2022-2023 学年湖北省荆州区高一年级下学期6月联考数学试卷（含解析）

2022-2023 学年湖北省荆州区高一年级下学期6月联考数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到下表为部分锐角的正弦值，则的值为小数点后保留位有效数字( )
A. B. C. D.
2. 如图，在中，，为的中点，设，，则( )
A. B. C. D.
3. 计算( )
A. B. C. D.
4. 函数的图象如图，下列说法正确的是 ．( )
A. 的周期为
B. 的图象关于对称
C. 的图象关于对称
D. 将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象
5. 已知平面向量，满足，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6. 若，则( )
A. B. C. D.
7. 在中，若点满足，，则与的面积之比为( )
A. B. C. D.
8. 已知锐角，满足，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 在中，角，，所对的边分别为，，，下列说法中正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，则是直角三角形
D. 若，三角形面积，则三角形的外接圆半径为
10. 下列选项中，正确的有( )
A. 设，都是非零向量，则“”是“”成立的充分不必要条件
B. 若角的终边过点且，则
C. 在中，
D. 若，则
11. 下列各式中，值为的有( )
A. B.
C. D.
12. 已知函数，点和是其相邻的两个对称中心，且在区间内单调递减，则( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知向量，若，则 ．
14. 已知，都为锐角，，，则的值为 ．
15. 函数的最小值为 ．
16. 乐府诗集辑有晋诗一组，属清商曲辞吴声歌曲，标题为子夜四时歌七十五首其中夏歌二十首的第五首曰：叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台诗里的叠扇，就是折扇一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为．
求的值；
若，求的值．
18. 本小题分
已知两个非零向量和不共线，，，．
若，求的值
若，，三点共线，求的值．
19. 本小题分
在，，三个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题，已知中，，，分别是内角，，的对边，______．
求角；
若，求面积的最大值．
20. 本小题分
求的值
已知，求的值．
21. 本小题分
已知函数的图象与轴交于点，若，，是方程的三个连续的实根，且，．
求的解析式
求的单调递增区间．
22. 本小题分
已知平面四边形中，，，，．
若，求四边形的面积
若记，
求的解析式
求的最小值及此时角的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查诱导公式的应用，属于基础题．
根据诱导公式可得，结合表中数据即可求解．
【解答】
解：．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查向量的线性运算，属于基础题．
根据向量的加减法进行计算即可．
【解答】
解：根据题意
故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角恒等变换的综合应用，属于基础题．
【解答】
解：因为
．
．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的图象，对称性，周期性以及图象的平移变换．
先由图象求出，再由的图象和性质结合正弦函数的周期公式，对称中心，对称轴可判定，，，再由平移规律可判断选项D．
【解答】
解：由图可知：函数过点，且对应五点法作图中的第三点，
故解得：故周期故，故A错误
由的对称中心为，得，，解得：，，的图象关于对称，故B错误
由对称轴方程：，，得：，，故C正确
，向左平移个单位长度得到的图象，故D错误．
故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量数量积的运算与夹角的求解，属于基础题．
【解答】
解：因为，
所以，
即，
因为，，
所以，，
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数求值，是中档题．
根据两角和的正弦公式将原式展开并平方，化简计算后可得的值．
【解答】
解：因为，所以，两边平方，
所以，所以，
故本题选C．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量在平面几何中的应用，为中档题．
【解答】
解：因为，所以，即，
得点为线段上靠近点的三等分点又因为，
所以，即，得点为线段上靠近点的四等分点，
所以，所以与的面积之比为．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数恒等变形公式，考查基本不等式，属于中档题．
首先利用二倍角公式以及同角关系化简已知条件，得到，的关系，代入两角差的正切公式，结合基本不等式即可求解．
【解答】
解：因为，
所以，
因为锐角，，所以，
所以，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值是．
故选D．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，三角恒等变换及三角形面积公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
对于，利用诱导公式及三角形内角和定理判断即可；对于，利用正弦定理判断即可；对于，根据正弦定理以及两角差的正弦公式即可判断；对于，利用余弦定理及三角形面积公式即可得解．
【解答】
解：对于，在中，，故 ，故A正确；
对于，在中，，利用正弦定理知，再利用三角形中大角对大边，小角对小边，可知，故B正确；
对于，由，利用正弦定理得，即 ，
故A，即，则是直角三角形，故C正确；
对于，，解得，
利用余弦定理知，所以，
又因为，，故D错误．
故选ABC．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量共线，三角函数定义，三角形中函数值的大小比较，诱导公式，为中档题．
【解答】
解：选项A，由，可知，所以，故充分性成立
若，则，因为为大于的实数，不一定为，所以必要性不成立，
故是成立的充分不必要条件，选项正确
选项B，若角的终边过点且，则，解得，选项错误
选项C，因为在中，，
由正弦定理可知，所以，
因为在上单调递减，
而，为的内角，，，故A
故可得，选项C正确
选项D，若，则，D错误．
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角、和差公式、诱导公式，属于中档题．
【解答】
解：对，，错
对，
，对
对，，对
对，，
，
，对．
故选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正切函数图象性质的应用，分类讨论思想的应用，属于中档题．
由正切函数的图象性质，得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出，然后由求出，然后再代点讨论满足题意的，即可得出答案．
【解答】
解：由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为，得．
则由，得，即得．
由，且存在单调减区间，则可得，
．
由得，
因为，可得或，
当时，，
由，得，
则函数的单调减区间为，
令，由，得函数在上单调递减，
所以满足题意；
当时，，
由，得，
则函数的单调减区间为，
令，由，得函数在上单调递减，
所以满足题意；
综上可得：或满足题意．
故选：．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的垂直，属于基础题．
由得，算出，再代入算出即可．
【解答】
解：，，，，解得：，
，则．
故答案为：

