课件31张PPT。1.1 集 合
1.1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义1．集合的含义：一般地，我们把研究______统称为元素，把一些元素组成的______叫做集合(简称集)．
2．集合中元素的特性：________________________.
3．集合的相等关系：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是________的．自学导引对象总体确定性、互异性、无序性相等 4．元素与集合的关系：
(1)如果a是集合A的元素，就说___________，记作____．
(2)如果a不是集合A的元素，就说____________，记作______．a属于集合Aa∈Aa不属于集合Aa?A5．常用数集及表示符号：NN*或N＋ZQR1．你能否确定，你所在班级中，个子最高的3位同学构成的集合？
【答案】能确定．因为所在班级中最高的3位同学是确定的，即元素是确定的，可以构成集合．自主探究2．你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成的集合？并说明理由．
【答案】不能确定．因为“高个子”这个标准不明确，不符合集合中元素的确定性，类似的“漂亮的同学”，“个子很矮的同学”也不能构成集合．1．下列语句能确定是一个集合的是( )
A．著名的科学家
B．留长发的女生
C．2010年广州亚运会比赛项目
D．上海世博会好看的展馆
【答案】C预习测评2．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )
A．1 B．－2
C．6 D．2
【答案】C
3．以方程x2－2x＋1＝0的解为元素的集合有________个元素．
【答案】1【答案】(1)? (2)∈ (3)? (4)∈ (5)∈ (6)∈1．集合中元素的特性的理解
(1)确定性：是指集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准．要点阐释
(2)互异性：是指对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的．简单地说，一个集合中不能出现相同的元素．
(3)无序性：集合中的元素是没有前后顺序的，如由1,2,3和3,2,1组成的集合是同一集合．
2．元素与集合的关系
(1)a∈A与a?A取决于a是不是集合A的元素，根据集合中元素的确定性， 可知对任何a与A，在a∈A与a?A这两种情况中必有一种且只有一种成立．
(2)符号“∈”，“?”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合间的关系，这一点要特别注意．题型一 集合的概念
【例1】 考查下列每组对象能否构成一个集合：
(1)著名的数学家；
(2)某校2010年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数．
思路点拨：注意集合的三个特性．典例剖析解：(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．
【答案】B
解析：A中的城市大到什么程度不明确，所以不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．
题型二 集合中元素的特性
【例2】 已知集合A是由三个元素m，m2＋1,1组成且2∈A，求m.
思路点拨：集合具有互异性，故可分类讨论来确定m的值．解：∵2∈A，则m＝2或m2＋1＝2，
∴m＝2或m＝±1，
当m＝2时，集合中的元素为2,5,1，符合集合中元素的互异性．
当m＝1时，不符合元素的互异性，舍去．
当m＝－1时，集合中的元素为－1,2,1，符合集合中元素的互异性．
综上，可知m＝2或m＝－1.2．设1,0，x三个元素构成集合A，若x2∈A，求实数x的值．
解：若x2＝0，则x＝0，此时A中只有两个元素1,0，这与已知集合A中含有三个元素矛盾，故舍去．
若x2＝1，则x＝±1.
当x＝1时，集合为{1,0,1}，舍去；
当x＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合．
若x2＝x，则x＝0或x＝1，不符合互异性，都舍去．
综上，可知x＝－1.思路点拨：(1)(3)可根据条件②解答；(2)中要注意条件①是否成立．方法点评：(1)a∈A与a?A取决于元素a是不是集合A的元素，根据集合中元素的确定性，可知对任何a与A，a∈A与a?A这两种情况有一种且只有一种成立．
(2)对于元素与集合之间的关系，一定要明确集合是由怎样的元素构成，然后再确定或应用某对象是否为集合中的元素．
(3)解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决．【例4】 写出方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解的集合．
错解：x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为1，a，则解集为{1，a}．
错因分析：错解没有注意到字母a的取值带有不确定性，得到了错误答案{1，a}．事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性．误区解密 因忽略集合中元素的互异性而出错正解：x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为1，a.若a＝1，则方程的解集为{1}；若a≠1，则方程的解集为{1，a}．
纠错心得：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三个特性中互异性对解题的影响最大，特别是类似本题这种带有字母参数的集合，隐含着对字母参数的要求．1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．
2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．
3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．课堂总结课件33张PPT。1.1 集 合
1.1.1 集合的含义与表示
第2课时 集合的表示1．把集合的元素________出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．具体的方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．自学导引一一列举共同特征1．集合{x|x>1}与集合{y|y>1}是否表示同一集合？
【答案】虽然两个集合的代表元素不同，但实质上它们均表示大于1的所有实数，故是同一集合．自主探究2．下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．它们各自的含义是什么？它们是不是相同的集合？
【答案】集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，
满足条件y＝x2＋1中的x∈R，
∴实质上{x|y＝x2＋1}＝R.
集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，
满足条件y＝x2＋1中的y的取值范围是y≥1，
∴实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足条件y＝x2＋1中的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合且这些点的坐标满足y＝x2＋1，∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．
由以上可知它们不是相同的集合．1．集合{x|1≤x≤6，x∈N}中元素的个数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】B预习测评2．集合A＝{1,3,5,7，…}用描述法可表示为( )
A．{x|x＝n，n∈N} B．{x|x＝2n－1，n∈N}
C．{x|x＝2n＋1，n∈N} D．{x|x＝n＋2，n∈N}
【答案】C
3．用列举法表示大于2小于15的偶数全体为________．
【答案】{4,6,8,10,12,14}
4．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.
【答案】{0,1}1．在用列举法表示集合时应注意：
①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少，用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性， 在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．要点阐释2．在使用描述法表示集合时应注意：
①写清集合中的代表元素，如实数或实数对；
②说明该集合中元素具有的性质，如方程、不等式、函数或几何图形等；
③不能出现未被说明的字母，用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑连接词“且”与“或”等连接；
④所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的语句力求简明、确切．
3．数集和点集的区别
分清数集与点集，关键是看集合中代表元素符号．
数集的一般形式为{x|x满足的条件}．
点集的一般形式为{(x，y)|x，y满足的条件}．题型一 用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合：
(1)方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合；
(2)不大于10的非负偶数集；
(3)一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合．
思路点拨：注意三个集合各自的特点，确定是无限集还是有限集．典例剖析1．用列举法表示下列集合：
①我国现有直辖市的全体；
②方程(x2－1)(x2＋2x－8)＝0的解集；
③绝对值小于3的整数集合．
解：①{北京、上海、天津、重庆}；
②由x2－1＝0，得x＝±1.
