鲁教版(五四学制) 2022-2023学年六年级数学下册 7.3 平行线的性质 同步测试
一、单选题
1．（2023七下·宝安期中）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝130°，则∠2等于（ ）
A．115° B．100° C．50° D．10°
2．（2023·坪山模拟）某学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．某同学“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，若将图1抽象成图2的数学问题：，，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·汕尾模拟）如图，一个含有角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·绵阳模拟）如图，直线，与互补，°，则（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
5．（2023七下·南山期中）已知，如图，，将一副三角尺如图摆放，让一个顶点和一条边分别放在和上，则（ ）
A． B．12° C． D．
6．（2023七下·河西期中）如图，如果，，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023七下·郓城期中）下列说法：①平面内，垂直于同一直线的两条直线平行；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③如果直线，那么；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；⑤同旁内角的角平分线互相垂直．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②⑤ C．②③④ D．②③⑤
8．（2023七下·汕尾期中）如图，，，求的度数．下面是小云同学的解题过程：
解：如图，
∵，
∴．
∵，
∴ （填依据）．
则下列关于依据描述正确的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
9．（2023七下·汕尾期中）如图，若，用含有∠1，∠2，∠3的式子表示∠α，则∠α应为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023七下·黄山期中）如图，，，，，给出以下结论： ； ； ； ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2023七下·灵丘期中）如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是 ．
12．（2023·河源模拟）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB//CD，当人脚与地面的夹角∠CDE=60°时，求出此时头顶A与水平线的夹角∠BAF的度数为 ．
13．（2023七下·瑞安期中）如图，，作如图所示的折线，，，反向延长CG交BF于点F，已知，，则 ．
14．（2023七下·下城期中）如图，已知，点E，F分别在直线上，点O在直线之间， 如图所示，分别在和的平分线上取点M，N，连接，则 ；如果，，，连接，则 （用m，n的代数式表示）
三、解答题
15．（2023七下·松江期中）填空，并把证明过程补充完整．
如图，已知中，、、分别是、、边上的点，点是线段上的点，且，求证：．
证明：点是线段上的点，
，
已知，
．
请补充证明过程，并写出过程依据
16．（2023七下·河西期中）如图，于，于，//，．求证：．
17．（2023七下·松江期中）如图，已知，，，求的度数．（请写出过程依据）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：对图形进行角标注：
∵∠1＝130°，
∴∠3=180°-∠1=50°.
∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°.
故答案为：C.
【分析】对图形进行角标注，由邻补角的性质可求出∠3的度数，根据平行线的性质可得∠2=∠3，据此解答.
2．【答案】A
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF∥CD，则EF∥CD∥AB，
∴∠ECD+∠FEC=180°，∠FEA+∠EAB=180°.
∵∠ECD=110°，
∴∠FEC=70°.
∵∠FEA=∠FEC+∠CEA=70°+∠CEA，∠EAB=70°，
∴70°+∠CEA+70°=180°，
∴∠CEA=40°.
故答案为：A.
【分析】过点E作EF∥CD，则EF∥CD∥AB，根据平行线的性质可得∠ECD+∠FEC=180°，∠FEA+∠EAB=180°，由角的和差关系可得∠FEA=∠FEC+∠CEA，据此计算.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：对图形进行角标注：
∵直尺的对边互相平行，∠1=25°，
∴∠1=∠3=25°.
∵∠2+∠3=60°，
∴∠2=60°-∠3=60°-25°=35°.
故答案为：B.
【分析】对图形进行角标注，根据平行线的性质可得∠1=∠3=25°，然后根据∠2+∠3=60°进行计算.
4．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠1与∠BAC互补，∠BAC=70°，
∴∠1+∠BAC=180°，
∴∠1=180°-∠BAC=110°.
∵l1∥l2，
∴∠2+∠BAC=∠1，
∴∠2=∠1-∠BAC=110°-70°=40°.
故答案为：B.
【分析】根据互补的两角之和为180°结合题意可得∠1+∠BAC=180°，结合∠BAC的度数可求出∠1的度数，由平行线的性质可得∠2+∠BAC=∠1，据此进行计算.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图：
根据题意可得：∠EGF=45°，∠CGF=30°，∠FEG=90°，
∵AB//CD，
∴∠AEG+∠CGE=180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠CGF=180°，
∴∠AEF=180°-∠FEG-∠EGF-∠CGF=180°-90°-45°-30°=15°，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可得∠AEG+∠CGE=180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠CGF=180°，再求出∠AEF的度数即可。
6．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥EF，∴∠EOB=180°-∠2，
∵CD∥EF，∴∠COF=180°-∠3，
∵∠EOB+∠1+∠COF=180°，
∴180°-∠2+∠1+180°-∠3=180°，
即得∠2+∠3-∠1=180°，
故答案为：D.
