 B. －10 C. 3 D. 10
8. 如图，分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中和分别表示运动的路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）
A. 2.5m B. 2m C. 1.5m D. 1m
9. 已知内接于，如果满足，，的恰有两个，那么的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 或
10. 同一平面内15条直线最多可以将平面分成（ ）个部分．
A. 120 B. 121 C. 122 D. 123
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请直接写在答题卡指定的位置．
11. 写出一个大于2且小于4的无理数： ．
12. 利用中国北斗技术，截止到2022年12月，中国测得珠穆朗玛峰的高度为8848.86米．将8848.86用科学记数法表示为___________．
13. 一双红色袜子和一双白色袜子，除颜色外无其他差别，随机从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是___________．
14. 如图所示是某商场自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为60°，若测得、之间的距离为6m，则自动扶梯的垂直高度___________m（精确到0.01）（参考数据：，）．
15. 已知抛物线（，，是常数），过，两点，且．当时，现有下列四个结论：
①；②；③；④若点，在抛物线上，有，则．
其中正确的是___________（填写序号）．
16. 如图，等腰中，，，点在的延长线上，且，若，，求的长为___________．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17. 解不等式组，请按下列步骤完成解答：
（1）解不等式①，得___________；
（2）解不等式②，得___________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为___________．
18. 已知：如图，在中，，和是中线．
（1）求证：．
（2）直接写出的值．
19. 某市三景区是人们节假日游玩的热点景区，某学校对九（1）班学生“五一”小长假随父母到这三个景区游玩的计划做了全面调查，调查分四个类别，A：三个景区；B：游两个景区；C：游一个景区；D：不到这三个景区游玩，现根据调查结果绘制了不完全的条形统计图和扇形统计图如下：
请结合图中信息解答下列问题：
（1）九（1）班现有学生___________人，在扇形统计图中表示“B类别”扇形的圆心角的度数为___________；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校九年级有1000名学生，求计划“五一”小长假随父母不到这三个景区游玩的学生多少名？
20. 如图1，在中，，，以为直径作半圆交于，为劣弧上一点，过作于，的反向延长线交于．
（1）求证：是中点；
（2）如图2，若是的中点，连结交于，求的长．
21. 如图1是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，为与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）如图1，在上画点，使于，再画的角平分线；
（2）如图2，在上画点，再作直线，使直线平分面积．
22. 原地正面掷实心球是体育训练项目之一、受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度y（m）与水平距离x（m）近似满足函数关系（）．小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练．
（1）第一次训练时，智能实心球回传水平距离x（m）与竖直高度y（m）的几组对应数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7
竖直高度y/m
求出y与x近似满足的函数关系式，并求本次训练的成绩．
（2）第二次训练时，y与x近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？若有提高，提高了多少？
23. 问题提出：如图1，在中，，为斜边的中点，为直角边上一点，为上一点，连，且，若在上，则直接写出与间满足的数量关系___________；
数学思考：如图2，在中，，，为斜边的中点，为直角边中点，为上一点，连，且．求证：于．
拓展运用：如图3，在中，为边中点，为边上一点，，若，，直接写出的长．
24. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，且．
（1）直接写出的值；
（2）如图1，点为第一象限的抛物线上一点，且满足，求点的坐标；
（3）如图2，点为第四象限的抛物线上一点，直线交轴于点，过点作直线，交轴于点，当点运动时，线段的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2023年中考数学模拟押题最后一卷（武汉卷）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题考查相反数的定义，解题的关键是明确只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0．
2. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船开启中国航天新征程．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3. 在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：从袋中任意摸出一个球为红球的概率是．
故选：A
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键．
4. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看下面一层是两个小正方形，上面一层左边一个小正方形，
