2023年广东省中考数学模拟预测（五）（含解析）

2023年广东省中考数学模拟预测（五）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣0.5的相反数是（　　）
A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣2 D．2
2．某几何体的展开图如图所示，特点的左视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．五边形的内角和是（　　）
A．360° B．540° C．720° D．1080°
4．如图，已知AB∥CD，若∠A＝25°，∠E＝40°，则∠C的大小是（　　）
A．25° B．40°
C．65° D．115°
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝6，BC＝8，则△ABO的周长为（　　）
A．16 B．18
C．20 D．22
6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，2），将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，则点A'的坐标为（　　）
A．（2，3） B．（3，2）
C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
7．下列计算正确的是（　　）
A．2x+3y＝5xy B．（﹣3x2y）3＝27x6y3
C． D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
9．碳酸钠的溶解度y（g）与温度t（°C）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．当温度为60°C时，碳酸钠的溶解度为49g
B．碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C．当温度为40°C时，碳酸钠的溶解度最大
D．要使碳酸钠的溶解度大于43.6g，温度只能控制在40∽80℃
10．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P，Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论不正确的是（　　）
A．AB：AD＝4：5
B．当t＝2.5秒时，PQ
C．当t时，
D．当△BPQ的面积为4cm2时，t的值是或秒
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．分解因式：3m2﹣12m+12＝　 　．
12．2023年3月31日下午，国内首艘40000立方米中型全冷式液化石油气船（MGC）“MRAI”号在上海交付，将数据40000用科学记数法表示为 　 　．
13．不等式组的解集为 　 　．
14．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知AC＝12，AE＝13，则点E到AB的距离为 　 　．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是1．过⊙O上一点P作等边三角形PDE，使点D，E分别落在x轴、y轴上，则PD的取值范围是 　 　．
三．解答题（一）（共3小题，每小题8分，共24分）
16．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，选一个适合的m值代入求值．
17．如图，△ABC中，CD是角平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠AED＝64°，求∠DCB的度数．
18．为提高学生的综合素养，某校准备开设四个课后兴趣小组，“摄影”、“建模”、“阅读”、“编程”，为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机调查了部分学生每人喜爱兴趣小组的个数．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．
请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数和a的值；
（2）求统计的部分学生每人喜爱兴趣小组的个数的平均数、众数和中位数．
四．解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分）
19．太原市某中学为了改进全校师生的饮水质量，需要安装A，B两款净水器，已知A款净水器比B款净水器贵1000元，用12.6万元购买A款净水器的数量是用相同金额购买B款净水器数量的．
（1）购买A，B两款净水器每台各为多少元？
（2）若该中学需要购买A，B两款净水器共30台，且购买的总费用不超过19.8万元，则最多可购买A款净水器多少台？
20．如图，一次函数的图象y＝kx+b与反比例函数的图象在第一象限交于点A（4，3），且OA＝OB．
（1）求一次函数y＝kx+b与反比例函数的表达式；
（2）请直接写出不等式的解集．
21．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一动点，且点E不与点B、C重合，把线段DE绕点D旋转，使点E落在线段BA延长线上的点F处．
（1）求线段DE旋转的度数；
（2）如图2，连接EF，过点D作DH⊥EF，垂足为H，连接HB．
①求证：HD＝HB；
②当点E在运动的过程中，请探究点H和线段AC的位置关系，并说明理由．
五．解答题（三）（共3小题，每小题12分，共24分）
22．已知：四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，且OA⊥BD．
（1）如图1，求证：CA平分∠BCD；
（2）如图2，若BD为⊙O的直径．
①求证：BD2＝2AC×AE；
②已知，，求CD的长．

