圆锥曲线技巧专题讲义-2024届高三数学一轮复习专题

圆锥曲线技巧
通径公式
1．椭圆的通径公式：如图1所示，在椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦叫做通径，通径的长.
2．双曲线的通径公式：如图2所示，在双曲线中，过焦点且垂直于实轴的弦叫做通径，通径的长
3．抛物线的通径公式：如图3所示，在抛物线中，过焦点且垂直于对称轴的弦叫做通径，通径的长.
【例1】椭圆的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，则=_________.
【解析】由通径公式，
【答案】2
【例2】椭圆的左、右焦点分别为、，点A在椭圆C上，且的中点在y轴上，则_________.
【解析】如图，设的中点为M，又O为的中点，所以是的中位线，故，因为轴，所以轴，从而，
易求得，所以.
【答案】
抛物线的焦半径与焦点弦公式
1.设点在抛物线上，、，是抛物线的焦点弦，则抛物线的坐标版焦半径、焦点弦公式如下表：
标准方程
图形
焦半径公式
焦点弦公式
2．如图，设抛物线的焦点为F，为抛物线的一条焦点弦，．则抛物线的“角版”焦半径、焦点弦、面积公式如下：
①；②；③.
【例3】抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且，则______.
【解析】由焦半径公式，
【答案】4
【例4】抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l被抛物线C截得的弦长为______.
【解析】解法1：由题意，，设，代入整理得：，
设两根为和，则，故直线l被抛物线C截得的弦长.
解法2：直线l被抛物线C截得的弦长.
【答案】
【例5】过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，若，则______.
【解析】不妨设直线为如图所示的情形，设，则，，
.
【答案】
抛物线常用结论
1.如图1所示，设抛物线的准线为l，焦点为F，l与x轴交于点K，过F的直线交C于A、B两点，于点M，于点N，设中点为P，于点Q，设，，则：
（1），；
（2）；
（3），即以焦点弦为直径的圆与准线l相切；
（4）以焦半径或为直径的圆与y轴相切；
（5）A、O、N三点共线，B、O、M三点共线；
（6）直线与直线的斜率之和为0，即.
2．如图2所示，是抛物线的通径，K是抛物线C的准线l与x轴的交点，则是等腰直角三角形，且、均与抛物线C相切.
3．抛物线的平均性质：如图3所示，过点D的直线与抛物线交于A、B两点，则.
4．设A、B是抛物线上的两个动点，O为原点，若，则直线过定点.
【例6】如下图所示，抛物线的准线为l，焦点为F，l与x轴交于点K，过F的直线交C于A、B两点，于点M，于点N，设中点为P，于点Q，设，，证明下列结论：
（1）,；
（2）；
（3）以焦点弦为直径的圆与准线l相切；
（4）以焦半径或为直径的圆与y轴相切；
（5）A、O、N三点共线，B、O、M三点共线；
（6）.
【解析】（1）由题意，，，，因为F、A、B三点共线，所以，
故，从而，所以，
故，所以
显然，所以，.
（2）由题意，，，所以，故
（3）由题意，是梯形的中位线，
所以，从而，故以为直径的圆与直线l相切.（4）由题意，中点为，，所以点T到y轴的距离，故以为直径的圆与y轴相切，同理可得以为直径的圆也与y轴相切.
（5），，因为，所以，
从而，所以A、O、N三点共线，同理可证B、O、M三点也共线.
（6）由题意，，
所以
，
从而直线和关于x轴对称，故.
圆锥曲线第二定义
圆锥曲线的第二定义是：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。
圆锥曲线：包括椭圆（圆为椭圆的特例）、抛物线、双曲线。圆锥曲线（二次曲线）的（不完整）统一定义：到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的商是常数e（离心率）的点的轨迹。
椭圆：平面内一个动点到一个 定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离和等于定长2a的点的集合（设动点为P，两个定点为F1和F2，则PF1+PF2=2a）。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
双曲线(的一支)：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e;平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离差等于定长2a的点的集合（设动点为P，两个定点为F1和F2，则│PF1-PF2│=2a）定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。
抛物线：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是等于1。定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线。
椭圆、双曲线的焦半径公式（坐标版）
1．椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径和可按下面的公式计算：
（1）；（2）（记忆：左加右减）
2．双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径和可按下面的公式计算：
（1）；（2）（记忆：左加右减）
【例7】椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆上，则的取值范围为_______.
【解析】由题意，，，，设，其中，
则，，所以
【答案】
【例8】（2019·新课标Ⅲ卷）设、为椭圆的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为_______.
【解析】解法1：为等腰三角形，点M在第一象限，且，又，所以，故只能，
设，则，解得：，所以.
