10.2事件的相互独立性教案-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019）必修第二册

教学设计
【课题】10．2　事件的相互独立性
【教学目标与核心素养】
学习目标：
1.理解两个事件相互独立的直观意义与数学定义．
2.结合古典概型，利用事件的独立性计算概率
素养目标：
1.体会特殊到一般、化归与转化、分类讨论等数学思想
　　2.渗透直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养
【教学重点】
两个事件相互独立的直观意义及定义，利用事件的独立性解决实际问题
【教学难点】
在实际问题情境中判断事件的独立性
【教学设计】
（1）由互斥（对立）事件引入知识，认识学习的必要性；
（2）由情境与问题归纳总结出事件的相互独立性定义；
（3）借助独立性定义探究事件的相互独立性的性质；
（4）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；
（5）拓展应用，提升逻辑推理、数学运算等技能．
【教　　法】　　启发式、讲授法
【学　　法】　　自主、合作与探究
【教学备品】　　教学课件
【课时安排】　　1课时(40分钟)
【教学过程】
引言：前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，本节课，我们来讨论与积事件的概率计算有关的问题.
一、两个事件相互独立的定义以及求解相互独立事件同时发生的概率方法的探索发现、创造过程
情境与问题1
下面两个随机试验，各定义了一对随机事件 和 .
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币， ＝“第1枚硬币正面朝上”， =“第2枚硬币反面朝上”.
试验2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.是 =“第1次摸到球的标号小于3”， =“第2次摸到球的标号小于3”.
探究1你认为两个随机试验中事件 和 是什么关系，是互斥事件吗？若不是，你认为这两个事件的关系用什么“词语”表达比较好呢？你能给你认为的事件 和 的关系下一个定义吗？
答：不是互斥事件，因为事件 和 互斥是指事件 和 在一次试验中不能同时发生，而这里的这两个事件可以同时发生.
用“独立”词语表达两个事件 和 关系比较合适.
显然，对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件 发生与否不影响事件 发生的概率.
对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件 发生与否也不影响事件 发生的概率.
相互独立事件的定义1：事件 （或 ）发生与否不影响事件 （或 ）发生的概率，则称事件 和 是相互独立事件.
判断题：下列事件哪些是相互独立的？
师生活动：，教师提出问题，学生进行思考后回答问题.教师关注学生如何解释自己的思考过程.
设计意图：选择两个符合独立性直观意义的试验，促进学生感悟事件的独立性.给出事件的相互独立性的定义1并渗透事件的相互独立性的性质.
探究2我们前面的研究知道两个互斥事件和的概率等于这两个事件的概率之和.即，那么你能否猜测相互独立事件 与 同时发生的概率公式呢？
答：猜测相互独立事件 与 同时发生的概率公式为：
　　　　　　.
在试验1中用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω，包含4个等可能的样本点.
，，所以.用古典概型概率计算公式，得
于是
积事件的概率恰好等于与的乘积.
在试验2中样本空间Ω，而
所以
于是也有
积事件的概率恰好等于与的乘积.
这两个随机试验都满足：事件 和 同时发生的概率是它们各自发生概率的乘积.对上述两个试验的共同属性进一步抽象概括，我们对具有这种概率关系的两个事件称为“相互独立”.
相互独立事件的定义2：对任意两个事件 和 ，如果
成立，则称事件 与事件 相互独立，简称为独立.
小结：以上，我们给出了相互独立事件的两个定义，定义1是指两个事件相互独立的直观意义，是定性地对两个事件独立性作出判断，这就是所谓的凭直觉判断.
定义2是两个事件相互独立的数学定义，是定量地对两个事件独立性作出判断，这就是所谓的推理判断.在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义2判断，而是根据实际意义来加以判断的，根据实际背景判断事件的独立性往往并不困难.
譬如，必然事件Ω与任意事件是否相互独立？
用定义1　因为必然事件Ω总会发生，不会受任何事件是否发生的影响，当然，也不影响其他事件是否发生.所以，必然事件Ω与任意事件是相互独立.
