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第二章 机械振动
第4节 单摆
摆动的钟摆、荡起的秋千，它们在平衡位置附近做往复运动，这种运动是不是简谐运动呢？
课堂引入
带着这个问题，让我们认识一个新的模型——单摆。
一、单摆
2.特点：
(3)摆线：细而长、不可伸长
(1)悬点：固定
(2)摆球：体积小、质量大
摆长 ：L=L0+R
注意：实际应用的单摆小球大小不可忽略。
1.定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。
3.单摆是实际摆的理想化模型
(1)摆线质量m远小于摆球质量 M，即m << M 。
(3)摆球所受空气阻力远小于摆球重力及绳的拉力，可忽略。
(2)摆球的直径d远小于单摆的摆长Ｌ，即 d <<Ｌ。
(4)摆线的伸长量很小，可以忽略。
一、单摆
铁链
粗棍上
细绳挂在
细绳
橡皮筋
2
3
4
1
O
O’
长细线
5
钢球
学以致用：下列装置能否看作单摆？
一、单摆
思考：单摆振动的运动性质是简谐运动吗？
方法一：从单摆的振动图象（x-t图像）判断
一、单摆
如图，细线下悬挂一除去柱塞的注射器，其内装上墨汁。注射器摆动时，沿垂直摆动方向匀速拖动木板，观察注射器喷出的墨迹图像。
注意：表达式计时开始位移为0，随后位移增加并为正；将每一个点的位移时间（测量值）数值代入表达式中，比较测量值与函数值是否相等，若可视相等，则为正弦曲线。
假设法:假定图像为正弦曲线，测量振幅与周期，写出正弦函数表达式。
一、单摆
C
B
A
O
θ
T
G
G2
G1
思考：单摆平衡位置在哪？哪个力提供回复力？
1.平衡位置：最低点O
2.受力分析:如图
3.回复力来源：重力沿切线方向的分力G2
方法二：从单摆的受力特征判断
一、单摆
切向：
法向：
（向心力）
（回复力）
Fx G2 mgsin
x
x
mg
T
F回=mgsinθ
二、单摆的回复力
角很小时，用弧度制表示的与它的正弦值近似相等 sin
则：F mgsin mg x
位移方向与回复力方向相反F x
可以写成：F k x
单摆的回复力为重力沿圆弧切向的分力：
可见，在摆角很小（θ＜50）的情况下，单摆做简谐振动。
摆角θ 正弦值 弧度值
1° 0.01754 0.01745
2° 0.03490 0.03491
3° 0.05234 0.05236
4° 0.06976 0.06981
5° 0.08716 0.08727
6° 0.10453 0.10472
7° 0.12187 0.12217
8° 0.13917 0.13963
在摆角小于5度的条件下：Sinθ≈θ（弧度值）
返回
O
思考：摆球运动到最低点O（平衡位置）时回复力是否为零？合力是否为零？
平衡位置：
x=0， ， 回复力为零
，合外力不为零
FT
G
二、单摆的回复力
猜想？
振幅
质量
摆长
重力加速度
单摆振动的周期与哪些因素有关呢？
思考
三、单摆的周期
实验方法:控制变量法
实验1：摆球质量相同，摆长L相同，观察周期T与振幅的关系？
结论：单摆的振动周期与其振幅无关(等时性)。
三、单摆的周期
伽利略的发现：18岁的伽利略在比萨大学念书时，一次偶然的机会观察到教堂的吊灯发生了轻微的摆动，随着摆幅的缩小，吊灯的摆动周期似乎没有发生变化。经过思考，他想到一个办法进行验证。如果你是伽利略，你打算如何验证自己的想法？
伽利略所处的年代还没有手表或者电子计时器，他使用的是人体的脉搏计时，只能半定量地判断出摆动时的周期不变，但无法测量出摆动的具体周期。
今天我们可以用哪些工具来测量时间？
秒表、打点计时器、手机、传感器等
实验方法:控制变量法
实验2：摆长L相同，振幅相同，观察周期T与摆球质量的关系？
结论：单摆的振动周期与摆球质量无关。
三、单摆的周期
实验方法:控制变量法
实验3：摆球质量相同，振幅相同，观察周期T与摆长L的关系？
结论：单摆的振动周期与其摆球质量有关。