解法2：为等腰三角形，
点在M第一象限，且，又，所以，故只能，
设，由椭圆焦半径公式知，
解得：，代入椭圆方程得，故
【答案】
椭圆、双曲线的焦半径公式（角版）
1．椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设，则椭圆的焦半径，若延长交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦.
2．双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负）
【例9】已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则______.
【解析】设，则由焦半径公式，，解得：，由焦点弦公式，.
【答案】
【例10】已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则________.
【解析】设，则，由焦半径公式，，，所以，从而，即.【答案】2
【例11】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，若、、成等差数列，则椭圆C的离心率为______.
【解析】直线l的斜率为的倾斜角，由焦点弦公式，，
、、成等差数列，
如图，由椭圆定义可得，
所以，故，
化简得：，所以，
从而，故椭圆C的离心率.
【答案】
圆锥曲线焦半径比例公式
1．设过圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的焦点F的直线与该圆锥曲线交于A、B两点，记，若，其中，则，其中e为圆锥曲线的离心率.
速记口诀：“一口干”，“一口”是的谐音，“干”是等号右侧的上“－”下“＋”.
对于焦点在x轴上的圆锥曲线C，若过其焦点F且斜率为k的直线交C于A、B两点，且，其中，则该圆锥曲线的离心率
【例12】已知椭圆，过右焦点F且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则_______.
【解析】解法1：易求得，，，如图，设，则，所以，故，
，从而.
解法2：由题意，椭圆的离心率为，
如图，设，则，所以，
设，由焦半径比例公式，，
解得：或，因为，所以.
【答案】3
【例13】（2010·全国Ⅱ卷）已知椭圆的离心率为，过其右焦点F且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则k的值为（ ）
A.1 B. C. D.2
【解析】解法1：椭圆C的离心率为，，
所以，直线l的方程为，
联立消去x整理得：
设，，则由韦达定理，，
又，所以,，代入上面韦达定理的两个式子可得，，消去可得：
解得：，又，所以
解法2：由公式可得，
解得：，又，所以
【答案】B
【例14】已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与双曲线C交于A、B两点，O为原点，A在x轴上方，记和的面积分别为和，则_______.
【解析】设，如图，显然，
由公式可得，
解得或，又，所以，显然.
【答案】3
椭圆、双曲线中的焦点三角形
①焦点三角形的面积公式
1.如图1所示，、是椭圆的焦点，设P为椭圆上任意一点，记，则的面积.
2.如图2所示，、是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记，则的面积.
【例15】设、是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，则的面积为________.
【解析】由焦点三角形面积公式，.
【答案】
【例16】设、是椭圆的焦点，点P在椭圆上，且，则的面积为________.
【解析】设，则，所以，
由知，所以，从而，
故.
【答案】
②焦点三角形的斜率公式
1．如图1所示，在焦点三角形背景下求椭圆的离心率，一般结合椭圆的定义，关键是运用已知条件研究出的三边长之比或内角正弦值之比.
公式：
2.如图2所示，在焦点三角形背景下求双曲线的离心率，一般结合双曲线的定义，关键是运用已知条件研究出的三边长之比或内角正弦值之比.
公式：.
【例17】（2018·新课标Ⅱ卷）已知、是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上的一点，若，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【解析】解法1：如图，， ，故可设，则，，
所以C的离心率.
解法2：如图，.
【答案】D
【例18】设、是椭圆的左、右焦点，P在C上且轴，若，则椭圆C的离心率为_______.
【解析】如图，且，故可设，则，，
所以椭圆C的离心率.
解法2：如图，
【答案】
椭圆、双曲线第三定义及中点弦问题
1．椭圆的第三定义：如图1所示，设椭圆的左、右顶点分别为A和B，点P为椭圆C上不与A、B重合的动点，则直线、的斜率之积.
推广：如图2所示，A、B为椭圆上关于原点对称的任意两点，P为椭圆C上的动点且直线、的斜率均存在，则直线、的斜率之积
2．椭圆中点弦结论：如图3所示，设是椭圆的任意一条不垂直于坐标轴且不过原点的弦，M为的中点，则直线与直线的斜率之积.
3．双曲线的第三定义：如图4所示，设A、B分别为双曲线的左、右顶点，P为双曲线上不同于A、B的任意一点，则直线、的斜率之积
推广：如图5所示，设A、B为双曲线上关于原点O对称的任意两点，P为双曲线C上的动点，且、的斜率都存在，则直线、的斜率之积
双曲线中点弦结论：如图6所示，设是双曲线的不垂
直于坐标轴且不过原点的弦，M为中点，则直线与直线的斜率之积.
