安徽省滁州市定远重点中学2022-2023学年第二学期高二5月检测数学试卷（含解析）

安徽省滁州市定远重点中学2022-2023学年第二学期高二5月检测数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知函数的导函数为，若，则( )
A. B. C. D.
2. 一个袋子中有个红球和个白球，这些小球除颜色外没有其他差异从中不放回地抽取个球，每次只取个设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是( )
A. B. C. D.
3. 的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为( )
A. B. C. D.
4. 已知从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋中各摸出一个球，下列结论错误的是( )
A. 两个球都是红球的概率为 B. 两个球中恰有个红球的概率为
C. 两个球不都是红球的概率为 D. 至少有个红球的概率为
5. 由，，，，这十个数组成无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于的个数为( )
A. B. C. D.
6. 我国古代数学在宋元时期达到繁荣的顶点，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中朱世杰与秦九韶、杨辉、李冶被誉为我国“宋元数学四大家”朱世杰著有四元玉鉴和算学启蒙等，在算学启蒙中，最为引人入胜的问题莫过于堆垛问题，其中记载有以下问题：“今有三角、四角果子垛各一所，共积六百八十五个，只云三角底子一面不及四角底子一面七个，问二垛底子一面几何？”其中“积”是和的意思，“三角果子垛”是每层都是正三角形的果子垛，自上至下依次有，，，，，，个果子，“四角果子垛”是每层都是正方形的果子垛，自上至下依次有，，，，，个果子，“底子一面”指每垛最底层每条边”根据题意，可知该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数是参考公式：( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7. 概率论起源于博弈游戏世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金枚金币，先赢局者可获得全部赌金但比赛中途因故终止了，此时甲赢了局，乙赢了局问这枚金币的赌金该如何分配数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案该分配方案是( )
A. 甲枚，乙枚 B. 甲枚，乙枚 C. 甲枚，乙枚 D. 甲枚，乙枚
8. 已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列命题中正确的为( )
A. 随机变量服从二项分布，若，，则
B. 将一组数据中的每个数据都扩大为原来的倍后，则方差也随之扩大为倍
C. 随机变量服从正态分布，若，则
D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大
10. 下列说法中正确的是( )
A.
B. 事件为必然事件，则事件、是互为对立事件
C. 设随机变量服从正态分布，若，则
D. 甲、乙两名运动员分别对同一目标各射击一次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，则恰有人射中的概率为
11. 若二项式展开式中二项式系数之和为，展开式的各项系数之和为，各项系数的绝对值之和为，则下列结论正确的是( )
A. B. 存在，使得
C. 的最小值为 D.
12. 关于函数，下列判断正确的是( )
A. 是的极大值点
B. 函数有且只有个零点
C. 对不等式在上恒成立
D. 对任意两个正实数，，且，若，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知病毒在某溶液中的存活个数的概率满足，已知只要该溶液中存在一个病毒，就可以导致生物死亡，则该溶液能够导致生物死亡的概率为______ ．
14. 已知为常数的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为______ ．
15. 根据某机构对失事的飞机的调查得知：失踪的飞机中有的后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪的飞机中，有未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为
16. 已知函数，若有两个不同的极值点，，且，则的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
现有编号为，，的个不同的红球和编号为，的个不同的白球．
现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出个球，求摸出的三个球中至少有个白球的不同的摸球方法数．
若将这些小球排成一排，要求球排在中间，且，不相邻，则有多少种不同的排法？
若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？
注：请列出解题过程，结果保留数字
18. 本小题分