由x2＋2x－8＝0，得x＝2或x＝－4，
故方程的解集为{－4，－1,1,2}；
③{－2，－1,0,1,2}．思路点拨：从集合中元素(数或点)后满足的条件、具有的属性入手，联想有关的数学表达式．
解：(1){x|x＝5k＋1，k∈N}；
(2){x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}；
(3){x|x≤2且x≠0，x∈R}；
(4){(x，y)|xy＝0}．2．用描述法表示下列集合：
(1)所有正偶数组成的集合；
(2)方程x2＋2＝0的解的集合；
(3)不等式4x－6<5的解集；
(4)函数y＝2x＋3的图象上的点集．解：(1)文字描述法：{x|x是正偶数}．
符号描述法：{x|x＝2n，n∈N*}．
(2){x|x2＋2＝0，x∈R}．
(3){x|4x－6<5，x∈R}．
(4){(x，y)|y＝2x＋3，x∈R，y∈R}．题型三 列举法和描述法的灵活运用
【例3】 用适当的方法表示下列集合：
(1)比5大3的数；
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(3)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．
思路点拨：用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．方法点评：用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．解：(1)列举法：{3,5,7}；
(2)描述法：{周长为10 cm的三角形}；
(3)列举法：{1, 2, 3, 12, 13, 21, 31, 23, 32, 123, 132, 213, 231, 312, 321}；
(4)列举法：{(0,0)，(1,1)}．误区解密 因对描述法表示集合理解不到位而出错错解：A
错因分析：对于①易忽略代表元素x∈N，导致判断错误；对于②是对常用数集的符号理解不到位导致出错；对于③是对方程组的解为有序数对，这一点认识不到位导致出错．答案：D纠错心得：对于描述法表示集合，一应清楚符号“{x|x的属性}”表示的是所有具有某种属性的x的全体，而不是部分；二应从代表元素入手，弄清楚代表元素是什么．1．在用列举法表示集合时应注意以下四点：
(1)元素间用“，”分隔；
(2)元素不重复；
(3)不考虑元素顺序；
(4)对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号．课堂总结2．使用描述法时应注意以下四点：
(1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号)；
(2)说明该集合中元素的特征；
(3)不能出现未被说明的字母；
(4)用于描述的语句力求简明、确切．3．集合表示法的选择：
(1)对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法；
(2)对于无明显规律的无限集，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素的只有这个集合才有的共同特征描述出来，即采用描述法.课件32张PPT。1.1 集 合
1.1.2 集合间的基本关系1．一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作__________(或________)，读作“________”(或“________”)．
2．如果集合A是集合B的子集(A?B)且__________________________，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作________．自学导引任意一个A?BB?AA含于BB包含A集合B是集合A的子集(B?A)A＝B3．如果集合A?B，但存在元素x∈B且x?A，我们称集合A是集合B的________，记作______(或______)．
4．不含任何元素的集合叫做________，记作________．
5．________是任何集合的子集，________是任何非空集合的真子集．真子集A?BB?A空集?空集空集1．能否把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”？
【答案】不能．这是因为当A＝?时，A?B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A?B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A?B成立，所以上述理解是错误的．自主探究2．0，{0}，?，{?}之间有什么关系？
【答案】(1)数0不是集合，{0}是含一个元素0的集合，?是不含任何元素的集合，{?}是指以?为元素的集合．
(2)不要把数0或集合{0}与空集?混淆，同时注意不要把空集?错写成{?}或{0}．
它们之间的关系是：?≠{?}，?∈{?},0??，0?{?},0∈{0}．
(3)从集合之间的关系看，??{?}，??{?}，??{0}．1．下列四个写法：①{0}∈{0,1,2}，②??{0}，③{0,1,2}?{1,2,0}，④0∈?.其中错误的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B预习测评解析：对于①，“∈”是用于元素与集合的关系，故①错；
对于②，?是任意集合的子集，故②对；
对于③，集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性，故③对；
对于④，因为?是不含任何元素的集合，故④错．故选B.
2．若集合A＝{x|x≤2}，则( )
A．0?A B．0?A
C．{0}?A D．{0}∈A
【答案】C
3．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝ ，则A，B的关系为________．
【答案】B?A
4．用适当的符号填空(∈、?、?、＝)．
(1)a________{a，b，c}；
(2)?________{x∈R|x2＋1＝0}；
(3){0}________{x|x2＝x}；
(4){2,1}________{x|x2－3x＋2＝0}．
【答案】(1)∈ (2)＝ (3)? (4)＝1．对子集概念的理解
(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝?时，A?B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A?B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A?B.要点阐释2．正确判断元素与集合、集合与集合之间的关系
(1)元素与集合之间的关系是从属关系，这种关系用符号“∈”或“?”表示．
(2)集合与集合之间的关系有包含关系，相等关系，其中包含关系有：包含于(?)、包含(?)、真包含于(?)、真包含(?)等．
(3)在使用以上符号的时候先要弄清楚是元素与集合还是集合与集合之间的关系．3．正确理解空集
0，{0}，?，{?}的区别与联系．
①区别：0不是一个集合，而是一个元素，而{0}，?，{?}都为集合，其中{0}是包含一个元素0的集合；
?为不含任何元素的集合；{?}为含有一个元素?的集合，此时?作为集合{?}的一个元素．
②联系：0∈{0},0??，0?{?}，??{0}，??{0}，??{?}，??{?}，?∈{?}．题型一 子集、真子集的概念
【例1】 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；
(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(3)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；
(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；
(5)A＝{x|－1
思路点拨：根据集合的相关概念来解答．典例剖析解：(1)用列举法表示集合B＝{1}，故B?A.
(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．
(3)∵Q中n∈Z，∴n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，
∴P＝Q.
(4)等边三角形是三边相等的三角形，故A?B.
(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可发现A?B.1．已知集合A＝{x|1解：∵A＝{2,3,4}，∴集合A的所有子集是：?，{2}，{3}，{4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{2,3,4}，在上述子集中，除去集合A本身，即{2,3,4}，剩下的都是A的真子集．
题型二 集合相等及应用
【例2】 已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}且A＝B，求实数x与y的值．
思路点拨：解答本题只需建立有关实数x，y的方程组即可．但应特别注意集合中元素的互异性．解：由已知A＝B＝{0，|x|，y}，∴0∈A.