故选：D．
【点睛】本题主要考查左视图，掌握三视图的求解方法是解题的关键．
5. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据积的乘方计算法则计算解答．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】此题考查了积的乘方计算法则：积的乘方等于积中每个因式分别乘方的积，熟记法则是解题的关键．
6. 若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可．
【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得：
，解得；
，解得；
，解得；
∵-8<2<4，
∴，
故选： B．
【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．
7. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A. 0 B. －10 C. 3 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，
∴m2+2m=5，
∴=5－5=0，
故选：A．
【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键．
8. 如图，分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中和分别表示运动的路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）
A. 2.5m B. 2m C. 1.5m D. 1m
【答案】C
【解析】
【分析】根据图形分别求得二人的速度，相减后即可确定正确的选项．
【详解】观察图象知：甲跑64米用时8秒，速度为8m/s，
乙行驶52米用时8秒，速度为6.5m/s，
速度差为8-6.5=1.5m/s，
故选C．
【点睛】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是能够读懂图象并从中找到进一步解题的有关信息，难度不大．
9. 已知内接于，如果满足，，的恰有两个，那么的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】作，，，，连接并延长交于，即为直径，在上取点使得，由对称性可知，与关于对称，讨论点的位置即可求得答案．
【详解】解：作，，，，
连接并延长交于，即为直径，在上取点使得，
则，，为等边三角形，
∴，，
由对称性可知，与关于对称，
∵，
当点在劣弧上时，为钝角，不符合题意；
∴当点在优弧上，
要使得满足条件的三角形恰好有2个，则以点为圆心，为半径画圆时，与优弧必需由2个交点，
当点在劣弧上时，，由对称性可知另一点在劣弧上，不符合题意，
当点与点重合时，另一点为点，不符合题意，
当点在劣弧上时，由对称性可知另一点在劣弧上，则，即，符合题意，
当点与点重合时，此时两圆重合，不符合题意，
当点在劣弧上时，由对称性可知另一点在劣弧上，则，即，符合题意，
故选：C．
【点睛】本题属于解直角三角形及圆周定理，主要考查了三角形解个数的问题，作出图形，利用数形结合的思想得到是解决问题的关键．
10. 同一平面内15条直线最多可以将平面分成（ ）个部分．
A. 120 B. 121 C. 122 D. 123
【答案】B
【解析】
【分析】根据一条直线、两条直线、三条直线的情况可总结出规律，从而可得出答案．
【详解】解：由图可知，
（1）有一条直线时，最多分成2部分；
（2）有两条直线时，最多分成部分；
（3）有三条直线时，最多分成部分；
（4）设直线条数有n条，分成的平面最多有m个．
有以下规律：．
∴15条直线最多可将平面分成个部分．
故选：B．
【点睛】本题考查规律型：图形变化类，直线与平面的关系，有一定难度，注意培养由特殊到一般再到特殊的探究意识．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请直接写在答题卡指定的位置．
11. 写出一个大于2且小于4的无理数： ．
【答案】 (答案不唯一）.
【解析】
【详解】试题解析：∵大于2且小于4的无理数为：＜x＜，
∴x可以为：x=（答案不唯一）．
考点：估算无理数的大小．
12. 利用中国北斗技术，截止到2022年12月，中国测得珠穆朗玛峰的高度为8848.86米．将8848.86用科学记数法表示为___________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
13. 一双红色袜子和一双白色袜子，除颜色外无其他差别，随机从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与它们恰好同色的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
所有等可能的情况有12种，它们恰好同色的有4种情况，
所以从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图．
14. 如图所示是某商场自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为60°，若测得、之间的距离为6m，则自动扶梯的垂直高度___________m（精确到0.01）（参考数据：，）．
【答案】5.20
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵（），
故答案为：5.20．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
15. 已知抛物线（，，是常数），过，两点，且．当时，现有下列四个结论：
①；②；③；④若点，在抛物线上，有，则．
其中正确的是___________（填写序号）．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据题意得出，确定，即可判断①②；根据根与系数的关系得出，再由对称轴进行分情况分析即可判断③；将抛物线化为，得出，得出，即可进行判断
【详解】解：抛物线过，两点，且，
，
，
，即，
，
，故①正确；
∵，
∴即，故②正确；