世界人工智能大会拟定于七月初在我国召开，我国在人工智能芯片、医疗、自动驾驶等方面都取得了很多成就为普及人工智能相关知识，红星中学组织学生参加“人工智能”知识竞赛，竞赛分为理论知识竞赛、实践能力竞赛两个部分，两部分的成绩分为三档，分别为基础、中等、优异现从参加活动的学生中随机选择位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如表：
实践理论 基础 中等 优异
基础
中等
优异
若从这位参加竞赛的学生中随机抽取一位，抽到理论或实践至少一项成绩为优异的学生概率为求，的值；
在的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取人，求至少有一个人实践能力的成绩为优异的概率；
若基础、中等和优异对应得分为分、分和分，要使参赛学生理论成绩的方差最小，写出的值直接写出答案
19. 本小题分
已知函数．
若在点处的切线与直线垂直，求该切线方程；
若的极值点为，设，且，证明：．
20. 本小题分
已知盒中放有个乒乓球，其中个是新的，个是旧的第一次比赛时，从中一次性任意取出个来用，用完后仍放回盒中新球用后成了旧球；第二次比赛时从中任意取出个．
Ⅰ记第一次比赛时从盒中取出的个球中旧球的个数为，求的分布列与数学期望；
Ⅱ求第二次比赛时取出的球为新球的概率．
21. 本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调性；
若恒成立，求实数的取值范围．
22. 本小题分
已知函数．
当时，讨论在区间上的单调性；
若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
令，得到，
解得：．
故选：．
对函数的解析式求导，得到其导函数，把代入导函数中，列出关于的方程，进而得到的值．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，
则，，
则．
故选：．
根据题意，求出和，进而由条件概率公式计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，涉及古典概率的计算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：的展开式中各项系数之和为，
解得，
则展开式的常数项为：，
故选：．
依据各项系数之和为，列出方程求出，利用二项展开式的通项公式求出常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于：两个球都是红球的概率为，故A正确；
对于：两个球中恰有个红球的概率为，故B正确；
对于：两个球不都是红球的对立事件为两个球都是红球，
所以概率为，故C错误；
对于：至少有个红球包含两个球都是红球、两个球中恰有个红球，
所以概率为，故D正确．
故选：．
根据独立事件的概率乘法公式，结合互斥事件、对立事件逐项分析运算．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了对立事件的概率关系，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意知本题是一个计数原理的应用
到十个数字中之差的绝对值等于的情况有种：与，与；
分种情况讨论：当个位与百位数字为，时，有；
当个位与百位为，时，有．
共，
故选：．
由题意知本题是一个计数原理的应用，个位数字与百位数字之差的绝对值等于的情况有种，即：当个位与百位数字为，时，当个位与百位为，时，分别表示出所有的情况，由加法原理计算可得答案．
本题考查分类计数原理与分步计数原理，本题解题的关键是看出两个数字相差时的所有情况，本题是一个易错题．
6.【答案】
【解析】解：设三角果子垛自上至下依次为，，，，，
当时，所以
，且时，
所以三角果子垛第层的果子数为，
四角果子垛第层的果子数为，
设三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别为，，
所以三角果子垛各层果子总和为，
四角果子垛各层果子总和为，由题意，
即，
解得，，所以该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别是，．
故选：．
求出三角果子垛、四角果子垛第层的果子数，设三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别为，，由三角果子垛各层果子总和与四角果子垛各层果子总和为得可得答案．
本题主要考查归纳推理，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查相互独立事件概率的应用，难度一般．
由题意求出甲获胜的概率是，乙获胜的概率为确定赌金应按来分配，即可求出甲获得枚金币，乙获得枚金币．
【解答】
解：根据题意，前三局比赛中，博弈水平相当的甲、乙，即两人获胜的概率均为，
假设两人继续进行比赛：甲获取枚金币的概率，
乙获取枚金币的概率，
则甲应该获得枚金币；
乙应该获得枚金币；
故选C．

8.【答案】
【解析】解：当时，，
若，必有，解得，所以，
若，满足，
所以；
当时，，即，令，
，由得，得，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，即．
综上，的取值范围是
故选：．
分成，两段讨论，分别利用二次函数性质求最值和分离参数，再构造函数利用导数求最值的方法即可求解．
本题主要考查函数恒成立问题，考查分段函数及其应用，导数的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，因为，且，，所以，选项A正确；