若x＝0，则A＝{0,0，－y}，不满足元素的互异性；
若y＝0，则B＝{0，|x|,0}，也不满足元素的互异性．
∴只有x－y＝0，即y＝x.∴A＝{x，xy,0}＝{x，x2,0}．
∴B＝{0，|x|，x}．∴x2＝|x|，
∴x＝0(舍)或x＝1或x＝－1.
当x＝1时，A＝B＝{1,1,0}，
而元素具有互异性，故x≠1.
当x＝－1时，A＝B＝{－1,1,0}满足题意．
∴x＝y＝－1即为所求．2．已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y2}且A＝B，求x，y的值．题型三 子集的集合运用
【例3】 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1思路点拨：本题可根据B?A，确定集合B，进一步求出m.方法点评：(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．3．已知集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B?A，求实数a的值．【例4】 设A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，则实数a的取值范围是( )
A．{a|1≤a≤3} B．{a|a>3}
C．{a|a≥1} D．{a|1答案：C
纠错心得：由于空集是任何非空集合的真子集，因此B＝?时也满足B?A.解含有参数的集合问题时，要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况．空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，学生往往会在解题中遗忘这个集合，导致解题错误或解题不全面．课堂总结课件29张PPT。1.1 集 合
1.1.3 集合的基本运算
第1课时 并集、交集并集和交集的概念及其表示自学导引属于或属于A∪BA并B{x|x∈A或x∈B}既属于又属于A∩B{x|x∈A且x∈B}1．能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？
【答案】不能．当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在，此时A∩B＝?.自主探究2．怎样理解并集概念中的“或”字？对于A∪B，能否认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合？
【答案】其中“或”字的意义，用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的，“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A，但x?B，x∈B，但x?A；x∈A且x∈B.
对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合，违反了集合中元素的互异性．因为A与B可能有公共元素，公共元素只能算一个．1．设集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则A∪B等于( )
A．{1,2,2,3} B．{2}
C．{1,2,3} D．?
【答案】C预习测评2．(2013年营口二模)设集合A＝{x|x＞－3}，B＝{x|－5＜x＜2}，则A∪B＝( )
A．{x|x＞－5} B．{x|x＞－3}
C．{x|－3＜x＜2} D．{x|－5＜x＜2}
【答案】A
解析：根据题意，作出数轴表示集合A，B，可得
即可得A∪B＝{x|x＞－5}．
3．已知集合A＝{(x，y)|y＝x＋3}，B＝{(x，y)|y＝3x－1}，则A∩B＝________.
【答案】{(2,5)}
4．已知Q＝{x|x是有理数}，Z＝{x|x是整数}，则Q∪Z＝_.
【答案】Q1．正确理解“且”、“或”的内涵
(1)“且”即“并且”、“而且”，“x∈A且x∈B”，即x是A与B的公共元素．
(2)并集概念中的“或”与生活用语中的“或”含义是不同的，生活用语中的“或”是“或此”、“或彼”，只居其一，并不兼有；并集概念中的“或”是“或此”、“或彼”、“或此彼”，可以兼有．要点阐释2．交集与并集的性质
(1)A∩A＝A；A∩?＝?；A∩B＝B∩A；A∩B?A；A∩B?B.
(2)A∩B＝A?A?B；A∪B＝B?A?B.
(3)A∪A＝A；A∪?＝A；A∪B＝B∪A；A?A∪B；B?A∪B；A∩B?A∪B.3．含参数的交、并集问题
(1)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集还是图形；
(2)直观化：借助数轴、Venn图等将有关集合直观地表示出来；
(3)求出有关集合中方程、不等式的解，不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．题型一 交集、并集的运算
【例1】 求下列两个集合的并集和交集．
(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{－1,0,1,2,3}；
(2)A＝{x|x<－2}，B＝{x|x>－5}．
思路点拨：(1)可直接求并集和交集；(2)利用数轴求解比较方便．典例剖析解：(1)如图所示，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4,5}，A∩B＝{1,2,3}．
(2)结合数轴(如图所示)，得
A∪B＝R，
A∩B＝{x|－5－1}，B＝{x|－2A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}
C．{x|－2(2)若将(1)中A改为A＝{x|x>a}，求A∪B.
【答案】(1)A 解析：(1)画出数轴，故A∪B＝{x|x>－2}．
(2)解：如图所示，
当a<－2时，A∪B＝A；
当－2≤a<2时，A∪B＝{x|x>－2}；
当a≥2时，A∪B＝{x|－2a}．题型二 已知集合的交集、并集求参数
【例2】 设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，
a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a.
思路点拨：A∩B＝{－3}说明A与B的公共元素只有－3.解：∵A∩B＝{－3}，
∴－3∈B.
∵a2＋1≠－3，∴①若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，∴a≠0.
②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}．
综上，可知a＝－1.2．已知A＝{x|a5}．若A∪B＝R，求a的取值范围．
解：由a5}，在数轴上标出集合A，B，如图．题型三 交集、并集性质的运用
【例3】 若A＝{x|x2＋px＋q＝0，x∈R}，B＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，A∪B＝B，求p，q满足的条件．
思路点拨：解答此题要明确A∪B＝B?A?B.
解：∵B＝{1,2}，
而A∪B＝B，则A?B，
故A＝?或A＝{1}，{2}，{1,2}．
①若A＝?，则x2＋px＋q＝0无解，
即Δ＝p2－4q<0，
∴p2<4q时，A?B.②若A＝{1}，
则x2＋px＋q＝0有两相等实根1，
显然p＝－2，q＝1，
即p＝－2，q＝1时，A?B.
③若A＝{2}，则x2＋px＋q＝0有两相等实根2，
显然p＝－4，q＝4，
即p＝－4，q＝4时，A?B.方法点评：在解答集合的交、并运算时，常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题．解答时应充分利用交集、并集的有关性质，准确转化条件，有时也借助数轴分析处理．另外还要注意“空集”这一隐含条件．3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．【例4】 设集合A＝{y∈R|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{y∈R|y＝x＋1，x∈R}，则A∩B等于( )
A．{(0,2)，(1,2)} B．{0,1}
C．{1,2} D．{y∈R|y≥1}误区解密 因没有明确描述法表示集合时的代表元素而出错错因分析：没有理解集合的描述法的含义，元素的表达式符号是“y”，而不是“(x，y)”，有的同学盲目地将两约束条件联立求得其交点坐标，其实质是误将元素表达式“y”理解成“(x，y)”．
正解：A＝{y∈R|y≥1}，B＝{y∈R|y∈R}，
∴A∩B＝{y∈R|y≥1}，故选D.