三、单摆的周期
用秒表测量单摆完成30次全振动（或50次）所用的时间t，求出完成一次全振动所需要的时间，这个平均时间就是单摆的周期。
测周期：把单摆从平衡位置拉开一个角度（θ＜5o）放开它。
三、单摆的周期
次数n 1 2 3 4 5
摆线长L
球直径d
摆长l
周期T
在同一个地方，单摆周期T与摆球质量和振幅无关，
仅与摆长 l 有关系，且摆长越长，周期越大。
荷兰物理学家惠更斯（1629-1695）通过实验进一步得到：
单摆做简谐运动的周期T与摆长L的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，与振幅、摆球质量无关．
单摆的周期公式：
三、单摆的周期
１.利用单摆的等时性计时
惠更斯在1656年首先利用摆的等时性发明了带摆的计时器（1657年获得专利权）。
四、单摆的应用
2. 用单摆测定重力加速度（第5节内容）
3.几种常见的摆
圆槽摆
钉摆
圆锥摆
四、单摆的应用
4.物理之美：试用本节所学内容解释下图中的现象。
四、单摆的应用
5.秒摆:周期为2s的单摆为秒摆。试计算出秒摆的摆长？（g=9.8m/s2)
l ≈1m
四、单摆的应用
6.一位广州人去哈尔滨旅游，在一家大型超市以高价购买了一台精致的摆钟，买的时候发现它走时很准。回到广州不到两天就走时相差一分多钟。于是大呼上当，心里极其气愤。后来，他求助了“消费者权益保护协会”，准备与该超市打一场索赔官司，消费者协会调查研究发现产品货真价实，那么问题出在哪儿呢？你能为这位广州人指点迷津吗？
提示：两地的重力加速度g不同。
从日晷到原子钟
我国制造的空间冷原子钟
日晷
科学漫步
课堂小结
① 线的伸缩和质量不计
②小球可看作质点（摆长为悬点到球心的距离）
① F ＝ mg sinθ
② θ 很小时，F＝－k x (简谐运动的条件)
单摆概念
回复力
周期
应用
sin
F mgsin
mg x
【典例1】（2022·江苏南通·高三阶段练习）如图所示，小球在半径为R的光滑球面上的A、B之间作小角度的往返运动，则（ ）
A．小球的质量越大，其振动的频率越大
B．OA、OB之间夹角越小，小球振动的频率越小
C．球面半径R越大，小球振动的频率越小
D．将整个装置移至我国空间站“天和”核心舱中，小球振动的频率减小
典例分析
【正确答案】C
【典例2】（2022·湖南·高二阶段练习）(多选）两个单摆的悬挂位置的高度相同，其摆球质量相等，它们做简谐运动的振动图像如图所示．关于两单摆的摆动情况，下列说法中错误的是（ ）
A．摆动周期有
B．摆长有
C．摆动过程中的t1时刻，摆角相等
D．摆动过程中的t2时刻，两摆球有最大势能差
典例分析
【正确答案】BC
【典例3】水平地面上固定一段光滑绝缘圆弧轨道，过轨道左端N点的竖直线恰好经过轨道的圆心（图中未画出），紧贴N点左侧还固定有绝缘竖直挡板。自零时刻起将一带正电的小球自轨道上的M点由静止释放。小球与挡板碰撞时无能量损失，碰撞时间不计，运动周期为T，MN间的距离为L并且远远小于轨道半径，重力加速度为g，以下说法正确的是（ ）
A．圆弧轨道的半径为
B．空间加上竖直向下的匀强电场，小球的运动周期会增大
C．空间加上垂直纸面向里的匀强磁场，若小球不脱离轨道，运动周期会增大
D． T时小球距N点的距离约为
典例分析
【正确答案】A
典例分析
【典例4】（2021·福建·上杭县才溪中学高二阶段练习）图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置，设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图象。根据图象回答：
（1）单摆振动的频率是多大？
（2）若当地的重力加速度为10m/s2，
试求这个摆的摆长是多少？
（结果保留两位有效数字）
典例分析
典例分析
典例分析
【典例6】一摆长为L的单摆,在悬点正下方5L/9处有一钉子，这个单摆的周期应该怎么算？
L