对于，将一组数据中的每个数据都扩大为原来的倍后，则方差也随之扩大为倍，选项B错误；
对于，因为服从正态分布，且，所以，选项C正确；
对于，因为，所以，，
令，解得，因为，所以，即时，概率最大，选项D正确．
故选：．
中，根据二项分布的计算公式判断即可；
中，利用方差的性质即可判断；
中，利用正态分布的对称性求值即可；
中，利用二项分布的概率公式计算即可．
本题考查了概率与统计知识的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由组合数的性质可得：，故A正确；
对于，事件为必然事件，若，互斥，则事件，是对立事件；若，不互斥，则事件，不是互为对立事件，故B错误；
对于，设随机变量服从正态分布，若，则正态分布曲线关于直线对称，则，故C正确；
对于，甲、乙两名运动员分别对同一目标各射击一次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，恰有人射中包括甲中乙不中，乙中甲不中，
由相互独立事件和对立事件的概率计算可得：恰有人射中的概率为，故D错误．
故选：．
根据组合数的性质可判断选项A；
根据互斥事件与对立事件的定义可判断选项B；
由正态分布的性质可判断选项C；
由相互独立事件和对立事件的概率计算可判断选项D．
本题主要考查概率与统计的知识，属于基础题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二项式定理，考查基本不等式求最值，考查指数函数单调性和最值，属于较难题。
依题意可得，，，即可判断、，再利用作商法判断，利用基本不等式判断；
【解答】
解：依题意可得，，，
因为，所以A正确．
因为，所以B正确．
因为在上单调递增且在定义域上单调递增，所以在上单调递增，所以，当且仅当时取等号，所以不正确．
因为，当时，，所以不正确．
故选：。

12.【答案】
【解析】解：对于选项：因为，，所以，
令，得，
所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，取得极小值，故A选项错误；
对于选项：设，则，
所以在上单调递减，又，
所以函数有且只有个零点，故B选项正确；
对于选项：若在上恒成立，所以在上恒成立，
则，设，，
设，设，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以，
所以在上单调递减，
所以函数的最大值为，所以，故C选项正确；
对于选项：方法一：令，
设，
所以，
所以在上单调递减，
则，即，，
因为，，结合选项可得，，，，
所以，，函数在上单调递增，
则，所以，
即对任意两个正实数，，且，若，则，故D选项错误；
方法二：由，，所以，
设，，则，
所以在上单调递减，所以，
所以，
由，则，因此，
所以，
即对任意两个正实数，，且，若，则，故D选项错误．
故选：．
对于选项：求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得当时，取得极小值，故A选项错误；
对于选项：构造函数，求导，根据函数的单调性，即可求出函数有且只有个零点，故B选项正确；
对于选项：分离参数，构造函数，利用导数与函数的单调性，即可求得的取值范围，即可判断选项正确；
对于选项：方法一：构造一元差函数，求导，根据函数的单调性，结合，可得，因此选项错误；
方法二：构造，，求导，根据导数与函数单调性的关系，可得，结合，即可得到，因此选项错误．
本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性，极值最值的关系，考查极值点偏移问题，函数零点问题，考查函数思想，计算能力，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，病毒在某溶液中的存活个数的概率满足，
则，
若该溶液中存在一个病毒，就可以导致生物死亡，
则该溶液能够导致生物死亡的概率．
故答案为：．
根据题意，由的分布列可得的值，又由溶液能够导致生物死亡的概率，计算可得答案．
本题考查分布列的性质以及应用和概率的求法，涉及对立事件的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：依题意，，解得，
的展开式的通项为，，，，，，
当时，可得的展开式中的系数为．
故答案为：．
根据题意可得，再求得的展开式的通项，由此可得展开式中的系数．
本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查条件概率和全概率公式的应用，属中档题．
确定失踪的飞机后来被找到和未被找到的概率，以及被找到的飞机中装有紧急定位传送器的概率和未被找到装有紧急定位传送器的概率，由全概率公式变形后计算装有紧急定位传送器的失踪飞机被找到的概率．
【解答】
解：设事件“失踪的飞机后来被找到”，事件“失踪的飞机后来未被找到”，
事件“安装有紧急定位传送器”，
则，，，，
安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为：
，
故答案为．

16.【答案】
【解析】解：，则，
令，由，可得为偶函数，
则，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，
由题意得方程有两个互为相反数的零点，，且，
则的取值范围为．
故答案为：．