答案：D纠错心得：这里的集合A，B是用描述法表示的，要首先明确代表元素是什么，再看元素的属性，从而确定该集合表示的意义，是数集，还是点集，是x的取值范围还是y的取值范围，解决这一类问题时，一定要抓住集合及其元素的实质．1．求两个集合的交集或并集时，要先看清两个集合中的元素是什么．
2．善于借助Venn图、数轴解决集合问题，特别是一些含字母的范围问题．
3．A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B，这两个性质非常重要，另外，在解决有条件A?B的集合问题时，不要忽视A＝?的情况．课堂总结课件30张PPT。1.1 集 合
1.1.3 集合的基本运算
第2课时 补集及其综合应用1．全集
如果一个集合含有我们____________________________，那么就称这个集合为全集，通常记作___．自学导引所研究问题中所涉及的所有元素U 2．补集不属于集合A?UA{x|x∈U且x?A}1．全集一定包含任何一个元素吗？一定是实数集R吗？
【答案】(1)全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，而非任何元素．
(2)全集是相对于研究问题而言的，如只在整数范围内研究问题时，则Z为全集；而当问题扩展到实数时，则R为全集，故并非全集都是实数集R.自主探究2．怎样理解全集与补集的概念？符号?UA的含义是什么？
【答案】(1)全集只是一个相对的概念，只包含所研究问题中所涉及的所有元素，补集只相对于相应的全集而言．
(2)同一个集合在不同的全集中补集不同；不同的集合在同一个全集中的补集也不同．
(3)符号?UA包含三层意思：
①A?U；②?UA表示一个集合且?UA?U；③?UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．1．已知全集U＝{0,1,2}且?UA＝{2}，则A等于( )
A．{0} B．{1}
C．? D．{0,1}
【答案】D预习测评2．已知全集U＝R，A＝{x|x<2}，则?UA等于( )
A．{x|x>2} B．{x|x<2}
C．{x|x≥2} D．{x|x≤2}
【答案】C3．若A＝{x∈Z|0【答案】{2,5,6,7,8,9} {1,2,4,8,9}4．(2013年盐城一模)已知集合U＝{－1,0,1,2}，A＝{－1,1}，则?UA＝________
【答案】{0,2}.1．全集的相对性
(1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素．
(2)对于一个给定的集合，全集选择不同，则补集不同．要点阐释2．数形结合的思想
集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．
3．补集思想
对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，化难为易，化隐为显，从而将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现．题型一 补集的运算
【例1】 已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，求集合B.
思路点拨：由集合A与?UA可求出全集U，本题用Venn图来解答比较简单．典例剖析解：解法一：A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}，又?UB＝{1,4,6}，
∴B＝{2,3,5,7}．
解法二：借助Venn图，如下图所示，
由图可知B＝{2,3,5,7}．1．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－3(1)求?UA，?UB；
(2)判断?UA与?UB的关系．
解：(1)∵A＝{x|x≥－3}，
∴?UA＝?RA＝{x|x<－3}．
又B＝{x|－32}．(2)由数轴可知：
显然，?UA??UB.题型二 交集、并集、补集的综合运算
【例2】 设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2思路点拨：本题利用数形结合来解答，利用数轴会比较直观．2．已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x≤1}，求?UA，?UB，(?UA)∩(?UB)，(?UA)∪(?UB)，?U(A∩B)，?U(A∪B)．题型三 利用集合的运算求参数
【例3】 设全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}，?UA＝{5}，求实数m.
思路点拨：本题利用?UA＝{5}可得到关于m的方程．3．已知全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，若A＝{b,2}，?UA＝{5}，求a，b.【例4】 设全集U＝R，M＝{m|方程mx2－x－1＝0有实数根}，N＝{n|方程x2－x＋n＝0有实数根}，求(?UM)∩N.误区解密 因未对方程的二次项系数进行讨论而出错错因分析：这个结果虽然正确，但解答过程不正确，未对m＝0和m≠0分别讨论．1．补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合在不同的全集中补集是不同的，不同的集合在同一个全集中的补集也不同．另外，全集是一个相对概念．
2．符号?UA存在的前提是A?U，这也是解有关补集问题的一个隐含条件，充分利用题目中的隐含条件是我们解题的一个突破口．
3．补集的几个性质：
?UU＝?，?U?＝U，?U(?UA)＝A.课堂总结课件38张PPT。1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念1．设A，B是非空的________，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有__________的f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做________，x的取值范围A叫做函数的____________，与x值对应的y值的范围叫做函数的________．
2．函数的三要素是________、________和________．自学导引数集唯一确定自变量定义域值域定义域值域对应关系3．(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做______，表示为________．
(2)满足不等式a(3)满足不等式a≤x(4)实数集R用区间表示为______________．
(5)把满足x≥a，x>a，x≤b，x【答案】f(x)是自变量x的函数，在一般情况下是一个变量；f(a)表示当x＝a时所得的函数值，是一个常量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如：函数f(x)＝3x＋2，f(2)＝3×2＋2＝8.自主探究2．数集都能用区间表示吗？
【答案】不一定．区间是数集的另一种表示方法，但并不是所有的数集都能用区间表示，如{1,3,5,6}就不能用区间表示．预习测评【答案】B 2．下列说法中正确的有( )
①y＝f(x)与y＝f(t)表示相等函数；
②f(x)＝1与g(x)＝x0是相等函数；
③定义域和值域都相同的两函数是相等函数．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】B
解析：两个函数是同一个函数，当且仅当这两个函数具有相同的定义域、对应关系，故①对，③错；由于f(x)＝1的定义域为R，g(x)＝x0的定义域是{x|x≠0}，显然这两个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故②错．4．函数y＝x2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是____________．
【答案】{－1，－2,2}1．函数概念的理解
(1)函数的两个定义本质相同，传统定义是从变量的变化规律这个角度出发的，而近代定义是从集合的角度出发，事实上，函数就是从一个数集到另一个数集的对应关系．
(2)从函数的定义还可以看出，一旦函数的定义域和对应关系确定，那么函数的值域就确定了．要点阐释(3)从函数的定义还可以看出，一个函数是由函数的定义域、对应关系、值域构成的，这三个元素称为函数的“三要素”，这是判断两个函数是否是同一个函数的标准．(4)函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明，函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”，在学习中，我们要细心体会这种关系，逐渐形成对函数本质的理解和对函数思想的自觉利用．例如判断下列图象是不是函数的图象：
显然①②满足“一对一”或“多对一”，而③是“一对多”，故①②是函数的图象，而③不是．2．函数定义域的求法
(1)求函数的定义域之前，尽量不要将函数的解析式变形，以免引起定义域的变化．
(2)求函数的定义域，就是求使得函数的解析式有意义的自变量x的取值范围．
当f(x)是整式时，其定义域为R.