23．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连接AC．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点，AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求 5PF+3PM 的最小值．
2023年广东省中考数学模拟预测（五）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：﹣0.5的相反数是0.5，
故选：A．
2．【解答】解：由几何体的展开图可知特点是圆锥，
圆锥的左视图为．
故选：B．
3．【解答】解：五边形的内角和是：
（5﹣2）×180°
＝3×180°
＝540°．
故选：B．
4．【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠EFB，
∵∠A＝25°，∠E＝40°，
∴∠EFB＝∠C＝65°．
故选：C．
5．【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OAAC，OBBD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∴AC10，OA＝OB，
∴OA＝OBAC＝5，
∴△ABO的周长＝OA+OB+AB＝5+5+6＝16；
故选：A．
6．【解答】解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，过点A′作A′C⊥x轴，垂足为C，
∴∠ABO＝∠OCA′＝90°，
∴∠BAO+∠AOB＝90°，
∵点A的坐标为（﹣3，2），
∴OB＝3，AB＝2，
由旋转得：
OA＝OA′，∠AOA′＝90°，
∴∠AOB+∠A′OC＝180°﹣∠AOA′＝90°，
∴∠BAO＝∠A′OC，
∴△ABO≌△OCA′（AAS），
∴OC＝AB＝2，A′C＝OB＝3，
∴点A'的坐标为（2，3），
故选：A．
7．【解答】解：A、2x与3y不是同类项，不能合并，本选项不符合题意；
B、（﹣3x2y）3＝﹣27x6y3≠27x6y3，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2≠x2﹣y2，本选项不符合题意；
故选：C．
8．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4k＞0，
解得k＜1．
故选：A．
9．【解答】解：由图象可知：
当温度为60℃时，碳酸钠的溶解度小于49g，故选项A说法错误，不符合题意；
0°C至40°C时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大，40°C至80°C时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而减少，故选项B说法错误，不符合题意；
当温度为40℃时，碳酸钠的溶解度最大，说法正确，故选项C符合题意；
要使碳酸钠的溶解度大于43.6g，温度可控制在接近40℃至80℃，故选项D说法错误，不符合题意．
故选：C．
10．【解答】解：由图（2）可得，当t＝5时，点Q到达点C，点P到达点E，
∴BE＝BC＝5cm，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5cm，AB＝CD，
当5＜t＜7时，y＝S△BPQ＝10cm2，
即此时S△BPQABBC AB＝10cm2，
∴，
∴AB＝4cm，
∴AB＝CD＝4cm，
∴AB：AD＝4：5，故A选项正确，不符合题意；
当t＝2.5秒时，如图，连接CE，
此时BP＝BQ＝2.5cm，
由函数图象可得，DE＝7﹣5＝2（cm），
在Rt△CDE中，CE（cm），
∵，∠PBQ＝∠EBC，
∴△BPQ∽△BEC，
∴，即，
∴PQcm，故B选项正确，不符合题意；
当t时，如图，
此时，DP（cm），BQ＝BC＝5cm，
∴PQ＝CD﹣DP＝4（cm），
∴，故C选项错误，符合题意；
当点P在BE上时，如图，过点P作PF⊥BC于点F，
此时，BQ＝BP＝tcm，
∵DE＝2cm，
∴AE＝AD﹣DE＝3（cm），
在Rt△ABE中，sin∠AEB，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PBF＝∠AEB，
∴sin∠PBF＝sin∠AEB，
在Rt△PBF中，FP＝BP sin∠PBF（cm），
∴S△BPQt4，
解得：，（舍去），
当点P在CD上时，如图，
此时，BQ＝BC＝5cm，DP＝（t﹣7）cm，CP＝CD﹣DP＝（11﹣t）cm，
∴S△BPQ，
解得：t，
综上，当△BPQ的面积为4cm2时，t的值是或，故D选项正确，不符合题意．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：原式＝3（m2﹣4m+4）
＝3（m﹣2）2．
故答案为：3（m﹣2）2．
12．【解答】解：40000＝4×104．
故答案为：4×104．
13．【解答】解：解不等式x+1＞2得：x＞1，
解不等式2x﹣1≤3得：x≤2，
∴不等式组的解集是：1＜x≤2．
14．【解答】解：如图，过点E作ET⊥AB于T．
∵AC＝12，AE＝13，
∴EC5，
由作图可知，AE平分∠CAB，
∵EC⊥AC，ET⊥AB，
∴ET＝EC＝5，
故答案为：5．
15．【解答】解：如图，过点P作PM⊥DE于点M，连接OM，
设DP＝DE＝a，
∵△PDE为等边三角形，PM⊥DE，
∴∠DPE＝60°，∠DPM＝30°，M为DE中点，
∴DM，OM，
根据勾股定理可得PM，
以此可得PM+OM≥1，
即，
解得：；
如图，过点P作PM⊥DE于点M，连接OM，
设DP＝DE＝a，
同理可得，OM，PM
根据图象可得，PM﹣OM≤1，
即，
解得：；
综上，，
∴PD的取值范围是．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
16．【解答】解：（1）原式＝21﹣24
＝214
；
（2）原式


＝m﹣2，