用定义2　设 为任意事件，，即必然事件Ω与任意事件独立.
同样，不可能事件总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响.当然，它们也不影响其他事件是否发生.所以，不可能事件与任意事件相互独立.
师生活动：学生独立思考解决问题，教师，注意观察学生如何计算，关注学生是否能用集合语言正确描述样本空间以及不同的随机事件，并给予个别指导.选择学生代表表达与交流思维过程.
设计意图：让学生探索两个试验中事件 ， 之间的共同数学本质属性，在此基础上，教师给出两个事件相互独立的数学定义.根据定义判断事件的相互独立性，进一步讨论特殊事件与任意一个随机事件之间的相互独立性，以使知识完整化、系统化.
练习1　证明：若事件 和 是相互独立事件。则事件与 也相互独立.
练习2（教材例一）　一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件 ＝“第1次摸出球的标号小于3”，事件 ＝“第2次摸出球的标号小于3”，那么事件 与事件 是否相互独立？
师生活动：可以分组解决不同的问题，先独立思考，再合作交流.教师应关注学生如何解释他们的判断，如何推理.
设计意图：类比事件 与事件 相互独立的问题，得出与事件 ， 相互独立彼此等价的三条性质.这里提出新的问题，既是知识的自然延伸，又体现了一种提出问题、发现问题的思考方式.
二、求解相互独立事件同时发生的概率方法的验证、体验过程
情境与问题2（教材例2）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
两人都中靶；
恰好有一人中靶；
两人都脱靶；
至少有一人中靶.
师生活动：先分析随机试验，用集合语言表示随机事件.由于涉及较多的符号推理与运算，可以借助树状图完成这个任务.应给予学生充分的时间独立研究，并鼓励学生表达交流运算与推理的过程.
设计意图，利用事件独立的性质，计算较复杂事件的概率.
情境与问题3（教材例3）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，在每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为3/4，乙每轮猜对的概率为2/3.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求星队在两轮活动中猜对3个成语的概率.
师生活动：教师指导学生分析问题，由于问题比较复杂，解题时可以借助于表格，使得表述的条理更加清晰.
设计意图：让学生综合利用事件的互斥关系的性质与事件的独立性计算两个事件积的概率，同时培养学生良好的思考习惯.
三、回顾反思、生成个人判断两个事件是否独立的方法以及求解相互独立事件同时发生的概率方法
1.判断给定的两个事件是否独立的方法有两种：
第1种是根据给定的特定背景的随机试验直观判断，根据实际背景判断事件的独立性，往往并不困难.
第2种就是根据相互独立事件的数学定义，是定量地对两个事件独立性作出推理判断.即对任意两个事件 和 ，如果成立，则称事件 与事件 相互独立.
2.求解相互独立事件同时发生的概率方法就是运用“积事件的概率等于与的乘积”这一公式的方法.
师生活动：在学生独立思考的基础上，教师根据学生的回答，进一步引导学生体会事件相互独立的含义.引导学生把握概念本质，区分“两个事件相互独立”与“两个事件互斥”.
设计意图：一方面引导学生反思本节课的重点――概括判断事件 与 相互独立的方法，并在此基础上能运用定义及公式去求解复杂事件的概率.
四、课堂小结，整合、更新自己的概率知识方法体系
教师小结：事件的相互独立是事件之间一种重要的关系，但是它不同于事件的包含、相等、互斥和互相对立关系――事件的独立性需要用概率来定义.而互斥的两个事件 与 是指事件 与 不能同时发生，其实质为 ＝.本节课我们还探索发现与创造了相互独立事件同时发生的概率公式，并生成了个人综合用于这一公式与互斥事件的概率加法公式来求解复杂事件概率的方法.
五、布置作业，继续探索
教科书第249页练习第1,　2，3题
设计意图：考查在熟悉的生活环境下，学生能否正确判断事件的独立性.