当f(x)是分式时，其定义域是使得分母不为0的实数的集合．
当f(x)是偶次根式时，其定义域是使得根号内的式子大于或等于0的实数的集合．3．函数的值域
对于函数y＝f(x)(x∈A)，与x的值相对应的y值叫函数值．如：函数y＝x2＋5x＋3，当x＝3时，y＝32＋5×3＋3＝27叫做x＝3时的函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域．4．区间的概念
(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；
(2)区间表示实数集的几条原则：连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆；
(3)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；
(4)由于区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍然成立．5．关于无穷大的说明
(1)∞是一个符号，而不是一个数；
(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号．题型一 函数的概念
【例1】 下列对应是不是从A到B的函数？
①A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→|x|；
②A＝Z，B＝N，f：A→B，平方；
③A＝Z，B＝Z，f：A→B，求算术平方根；
④A＝N，B＝Z，f：A→B，求平方根；
⑤A＝[－2,2]，B＝[－3,3]，f：A→B，求立方．
思路点拨：本题四个小题中的集合A和B都是非空的数集，利用函数的定义，对于集合A中的元素通过对应关系判断在集合B中是否有唯一元素与之对立．典例剖析解：本题详细分析见表：解：(1)(4)是函数，(2)(3)不是函数．
(1)对于A中任意一个非负数在B中都有唯一元素1与之对应，对于A中任意一个负数在B中都有唯一元素0与之对应，所以是函数．
(2)集合A中的0元素在B中没有元素和它对应，故不是函数．
(3)集合A中的0元素(或－1等等)，在B中没有元素和它对应，故不是函数．
(4)集合A中的1和3在集合B中有唯一的－1与之对应，集合A中的2和4在集合B中有唯一的1与之对应，故是函数．思路点拨：注意函数的定义域与对应法则是否相同．解： (1)(2)不是，(3)是．
对于(1)，f(x)的定义域为{x|x≠－3}，g(x)的定义域为R；对于(2)，f(x)的定义域为Z，g(x)的定义域为R，所以(1)，(2)中两组函数均不是相等函数；
对于(3)，两函数的定义域、对应关系均相同，故为相等函数．思路点拨：给定函数时，要指明函数的定义域，对于只给出函数的表达式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是使表达式有意义的自变量的取值集合．方法点评：求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等．误区解密 因求函数定义域忽视对二次项系数的讨论而出错错解：函数的定义域为R，即k2x2＋3kx＋1≠0对任意的实数x恒成立，∴Δ＝9k2－4k2<0，此时5k2<0，无解，∴k值不存在．错因分析：本题忽视了k＝0的讨论，误认为f(x)＝k2x2＋3kx＋1一定是二次函数．纠错心得：求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数．本题中k2x2＋3kx＋1≠0应注意二次项系数k2的讨论，不可掉以轻心．1．函数符号y＝f(x)是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下即可得到y”．在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值．课堂总结2．正确理解函数的三要素，其中对应关系是函数的核心，而函数的定义域就是指能使这个解析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义．
3．区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点，因此是表示函数的定义域、值域及不等式解集的重要工具.课件31张PPT。1.2 函数及其表示
1.2.2 函数的表示法(一)表示函数的方法常用的有：
(1)解析法——用___________表示两个变量之间的对应关系；
(2)图象法——用________表示两个变量之间的对应关系；
(3)列表法——列出________来表示两个变量之间的对应关系．自学导引数学表达式图象表格 任何一个函数都可以用解析法表示吗？
【答案】不一定．如某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系等无法用解析式表示．自主探究1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)的值为( )
A. －1 B．－2
C．－3 D．－4
【答案】D预习测评2．下列各图中，不能是函数f(x)图象的是( )
【答案】C函数的三种表示方法的优缺点比较要点阐释典例剖析思路点拨：由题可得到关于a，b的方程组．(2)x＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共取20个值，列表如下：
注：表中的部分数据是近似值．(3)函数t的图象是由20个点组成的一个点列．如图所示．1．国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应邮资如下表：
试用另外两种表示方法表示函数M＝f(m)．由解析式可得到分段函数的简图，从而得到表示函数M＝f(m)的另一种方法，即图象法．题型二 作函数的图象
【例2】 作出下列函数图象：
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
思路点拨：作函数的图象，首先应分析函数的定义域，从定义域可看出图象的特征．解：(1)∵x∈Z且|x|≤2，
∴x∈{－2，－1,0,1,2}．
∴图象为一直线上的孤立点[如图(1)]．
(2)∵y＝2(x－1)2－5，∴当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.所画函数图象如图(2)．(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
又x＝1,3时，y＝0；当x＝2时，y＝－1.
所画函数图象如图2.思路点拨：注意解题方法的选取．3．已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．【例4】 已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式．
错解：∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
设t＝x2＋2，则f(t)＝t2－4，∴f(x)＝x2－4.
错因分析：本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域．上面的解法，似乎是无懈可击，然而从其结论，即f(x)＝x2－4来看，并未注明f(x)的定义域，那么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数．但是f(x)＝x2－4的定义域不是全体实数．误区解密 因忽略函数的定义域而出错正解：∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，
∴f(x)＝x2－4(x≥2)．
纠错心得：采用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后的自变量的取值范围．如本题中令t＝x2＋2后，则t≥2.1．函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法．
2．画函数图象的方法：(1)列表、描点、连线；(2)图象变换．
3．求函数解析式的方法有：换元法、配凑法、待定系数法等.课堂总结课件28张PPT。1.2 函数及其表示
1.2.2 函数的表示法(二)1．分段函数
(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的________的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的________；各段函数的定义域的交集是空集．
(3)作分段函数图象时，应______________________．自学导引对应关系并集分别作出每一段的图象2．映射的概念
设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中__________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的__________．都有唯一一个映射函数与映射的主要联系和区别是什么？
【答案】函数是一个特殊的映射，函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对于映射而言，A和B不一定是数集．自主探究1．已知集合A＝{a，b}；B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是( )
【答案】C预习测评【答案】A【答案】(－∞，0)∪(0，＋∞)4．已知A＝R，B＝[1，＋∞)，对应关系f：x→x2＋1，则A中元素1对应于B中的元素________，A中元素－1对应于B中的元素________，A中的元素________对应于B中元素1.