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系与和差公式，属于基础题．
【解答】
解：因为，都是锐角，所以，
，，
所以
．
故答案为：

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查三角函数的最值，二倍角公式，二次函数的性质，属于基础题．
根据，，利用二次函数的性质求得它的最小值．
【解答】
解：函数
，
再根据，
可得当时，函数取得最小值为，
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查扇形的面积公式，属于中档题．
【解答】
解：因为与所在扇形的圆心角分别为，，
所以由，得，
所以．

17.【答案】解：由题得点的坐标为，
所以，
所以，
所以原式；
若，
，
所以，
所以 ．
【解析】本题考查任意角的三角函数、诱导公式、同角三角函数的基本关系的应用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．
由点的坐标，得 ，所以，即可求解；
由，求出，即可得到答案．
18.【答案】解：，．
，，．
，，三点共线，，，．
，不共线，，解得．
【解析】本题主要考查了平面向量的数乘，平面向量基本定理，属于基础题．
19.【答案】解：选择，
由正弦定理得，
因为，
所以，
整理得，
因为，，故，
又，
即角；
选择，
由正弦定理得，
整理得，
由，
故，
因为，，故，
又，
即角；
选择，
由和差化积公式得，
故，
因为，所以，即角．
由余弦定理得，
所以，，
当且仅当时等号成立，
故的面积，当且仅当时等号成立，
即的面积的最大值为．
【解析】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查．
选择，由正弦定理化边为角，结合诱导公式，两角和的正弦公式变形后可得；
选择，由正弦定理化边为角，结合诱导公式，两角和的正弦公式变形后可得；
选择，由积化和差公式变形后可求得；
由余弦定理、结合基本不等式得的最大值，再由三角形面积公式得面积最大值．
20.【答案】解：
，
．，即
，
解得：或
当时，
当时，
综上所述：．

【解析】本题考查三角函数的化简求值，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：，，是方程的三个连续的实根，且，，
记，是三根之间从左到右的两条相邻对称轴，
则，，
，即，
再将点代入得：，且得，
由
解之得：
的单调递增区间为．
【解析】本题主要考查正弦型函数解析式的求法及单调区间求解，涉及对称性和周期性，属于中档题．
22.【答案】解：在中，，，，所以
，
即，所以，
所以，
又，，所以，，
所以，
，所以四边形的面积为．
在中，，，，所以
，
即，所以，
又，所以，
又，，所以
，，
所以
，
所以
因为，所以，
所以当，即时，，
所以的最小值为，此时．

【解析】本题考查正、余弦定理的综合应用，为难题．
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