∵抛物线（，，是常数），过，两点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，
当对称轴靠近时，
，
∴即，
当对称轴为时，，
当对称轴靠近时，，故③错误，
抛物线，点，在抛物线上，
∴，，把两个等式相减，整理得，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，①②④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16. 如图，等腰中，，，点在的延长线上，且，若，，求的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，上取一点，使，连接，证明，可得，设，则，过点作，先利用勾股定理求出，再根据，求出即可．
【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，
∵，则，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即：，则，
设，则，过点作，
∵，，
则，
∴，
则，即：，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解本题的难点是作出辅助线构造相似三角形，是一道很好的中考常考题．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17 解不等式组，请按下列步骤完成解答：
（1）解不等式①，得___________；
（2）解不等式②，得___________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为___________．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】（1）根据移项合并同类项解不等式即可求解；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，即可求解；
（3）把不等式①和②的解集表示在数轴上；
（4）根据数轴确定不等式的解集即可求解．
【小问1详解】
解：，
解不等式①，得，
故答案为：；
【小问2详解】
解不等式②，得，
故答案为：；
【小问3详解】
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
【小问4详解】
原不等式组的解集为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
18. 已知：如图，在中，，和是中线．
（1）求证：．
（2）直接写出的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质可知，，可证得，即可得结论；
（2）由题意可知是的中位线，进而可知，且相似比为，可得，利用即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，和是中线，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵和是中线，
∴是的中位线，
∴，，
∴，且相似比为，
∴，即：，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角形中位线定理，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
19. 某市三景区是人们节假日游玩的热点景区，某学校对九（1）班学生“五一”小长假随父母到这三个景区游玩的计划做了全面调查，调查分四个类别，A：三个景区；B：游两个景区；C：游一个景区；D：不到这三个景区游玩，现根据调查结果绘制了不完全的条形统计图和扇形统计图如下：
请结合图中信息解答下列问题：
（1）九（1）班现有学生___________人，在扇形统计图中表示“B类别”的扇形的圆心角的度数为___________；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校九年级有1000名学生，求计划“五一”小长假随父母不到这三个景区游玩的学生多少名？
【答案】（1）50，
（2）见解析 （3）600
【解析】
【分析】（1）由A类5人，占，可求得总人数，继而求得B类别占的百分数，则可求得“B类别”的扇形的圆心角的度数；
（2）首先求得D类别的人数，则可将条形统计图补充完整；
（3）利用总人数乘以对应的比例即可求解．
【小问1详解】
解：∵A类5人，占，
∴八（1）班共有学生有：（人）；
∴在扇形统计图中，表示“B类别”扇形的圆心角的度数为：；
故答案为：50，；
【小问2详解】
D类：（人），如图：
【小问3详解】
计划“五一”小长假随父母到这三个景区游玩的学生人数是（人）．
答：计划“五一”小长假随父母到这三个景区游玩的学生人数是600人．
【点睛】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
20. 如图1，在中，，，以为直径作半圆交于，为劣弧上一点，过作于，的反向延长线交于．
（1）求证：是中点；
（2）如图2，若是的中点，连结交于，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由题意可知，，可得，证得，由平行线分线段成比例可知，可得，即可证得结论；
（2）过作于，由圆周角定理可知，结合题意得，，，则，可证，可得，，设，则，由勾股定理可得，，，求得，根据再利用解直角三角形即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴是中点；
【小问2详解】
过作于，
∵为直径，
∴，
∵，，
∴，，
∵是的中点，
∴，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，则，
设，则，
由勾股定理可得，即，解得，
∴，，，
则，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
21. 如图1是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，为与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）如图1，在上画点，使于，再画的角平分线；