【答案】2 2 01．分段函数
(1)有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值区间，对应关系也不同，这样的函数通常称为分段函数，分段函数是一个函数，而不是几个函数，其解析式是由几个不同的式子构成的，它们合为一个整体表示一个函数．要点阐释(2)画分段函数的图象时，一定要考虑区间端点是否包含在内，若端点包含在内，则用实点“·”表示，若端点不包含在内，则用虚点“○”表示．
(3)写分段函数定义域时，区间端点应不重不漏．
(4)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．2．映射
(1)映射f：A→B是由非空集合A，B以及A到B的对应关系f所确定的．
(2)映射定义中的两个集合A，B是非空的，可以是数集，也可以是点集或其他集合，A，B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射一般是截然不同的，即f具有方向性．
(3)映射f：A→B，要求：对于集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应．思路点拨：本题是分段函数的解析式，应按分段函数的定义分段求解．典例剖析(2)函数f(x)的图象如右图所示．
(3)由(2)，知f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．思路点拨：根据定义域，由自变量的值求相应区间上的函数值．思路点拨：根据映射的定义求解．
解：(1)由于A中元素3在对应关系f作用下其与3的差的绝对值为0，而0?B，故不是映射．
(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
(3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一一个元素与之对应，符合映射定义，是映射．方法点评：给定两集合A，B及对应关系f，判断是否是从集合A到集合B的映射，主要利用映射的定义，用通俗的语言讲：A→B的对应有“多对一”、“一对一”、“一对多”，前两种对应是A到B的映射，而最后一种不是A到B的映射．解：(1)对于集合A中任意一个非负数在集合B中都有唯一元素1与之对应，对于A中任意一个负数在集合B中都有唯一元素0与之对应，所以这个对应是映射．
(2)集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，故不是映射．
(3)对于每一个矩形，它的面积是唯一确定的，所以f是从集合A到集合B的映射．错解：由x2－1＝3，得x＝±2；
由2x＋1＝3，得x＝1，故x的值为2，－2或1.
错因分析：本题是一个分段函数问题，在解决此类问题时，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函数，而是一个函数，求值时不能忽视x的取值范围．误区解密 因忽视分段函数自变量的范围而出错正解：当x≥0时，由x2－1＝3，得x＝2或x＝－2(舍去)；当x<0时，由2x＋1＝3，得x＝1(舍去)，故x＝2.
纠错心得：对于分段函数分为几部分应看成一个整体才有意义，它的定义域应是各部分x范围的并集，求某个自变量的函数值，容易不看自变量的范围直接代入解析式而求错解．1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．
2．判断一个对应是不是映射，先看集合A中的每一个元素是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一．至于集合B中的元素不作任何要求.课堂总结课件33张PPT。1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性1．定义域为I的函数f(x)的增减性：自学导引f(x1)f(x2)增函数减函数2．如果函数y＝f(x)在区间D上是________或______，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有_______________，区间D叫做 y＝f(x)的________．
3．判断(证明)函数单调性的步骤增函数减函数(严格的)单调性单调区间1．在增、减函数定义中，能否把“任意”两字去掉？自主探究2．如果函数在两个区间上都是单调的，在这两个区间的并集上是不是一定单调呢？1．函数y＝(x＋4)2的递减区间是( )
A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(－∞，4)
【答案】A预习测评【答案】C 3．函数f(x)＝|x|的减区间是________．
【答案】(－∞，0]
4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调增区间为________．
【答案】[1,4)和[4,6]1．对函数单调性概念的理解
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．要点阐释(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2有以下几个特征：一是任意性，即“任意取x1，x2”，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)x2)．
(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性．
提醒 若函数出现两个或两个以上的单调区间时，两单调区间不能用“∪”连接，而要用“和”或“，”连接．2．判断函数单调性的常用方法
(1)定义法：这是证明或判定函数单调性的常用方法．这种判断函数单调性的最基本的方法在高考中常有考查，一定要引起重视．
(2)图象法：根据函数图象的升降情况进行判断．
(3)依据已知函数的单调性判断：如根据已学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调性情况．题型一 利用图象求函数的单调区间
【例1】 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝3|x|；
(2)f(x)＝|x2＋2x－3|.
思路点拨：函数式中含有绝对值，因此先去掉绝对值符号，将函数式化为分段函数来求解．典例剖析(2)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.
先作出f(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到y＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．
由图象，易得函数的递增区间是(－3，－1)，(1，＋∞)；
函数的递减区间是(－∞，－3]，(－1,1]．思路点拨：证明的关键是对f(x1)－f(x2)进行变形，尽量变形成几个最简单因式乘积的形式．题型三 由函数的单调性求参数的取值范围
【例3】 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，求实数a的取值范围．
思路点拨：在区间[1,2]单调，表示区间[1,2]在函数对称轴的同侧．解：函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，图象如图所示．
由图象可知函数在(－∞，a]和(a，＋∞)上分别单调，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上单调，只需a≤1或a≥2(其中当a≤1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增；当a≥2时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减)，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．方法点评：已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思想，采用逆向思维．3．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．
解：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2
＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，
∴此二次函数的对称轴为x＝1－a.
∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]．∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴1－a≥4，解得a≤－3.
∴实数a的取值范围为{a|a≤－3}．【例4】 若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范围是________．
错解：函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，即a≤－3.
错因分析：错解中把单调区间误认为是在区间上单调．
正解：因为函数的单调递减区间为(－∞，4]且函数图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.
答案：a＝－3误区解密 因对“单调区间”和“区间上单调”两个概念混淆而出错纠错心得：单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．课堂总结3．求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性．
4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：
即“取值—作差变形—定号—判断”这四个步骤．课件32张PPT。1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值
第2课时 函数的最大值、最小值1．最大值的概念：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有________；
(2)存在x0∈I，使得________．那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．自学导引f(x)≤Mf(x0)＝M2．最小值的概念：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有________；
(2)存在x0∈I，使得________．那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．f(x)≥Mf(x0)＝M1．函数最大值或最小值的几何意义是什么？
【答案】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标．自主探究【答案】C预习测评2．函数f(x)＝9－ax2(a＞0)在[0,3]上的最大值为( )
A．9 B．9(1－a)
C．9－a D．9－a2
【答案】A
3．函数y＝2x2＋1，x∈N*的最小值为________．
【答案】3
【答案】20一、函数的最大(小)值的理解
1．定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素．如f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对(2)中“存在”一词的理解．
2．对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)成立．“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．要点阐释3．这两个条件缺一不可，若只有(1)，M不是最大(小)值，如f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是最大值了．二、求函数最值的方法
1．求函数最大(小)值的常用方法有：
(1)值域：求出函数f(x)的值域，即可求其最值(注意必须确保存在函数值里的最值)；
(2)单调性法．通过研究函数的单调性来求函数的最值；思路点拨：根据图象直接求最值．典例剖析解：观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3，当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.