当m＝2，﹣1时，原式无意义，
则当m＝3时，m﹣2＝3﹣2＝1（答案不唯一）．
17．【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵BC∥DE，
∴∠CDE＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴DE＝CE．
（2）∵DE∥BC，∠DEA＝64°，
∴∠ACB＝∠AED＝64°，
∵CD平分∠ACB，
∴．
答：∠DCB的度数是32°．
18．【解答】解：（1）被抽查的学生有：4÷10%＝40（人），
a%＝1﹣10%﹣30%﹣20%＝40%，
即被抽查的学生有40人，a的值是40；
（2）平均数为：2.6，
众数是2，
中位数是（2+3）÷2＝2.5，
即统计的部分学生每人喜爱兴趣小组的个数的平均数是2.6，众数是2，中位数是2.5．
19．【解答】解：（1）设购买每台A款净水器需x元，则购买每台B款净水器需（x﹣1000）元，
根据题意得：，
解得：x＝7000，
经检验，x＝7000是所列方程的解，且符合题意，
∴x﹣1000＝7000﹣1000＝6000．
答：购买每台A款净水器需7000元，每台B款净水器需6000元；
（2）设该中学可购买m台A款净水器，则购买（30﹣m）台B款净水器，
根据题意得：7000m+6000（30﹣m）≤198000，
解得：m≤18，
∴m的最大值为18．
答：最多可购买A款净水器18台．
20．【解答】解：（1）∵点A（4，3）在反比例函数，
∴k＝8×3＝12，
∴反比例函数解析式为；
∵，OA＝OB，
∴点B（0，﹣5）．
把点A（4，3），B（0，﹣5）代入y＝kx+b中，
得，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝2x﹣5；
（2）解：令y＝2x﹣5中y＝0，
解得：，
∴，
由图象可知，不等式，
解得：．
21．【解答】（1）解：∵四边形是ABCD正方形，
∴∠DCE＝∠DAF＝∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，
由旋转性质得DF＝DE，
在Rt△DAF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△DAF≌Rt△DCE（HL），
∴∠ADF＝∠CDE，
∴∠FDE＝∠ADF+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°；
（2）①证明：∵DE＝DF，∠FDE＝90°，
∴△FDE是等腰直角三角形，
∵DH⊥EF，
∴FH＝HE，则，
∵∠ABC＝90°，
∴，
∴HD＝HB；
②解：点H在线段AC上，理由：
连接AC、BD，设交点为O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC垂直平分BD，即直线AC是线段BD的垂直平分线，
又∵HD＝HB，
∴点H在线段BD的垂直平分线上，
由图知，当点E在C处时，F在A处，H与O重合，
当点E在B处时，点F在BA延长线且FA＝AB处，点H与A重合，
∵点E是边BC上一动点，且点E不与点B、C重合，
∴点H在线段AC上（点H不与点A、C重合）．
22．【解答】（1）证明：∵OA⊥BD，
∴，
∴∠ACB＝∠ACD，
即CA平分∠BCD；
（2）①证明：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
由（1）可知AB＝AD，
∴AB＝AD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
则，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ACD＝∠ADB，即∠ACD＝∠ADE，
又∵∠CAD＝∠DAE，
∴△ADE∽△ACD，
∴，
即AD2＝AC AE，
∴，
则BD2＝2AC AE；
②解：由①知 AD2＝AE AC，
∵，，
∴AC3，
∴CE＝AC﹣AE＝3，，
∵∠ACD＝∠ABD，∠AEB＝∠DEC，
∴△BAE∽△CDE，
∴，
∴，
解得或（不合，舍去），
又∵，
即，
解得．
23．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（3，0）、B（﹣1，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），C（0，3）代入y＝kx+b，
得，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
过点F作FG⊥DE于点G，
∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，
∴AC＝EF，AC∥EF，
∵OA∥FG，
∴∠OAC＝∠GFE，
∴△OAC≌△GFE（AAS），
∴OA＝FG＝3，
设F（m，﹣m2+2m+3），则G（1，﹣m2+2m+3），
∴FG＝|m﹣1|＝3，
∴m＝﹣2或m＝4，
当m＝﹣2时，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F1（﹣2，﹣5），
当m＝4时，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F2（4，﹣5）
综上所述，满足条件点F的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）；
（3）由题意，M（1，﹣1），F2（4，﹣5），F1（﹣2，﹣5）关于对称轴直线x＝1对称，连接F1F2交对称轴于点H，连接F1M，F2M，过点F1作F1N⊥F2M于点N，交对称轴于点P，连接PF2．则MH＝4，HF2＝3，MF2＝5，
在Rt△MHF2中，sin∠HMF2，则在Rt△MPN中，sin∠PMN，
∴PNPM，
∵PF1＝PF2，
∴PFPM＝PF2+PN＝F1N为最小值，
∵6×45×F1N，
∴F1N，
∴PFPM的最小值为．
∴5PF+3PM的最小值为24．