先求得函数的导函数，则方程有两个异号零点，，且，构造新函数，利用导数求得其单调性，进而求得的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出个球，摸出的个球中全是红球的不同摸法有种，则摸出的三个球中至少有个白球的不同的摸球方法数为种．
先把安放在中间位置，从中的两侧各选一个位置插入，，其余小球任意排列，方法有种．
先把个小球分成组，再进入个盒子中，
若按个盒子分别，，个小球分配，有种
若按个盒子分别，，个小球分配，有种
故共有种．
【解析】本题主要考查排列与组合的综合应用，属于较难题．
先分析摸出的个球中全是红球的再求摸出的三个球中至少有个白球的情况数
先把安放在中间位置，从中的两侧各选一个位置插入，，其余小球任意排列即可
先把个小球分成组，再进入个盒子中，再按，，和，，两种情况计算即可．
18.【答案】解：由题意，理论或操作至少一项成绩为优异的学生共有人，
则，得，
又，得；
由Ⅰ知，从位理论成绩为优异的学生中抽取人，实践成绩也为优异的概率为，
所以从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取人，至少有一个人操作的成绩为优异的概率为；
由题意，，
设理论成绩为，，则取值为，
对应的人数分别为，所以参赛学生理论竞赛的平均成绩为
，
所以参赛学生理论成绩的方差为
，
因为，所以当时，方差最小．
【解析】根据题意将至少一项成绩优异的同学全部相加再与总数相比即可得到所求值；
利用间接法先求出抽取中一个实践能力的成绩为优异的人都没有的概率，继而求出答案；
根据表格数据对称性可知方差最小时，由此可得出答案．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了期望和方差的计算，属于中档题．
19.【答案】解：由题意知直线的斜率为，
所以在点处的切线斜率为，
而，
，
则，得，
所以在点处的切线方程为：，即．
证明：，令，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故在时取得极值，
的唯一极值点，
因为，则，
当时，恒成立，则在上单调递增，不合题意，
当时，易得的解集为，的解集为，
即的单调增区间为，单调减区间为，
依题意：，解得，
不妨设，则，要证，则只要证，
即证，即证，即证，
令，
则，
即在上单调递减，有
即，则成立，
因此成立，
．
【解析】利用导数的几何意义计算即可；
先求得的极值点，将问题转化为证，再根据的单调性转化为证，构造差函数，利用导数研究其单调性即可．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ依题意，从盒中取出的个球中旧球的个数的所有可能取值为，，，，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
所以；
Ⅱ设事件表示第二次比赛时取出的球为新球，事件为第一次比赛时取出的个球中有个新球，其，，，，
由Ⅰ可得，，，，
根据题意，，，，，
所以根据全概率公式可得．
【解析】解：Ⅰ从盒中取出的个球中旧球的个数的所有可能取值为，，，，然后根据等可能事件的概率公式可求，然后结合分布列公式及期望公式可求；
Ⅱ设事件表示第二次比赛时取出的球为新球，事件为第一次比赛时取出的个球中有个新球，其，，，，结合条件概率全概率公式
可求．
本题主要考查了全概率公式及超几何分布的应用，属于中档题．
21.【答案】解：因为，所以，
若，则在上恒成立，故在上单调递增，
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
由等价于．
令，函数，则，由，可得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故．
所以的取值范围为．
【解析】化简函数的解析式，求出导函数，通过的范围，判断导函数的符号，求解函数的单调区间即可．
由等价于令，函数，通过函数的导数求解函数的单调性，求出函数的最小值，即可得到的取值范围．
本题考查函数导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．
22.【答案】解：当时，，
．
因为，所以．
所以在区间上的单调递增．
，，，
当时，，所以存在，当时，，
则在区间上单调递减，
所以当时，，不满足题意，
当时，，所以存在，当时，，
则在区间上单调递增，
所以当时，，不满足题意，
所以．
下面证明时，
由知，在区间上的单调递增，
所以当时，，
所以只要证明．
令，
令，
则
，
当时，，得，
所以，所以，
所以在区间上单调递增，
且，
所以，使得．
且当时，；当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且，
所以当时，，
所以在区间上单调递减，
所以当时，，
当时，
，
因为，所以，所以，
所以在区间上单调递减，
且，
所以，使得，
当时，；当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且，
所以当时，，
综上，的值为．
【解析】代入，再根据结合指数函数、三角函数的范围判断导函数的正负即可；
注意到，，进而可得则，再分析当时，求导分析导函数的正负与单调性，进而可得的最小值为判断即可．
本题主要考查了根据导数分析函数的单调性问题，同时也考查了利用导数分析函数的恒成立问题．需要根据函数的结构，注意以特殊点为突破口，不断对导数进行求导，结合三角函数的范围分区间讨论函数的正负与单调性，进而可得导数的正负与原函数的单调性与最值．属于难题．
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