函数的单调增区间为(－1.5,3]，(5,6]，
单调减区间为[－4，－1.5]，(3,5]，(6,7]．思路点拨：本题可先求函数f(x)的单调性，再求最小值．题型三 二次函数在给定区间上的最值
【例3】 求函数f(x)＝x2－2ax＋2在[－1,1]上的最小值
思路点拨：二次函数在区间[m，n]上既有最大值，也有最小值，当含有参数时，往往要借助图象，按区间与对称轴的位置关系进行分类，结合单调性得出结论．方法点评：探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的图象，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据．
二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系；①定义域区间在对称轴右侧；②定义域区间在对称轴左侧；③定义域区间在对称轴的两侧．3．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a，b的值．【例4】 求函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域．
错解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为(x－1)2≥0，
所以y＝(x－1)2－1≥－1.
从而可知，函数y＝x2－2x的值域为[－1，＋∞)．
错因分析：这里函数的定义域有限制，即－1≤x≤2，上述解法只对二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在定义域为实数集时适用．误区解密 因忽略函数的定义域而出错正解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1,2]．由图象知，
当－1≤x<1时，y随x的增大而减小；
当1≤x≤2时，y随x的增大而增大．
并且当x＝－1时，y取最大值3；
当x＝1时，y取最小值－1.
从而知－1≤y≤3，
即函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域是[－1,3]．
纠错心得：函数的定义域是函数的灵魂，求函数的值域时，首先注意函数的定义域．1．求函数的最值，若能作出函数的图象，由最值的几何意义不难得出．
2．运用函数的单调性求最值是求最值的重要方法，特别是函数图象作不出来时，单调性几乎成为首选方法．
3．探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的图象，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．课堂总结课件30张PPT。1.3 函数的基本性质
1.3.2 奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念1．函数奇偶性的概念
(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内______一个x，都有__________，那么函数f(x)就叫做偶函数．
(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内_____一个x，都有____________，那么函数f(x)就叫做奇函数．
2．奇、偶函数的图象
(1)偶函数的图象关于_____对称．
(2)奇函数的图象关于_____对称．自学导引任意f(－x)＝f(x)任意f(－x)＝－f(x)y轴原点1．判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在x轴上所示的区间是否关于原点对称呢？
【答案】由定义知，若x是定义域内的一个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域在x轴上所示的区间关于原点对称．即如果所给函数的定义域在x轴上所示的区间不是关于原点对称，这个函数一定不具有奇偶性．例如：函数f(x)＝x3在R上是奇函数，但在[－2,1]上既不是奇函数也不是偶函数．自主探究2．有没有既是奇函数又是偶函数的函数？
【答案】有．如f(x)＝0，x∈(－5,5)．1．函数f(x)＝x＋x3的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
【答案】A预习测评2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )【答案】B 3．已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－f(－3)＝________.
【答案】1
解析：∵函数y＝f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．又f(3)－f(2)＝1，∴f(－2)－f(－3)＝－f(2)－(－f(3))＝f(3)－f(2)＝1.4．奇函数f(x)定义域是(t,2t＋3)，则t＝________.
【答案】－1
解析：∵f(x)是奇函数，∴定义域(t,2t＋3)关于原点对称，即－t＝2t＋3，∴t＝－1.1．函数奇偶性定义的理解
(1)函数的奇偶性与单调性的差异．奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势．奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数．要点阐释(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．由函数奇偶性的定义知，若x是定义域中的一个数值，则－x必然在定义域中，因此，函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在数轴上所示的区间关于原点对称．
(3)既奇又偶函数的表达式是f(x)＝0，x∈A，定义域A是关于原点对称的非空数集．
(4)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)＝0.2．用定义判断函数奇偶性的一般步骤及方法
函数根据奇偶性分为：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
(1)要判断一个函数是否具有奇偶性，应按照函数奇偶性的定义，先判断这个函数的定义域是否关于原点对称(因为一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数，即函数的定义域关于原点对称是这个函数具有奇偶性的前提条件)，然后再确定f(－x)与f(x)的关系． 3．奇、偶函数的图象特征
(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴成轴对称图形．反之，如果一个函数的图象关于y轴成轴对称图形，则这个函数是偶函数．(3)由于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因而研究这类函数的性质时，只需通过研究函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的性质(或图象)．思路点拨：先考虑定义域，再检验f(x)与f(－x)的关系，按奇函数或偶函数的定义判定．典例剖析(2)f(x)的定义域是R，
又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．思路点拨：先判断定义域是否对称，再分类讨论．解：函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
①当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)．
②当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)．
由①②知，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．解：函数f(x)的定义域是R，关于原点对称，当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－1＝－(x＋1)＝－f(x)；当x>0时，－x<0，f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)＝－f(x)，而f(0)＝0，∴f(x)是奇函数．题型三 利用函数奇偶性作图
【例3】 如图，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出它在y轴下侧的图象，并比较f(2)与f(3)的大小．
思路点拨：只需作出一半图象，然后利用奇偶性作出另一半图象．解：偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上的任一点P(－x，f(x))关于y轴的对称点为P′(x，f(x))，如图为补充后的图象，易知f(2)>f(3)．方法点评：利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．3．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．
【答案】(－2,0)∪(2,5)误区解密 判断函数奇偶性时，因忽略定义域而出错错因分析：错解中没有判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，而直接应用定义判断奇偶性．
正解：函数f(x)的定义域为{x|－1≤x<1}，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数．
纠错心得：判断所给函数的奇偶性时，在求出函数的定义域以前，不能化简函数的解析式，否则会导致函数的定义域发生变化，得到错误结论．1．在奇函数与偶函数的定义域中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件．
2．解题中可以灵活运用f(x)±f(－x)＝0对奇偶性作出判断．
3．奇函数f(x)若在x＝0处有意义，则必有f(0)＝0.课堂总结课件23张PPT。1.3 函数的基本性质
1.3.2 奇偶性
第2课时 奇偶性的应用1．定义在R上的奇函数，必有f(0)＝________.