提醒：若是焦点在y轴上的椭圆或双曲线，则上述四个斜率积的结果都要取倒数.
【例19】设A为椭圆上第一象限的一点，B与A关于原点对称，点P在椭圆C上且直线、的斜率之积为，则椭圆C的离心率为______.
【解析】由题意，可设，则，且，
所以，
设，则，所以，从而，
由题意，，所以，从而，故椭圆C的离心率.
【答案】.
【例20】已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，若椭圆C上存在不与A、B重合的点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是______.
【解析】如图，不妨设P在x轴上方，，记，，则，所以，
从而①，
由椭圆第三定义，，所以，
代入①可得，显然，均为锐角，
所以，，
从而，
当且仅当时取等号，
故，结合可解得：.
【答案】
【例21】过点作斜率为的直线与双曲线相交于A、B两点，若M点恰为弦的中点，则双曲线C的离心率为______.
【解析】设，，则，两式作差得：，
整理得：，即，所以，从而，故.
【答案】
双曲线渐近线的几个常用结论
设双曲线的焦点分别为、，则有以下结论：
1.双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b.
2．如图1所示，以为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为.
3．如图2所示，过双曲线C上任意一点P作C的两条渐近线的平行线，则它们与两条渐近线所围成的平行四边形的面积是定值.
4．如图3所示，双曲线C上任意一点P处的切线与C的两条渐近线分别交于A和B两点，则P为的中点，且的面积为定值.
5．如图4所示，A、B分别在双曲线C的两条渐近线上，D为的中点，若直线、的斜率都存在，则它们的斜率之积为.
【例22】已知双曲线的右焦点为F，则F到双曲线C的渐近线的距离为_______.
【解析】解法1：由题意，双曲线C的右焦点为，渐近线为，即，从而F到渐近线的距离.
解法2：由题意，双曲线C的虚半轴长，所以F到双曲线C的渐近线的距离为1.
【例23】（2019·新课标Ⅰ卷）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若，，则C的离心率为_______.
【解析】解法1：如图，可设，，，则，，所以，
解得：或（舍去），从而，由知A为中点，所以，代入得：，整理得：，即双曲线C的离心率.
解法2：如图，由知，又O为中点，所以，
由知A为中点，所以，
又，所以
从而双曲线C的一条渐近线的斜率，即，
所以，从而，故.
解法3：如图，由知，
所以点B是以为直径的圆与渐近线在第一象限的交点，
由本节的结论2知，又，
所以A为中点，因为，所以
因为点A在另一条渐近线上，所以，化简得离心率.
【答案】2
【例24】已知双曲线的右焦点为F，点A为双曲线C在第一象限上的一点，且轴，过A作C的两条渐近线的平行线与双曲线的渐近线交于M、N两点，则四边形的面积为_______.
【解析】解法1：如图，由双曲线的通径公式易得点A的坐标为，
双曲线C的两条渐近线为，所以图中直线的方程为，
与联立可解得：，从而，
直线的方程为，与联立可解得：，
所以，显然，
故，从而平行四边形的面积.
解法2：如图，双曲线C的两条渐近线为，不妨设，，
因为是平行四边形，所以，故，
代入可得：，化简得：，
由原点三角形面积公式，
所以平行四边形的面积.
解法3：由本节的结论3，四边形的面积.
【答案】
三角形面积公式坐标版
公式1：设点，，O为原点，则.
公式2：设点，，，
则
【例25】在平面直角坐标系中，已知点，，则的面积为______.
【解析】解法1：如图，易求得，直线的方程为，所以点B到直线的距离，从而
解法2：.
【答案】
【例26】在平面直角坐标系中，已知点，，，则的面积为______.
【解析】解法1：直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
从而点B到直线的距离，
又，所以.
解法2：如图，将A、B、C三点同时向左移1个单位，向上移1个单位，则C移到原点，A、B分别移到，，
所以.
【答案】4
【例27】在平面直角坐标系中，已知A、B为抛物线上的两点，若，则的面积最小值为______.
【解析】解法1：如图，显然直线不与y轴垂直，故可设其方程为)，设，，联立消去x整理得：，判别式，
由韦达定理，，所以，
因为，所以，从而，满足，
故直线过定点，
所以，
当且仅当时取等号，所以的面积的最小值为4.
解法2：设直线的方程为，则直线的方程为，
联立解得：或，所以，将换成即得，
所以，
当且仅当，即时取等号，故的面积的最小值为4.
解法3：设，，则由题意，，所以，，从而
当且仅当，即时取等号，故的面积的最小值为4.
【答案】4