（2）如图2，在上画点，再作直线，使直线平分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线分线段成比例，相似三角形的性质及等腰三角形的性质，取格点，，连接，交于，取格点，连接，，取中点为格点，连接，交于即可；
（2）根据平行线分线段成比例，相似三角形的性质，取格点，，连接交于，连接即可．
【小问1详解】
解：由图可知，，，，
则，
∴，
根据平行线分线段成比例，结合图形可知，
取格点，，连接，交于，
∵，，且，
∴，，
∴，
∴，则，
又∵，
∴，
∴，即，
取格点，连接，，由图形可知，点在的延长线上，则，
由矩形的性质可知中点为格点，连接，交于，
∵，为的中点，
∴平分，
即是的角平分线；
如图所示，，即为所求；
【小问2详解】
取格点，，连接交于，连接，
由图形可知，，，，，
则
同（1）可证得，
∴，则，
∴，
如图所示，即为所求．
【点睛】本题考查复杂作图，平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
22. 原地正面掷实心球是体育训练项目之一、受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度y（m）与水平距离x（m）近似满足函数关系（）．小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练．
（1）第一次训练时，智能实心球回传的水平距离x（m）与竖直高度y（m）的几组对应数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7
竖直高度y/m
求出y与x近似满足的函数关系式，并求本次训练的成绩．
（2）第二次训练时，y与x近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？若有提高，提高了多少？
【答案】（1）y与x的函数关系式为；本次训练的成绩为；
（2）第二次训练成绩与第一次相比有提高，提高了．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求得y与x的函数关系式，令即可求得本次训练的成绩；
（2）令即可求得第二次训练的成绩，与第一次比较即可求解．
【小问1详解】
解：设y与x的函数关系式为，
把，，代入得，，
解得，
∴y与x的函数关系式为；
当时，，即，
解得或(负值不符合题意，舍去)，
∴本次训练的成绩为；
【小问2详解】
解：解方程，
整理得，即，
解得或(负值不符合题意，舍去)，
∴本次训练的成绩为；
，且，
答：第二次训练成绩与第一次相比有提高，提高了．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
23. 问题提出：如图1，在中，，为斜边的中点，为直角边上一点，为上一点，连，且，若在上，则直接写出与间满足的数量关系___________；
数学思考：如图2，在中，，，为斜边的中点，为直角边中点，为上一点，连，且．求证：于．
拓展运用：如图3，在中，为边中点，为边上一点，，若，，直接写出的长．
【答案】问题提出：
数学思考：见解析
拓展运用：
【解析】
【分析】问题提出：根据，，即可得到答案；
数学思考：由等腰直角三角形的性质可知证得，则，由为直角边中点，可知，可得，进而可证，可得，即可得证；
拓展运用：先证，延长，过点作，交延长线于，则为等腰直角三角形，再证，利用相似三角形的性质及勾股定理求得相应边的长度即可求得，即可求得．
【详解】解：问题提出：由题意可知，
∵，
∴，
故答案为：；
数学思考：∵，，
∴，则
又∵，
∴，则，
∵为直角边中点，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
拓展运用：∵，，
∴，
∴，即：，
∴，则
延长，过点作，交延长线于，则为等腰直角三角形，
∴，设，则
由勾股定理可得，即，解得：（负值舍去），
∴，，则，
∵为边中点，
∴，
则，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即：，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，且．
（1）直接写出的值；
（2）如图1，点为第一象限的抛物线上一点，且满足，求点的坐标；
（3）如图2，点为第四象限的抛物线上一点，直线交轴于点，过点作直线，交轴于点，当点运动时，线段的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围．
【答案】（1）
（2）；
（3）线段的长度不会改变，线段的长度为12．
【解析】
【分析】（1）将代入中，得，令，即，求出点的坐标，进而求出的值；
（2）当点在第一象限抛物线上时，时，过点作，，，设，，，在中，，可得，则，求出直线解析式为，则，由在抛物线上，可得，求出的值，即可求解；
（3）设，分别求出直线、直线的解析式，根据可得的解析式，可得出、的坐标，即可得线段的长度．
【小问1详解】
解：由图象，可知，
将代入中，得，
点，
，
令，即，
解得，，
点A在点B的左侧，
点，，
，
，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：如图，当点在第一象限抛物线上时，，过点A作于，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，，
在中，，
，
解得或（负值不合题意，舍去），
∴，
直线解析式为，
在抛物线上，
，解得（不合题意，舍去）或4，
；
【小问3详解】
解：设，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
同理得：直线的解析式为，
∵，
设的解析式为，
，
，解得，
的解析式为，
，
线段的长度为，
线段的长度不会改变，线段的长度为12．
【点睛】本题是二次函数综合题．考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、三角形的面积、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识，掌握数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