【答案】0
2．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是________函数且有________．
【答案】增 最小值－M
3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是________．
【答案】增函数自学导引奇函数的图象一定过原点吗？自主探究1．若点(－1,3)在奇函数y＝f(x)的图象上，则f(1)等于( )
A．0 B．－1
C．3 D．－3
【答案】D预习测评2．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．4 B．2
C．1 D．0
【答案】D4．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是________．
【答案】f(π)＞f(－3)＞f(－2)
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，∴f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2)．1．由奇函数和偶函数的性质，可得单调性与奇偶性的联系：奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．要点阐释题型一 利用奇偶性求函数解析式
【例1】 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1.
(1)求f(0)的值；
(2)当x<0时，求f(x)的解析式；
(3)求f(x)在R上的解析式．
思路点拨：将x＜0的解析式转化到x＞0上的解析式，再利用f(x)的奇偶性，就可以得出f(x)的解析式．典例剖析解：(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
(2)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，x<0.1．已知f(x)是偶函数且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x＋1，试求函数f(x)在x∈[－1,1]上的表达式．题型二 函数奇偶性与单调性的综合应用
【例2】 已知奇函数y＝f(x)，x∈(－1,1)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－3x)<0.
思路点拨：本题的解题关键是利用奇函数的性质对不等式进行恒等变形．解：∵y＝f(x)，x∈(－1,1)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＋f(1－3x)<0?f(1－x)<－f(1－3x)?f(1－x)又y＝f(x)在(－1,1)上是减函数，2．设定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递减，若g(1－m)0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．误区解密 利用奇偶性求函数解析式时因忽略定义域而出错错因分析：错解中忽略了定义域为R的条件，漏掉了x＝0 的情况．纠错心得：定义域是函数的灵魂，尤其是解决奇、偶函数的问题首先要考虑定义域，若函数f(x)为奇函数且函数在原点有定义，则有f(0)＝0，此点是条件中的隐含结论，不可忽略．奇偶函数的主要性质
1．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，故可直接根据函数图象的对称性来判断函数的奇偶性．画函数图象时首先判断奇偶性，作图比较方便．课堂总结2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．
3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.课件30张PPT。章 末 归 纳 整 合 1．正确理解集合的概念必须掌握构成集合的两个必要条件：研究对象是具体的；其属性是确定的．
2．在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”．
3．在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质．4．对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式(组)的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或Venn图的直观性帮助判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用Venn图表示，容易被忽视．如在关系式B?A中，易漏掉B＝?的情况．
5．若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之．
6．若集合中含有参数，必须对参数进行分类讨论，讨论时既不能重复又不能遗漏．7．函数与映射的联系与差异：映射的原象集和象集可以是数集也可以是其他集合，函数的定义域和值域是非空的数集．映射是函数的推广，函数是映射的特例．
8．相同函数的判定方法：(1)定义域相同；(2)对应法则相同(两者必须同时具备)．但是由于值域是由定义域和对应法则完全确定的，因此，当定义域、对应法则、值域三者中有一个不相同时，就可以判定不是同一个函数．9．函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域．常涉及的依据为：(1)分母不为0；(2)偶次根式中被开方数不小于0；(3)对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；(4)零指数幂的底数不等于0；(5)实际问题要考虑实际意义等．
10．函数值域的求法：(1)观察法；(2)配方法(二次或四次)；(3)判别式法；(4)换元法；(5)函数的单调性法．11．函数的解析式的求法：(1)定义法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)配凑法；(5)消去法；(6)特殊值法．
12．单调性的判定方法：(1)设x1，x2是所研究区间内任意两个自变量且x113．奇偶性的判定方法：(1)首先看定义域是否关于原点对称；(2)判断f(－x)与±f(x)的相等或不等．
14．图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象平移、翻转、伸缩变换；③利用函数的奇偶性与对称性描绘函数图象．一、集合中元素的特性
集合中元素的特性是集合的重要属性，在解决集合问题时具有非常重要的作用，尤其是互异性，在解题中常被忽略从而导致解题出错．
【例1】 已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，求实数a的值．解：若a＋2＝1，则a＝－1，
所以A＝{1,0,1}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；
若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，A＝{2,1,3}，满足题意，
当a＝－2时，
A＝{0,1,1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1(舍去)或a＝－2(舍去)．
综上所述，a＝0.二、集合的关系及运算
集合的运算有交(∩)、并(∪)、补(?UA)这三种常见的运算，它是本章核心内容之一．在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析法(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之一．在具体应用时要注意端点值是否适合题意，以免增解或漏解．【例2】 设全集U＝R，集合A＝{x|－1解：∵－1即B＝{y|0A∩B＝(0,4)．
A∪(?UB)＝(－∞，4)∪[5，＋∞)．三、函数的性质及应用
研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合．由f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
在(0,1)内是减函数且f(1)＝2，知
当a∈(0,1)时，f(a)>2＝f(1)成立；
当a∈(1，＋∞)时，f(a)>2＝f(1)成立；
而当a<0时，f(a)<0，不满足题设．
综上可知，实数a的取值范围为(0,1)∪(1，＋∞)．四、函数图象及应用
函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象的正确画出．【例4】 设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上 f(x)是增函数还是减函数；
(3)求函数的值域．
(1)证明：f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)且定义域[－3,3]关于原点对称，
∴f(x)是偶函数．(3)解：当0≤x≤3时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为f(1)＝－2，最大值为f(3)＝2；
当－3≤x<0时，
函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为f(－1)＝－2，
最大值为f(－3)＝2.故函数f(x)的值域为[－2,2]．五、数学思想方法
1．分类讨论思想
解分类讨论问题的实质是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分从而增加题设条件，也是解分类讨论问题总的指导思想．
解分类讨论问题有以下几点要予以足够重视：
(1)做到分类讨论不重复、不遗漏；
(2)不断总结经验教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性；
(3)注意掌握好基础知识、基本方法，这是解好分类讨论问题的前提条件．【例5】 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若A中只有一个元素，求a的值；
(2)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．2．数形结合思想
数形结合的思想是数学重要的思想方法之一，数形结合的解题方法的特点是：具有直观性、灵活性、深刻性，有较强的综合性，加强这方面的学习和训练，对巩固数学知识、打好基础、提高能力是重要的一环．答案：2