【分析】根据两直线平行同旁内角互补可得∠EOB=180°-∠2，∠COF=180°-∠3，由平角的定义可得∠EOB+∠1+∠COF=180°，代入整理即可得解.
7．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：① 平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故此项正确；
②两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故此项错误；
③如果直线，那么，故此项正确；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故此项正确；
⑤两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直，故此项错误；
故答案为：A.
【分析】根据平行公理、平行线的判定与性质、垂线段最短分别判断即可.
8．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴．
∵，
∴ （两直线平行，内错角相等）．
故答案为：D.
【分析】利用平行线的性质计算求解即可。
9．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点E作EF//AB，过点G作GH//CD，
∴AB//EF//GH//CD，
∴∠1+∠BEF=180°，∠FEG=∠EGH，∠HGC=∠3，
∴∠BEF=180°-∠1，∠FEG=∠EGH=∠2-∠3，
∴∠α =∠BEF+∠FEG=180°+∠2-∠1-∠3，
故答案为：D.
【分析】先作图，再求出AB//EF//GH//CD，最后利用平行线的性质计算求解即可。
10．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，故①正确，符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，故③正确，符合题意；
∵，
∴，
∴的大小随的大小变化而变化，
∵的度数不固定，
∴不一定成立，即不一定成立，
∴不一定平分，故②错误，不符合题意；
同理可知，不一定成立，
∴不一定成立，故④错误，不符合题意．
故有①③符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用平行线的判定方法和性质及角的运算逐项判断即可。
11．【答案】540°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点C，D作AB的平行线CG，DH，
∴AB//CG//DH//EF，
∴∠B+∠BCG=180°，∠GCD+∠HDC=180°，∠HDE+∠DEF=180°，
∴∠B+∠BCG+∠GCD+∠HDC+∠HDE+∠DEF=540°，
∴∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=540°，
故答案为：540°.
【分析】根据题意先求出AB//CG//DH//EF，再根据平行线的性质计算求解即可。
12．【答案】60°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】延长AB交直线ED于点H，
∵AB //CD，
∴AH//CD，
∴∠EDC=∠EHA，
∵AF//EH，
∴∠FAH=∠EHA，
∴∠EDC=∠FAH，
∵∠CDE=60° ，
∴∠BAF=∠CDE=60° ，
故答案为：60°.
【分析】利用平行线的性质可得∠EDC=∠EHA，∠FAH=∠EHA，利用等量代换可得∠EDC=∠FAH，即可得到∠BAF=∠CDE=60° 。
13．【答案】55
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：反向延长AB至H，过点F作FL∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FL，
∴∠ABF=∠BFG+∠CFL，∠DCG=∠CFL；
∵∠ABF：∠FBM=3：2，∠DCG：∠NCG=3：2，
∴设∠ABF=3x，∠BFG=2x，∠DCG=∠CFL=3y，∠NCG=2y，
∵∠E+∠BFG=88°，
∴∠BFG=88°-∠E，
∴∠BFG+3y=3x，
∴88°-∠E+3y=3x，
∴
易证∠HBM+∠E+∠NCD=∠M+∠N=180°，
∴180°-5x+∠E+5y=180°，
∴5（x-y）=∠E，
∴，
解之：∠E=55°.
故答案为：55
【分析】反向延长AB至H，过点F作FL∥AB，利用平行线公理的推论可知AB∥CD∥FL，利用平行线的性质可证得∠ABF=∠BFG+∠CFL，∠DCG=∠CFL；利用已知设∠ABF=3x，∠BFG=2x，∠DCG=∠CFL=3y，∠NCG=2y，可得到∠BFG=88°-∠E，∠BFG+3y=3x，据此可用含∠E的代数式表示出x-y；易证∠HBM+∠E+∠NCD=∠M+∠N=180°，可推出5（x-y）=∠E，整体代入可得到关于∠E 的方程，解方程求出∠E的值.
14．【答案】40；
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过O作OG∥AB，过M作MK∥AB，过N作NH∥CD，则AB∥OG∥CD，
∴∠BEO+∠EOG=180°，∠DFO+∠FOG=180°，
∴∠BEO+∠EOF+∠DFO=360°.
∵∠EOF=100°，
∴∠BEO+∠DFO=260°.
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
∴∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y.
∵∠BEO+∠DFO=260°，
∴∠BEO+∠DFO=2x+180°+180°-2y=260°，
∴x-y=40°.
∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥MK∥NH∥CD，
∴∠EMK=∠BEM=x，∠HNF=∠CFN=y，∠KMN=∠HNM，
∴∠EMN-∠FNM=∠EMK+∠KMN-(∠HNM+∠HNF)=x+∠KMN-∠HNM-y=x-y=40°.
∵AB∥CD，OG∥AB，
∴AB∥OG∥CD，
∴∠BEO+∠EOG=180°，∠DFO+∠FOG=180°，
∴∠BEO+∠EOF+∠DFO=360°.
∵∠EOF=n°，
∴∠BEO+∠DFO=(360-n)°.
∵∠BEM=∠BEO，∠NFC=∠OFC，
∴∠EMN=∠BEM=∠BEO，∠HNF=∠CFN=∠OFC，∠KMN=∠HNM，
∴∠EMN-∠FNM=∠EMK+∠KMN-(∠HNM+∠HNF)=(∠BEO-∠OFC)=(180°-∠EOG-∠FOG)=(180-n)°.
故答案为：40°；(180-n)°.
【分析】过O作OG∥AB，过M作MK∥AB，过N作NH∥CD，则AB∥OG∥CD，由平行线的性质可得
∠BEO+∠EOF+∠DFO=360°，则∠BEO+∠DFO=260°，根据角平分线的概念可得∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，然后代入化简即可得到x-y的度数；由平行线的性质可得∠EMK=∠BEM=x，∠HNF=∠CFN=y，∠KMN=∠HNM，则∠EMN-∠FNM=x-y=40°，同理可得∠BEO+∠DFO=(360-n)°，根据平行线的性质可得∠EMN=∠BEM=∠BEO，∠HNF=∠CFN=∠OFC，∠KMN=∠HNM，则∠EMN-∠FNM=∠EMK+∠KMN-(∠HNM+∠HNF)=(∠BEO-∠OFC)，据此解答.
15．【答案】证明：点是线段上的点，
邻补角定义，
（已知，
同角的补角相等，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；邻补角
【解析】【分析】利用邻补角的定义和平行线的判定与性质证明求解即可。
16．【答案】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴ ∠BDC＝∠EFC＝90°
∴BDEF，
∴∠2＝∠CBD，
∵∠2＝∠1，
∴∠1＝∠CBD，
∴GFBC，
∵BCDM，
∴MDGF，
∴∠AMD＝∠AGF．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【分析】由垂直的定义可得∠BDC＝∠EFC＝90° ，根据平行线的判定可得BDEF，利用平行线的性质可得∠2＝∠CBD， 结合已知可得∠1＝∠CBD， 根据平行线的判定可得GFBC∥MD， 利用平行线的性质即得结论.
17．【答案】解：（已知），
（两直线平行，同旁内角互补），
（对顶角相等），
（等量代换），
即，
解得：，
．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】利用平行线的性质先求出∠2+∠3=180°，再求出 ， 最后计算求解即可。
1 / 1鲁教版(五四学制) 2022-2023学年六年级数学下册 7.3 平行线的性质 同步测试
一、单选题
1．（2023七下·宝安期中）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝130°，则∠2等于（ ）
A．115° B．100° C．50° D．10°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：对图形进行角标注：
∵∠1＝130°，
∴∠3=180°-∠1=50°.
∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°.
故答案为：C.
【分析】对图形进行角标注，由邻补角的性质可求出∠3的度数，根据平行线的性质可得∠2=∠3，据此解答.
2．（2023·坪山模拟）某学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．某同学“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，若将图1抽象成图2的数学问题：，，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF∥CD，则EF∥CD∥AB，
∴∠ECD+∠FEC=180°，∠FEA+∠EAB=180°.
∵∠ECD=110°，
∴∠FEC=70°.
∵∠FEA=∠FEC+∠CEA=70°+∠CEA，∠EAB=70°，
∴70°+∠CEA+70°=180°，
∴∠CEA=40°.
故答案为：A.
【分析】过点E作EF∥CD，则EF∥CD∥AB，根据平行线的性质可得∠ECD+∠FEC=180°，∠FEA+∠EAB=180°，由角的和差关系可得∠FEA=∠FEC+∠CEA，据此计算.
3．（2023·汕尾模拟）如图，一个含有角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：对图形进行角标注：
∵直尺的对边互相平行，∠1=25°，
∴∠1=∠3=25°.
∵∠2+∠3=60°，
∴∠2=60°-∠3=60°-25°=35°.
故答案为：B.
【分析】对图形进行角标注，根据平行线的性质可得∠1=∠3=25°，然后根据∠2+∠3=60°进行计算.
4．（2023·绵阳模拟）如图，直线，与互补，°，则（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠1与∠BAC互补，∠BAC=70°，
∴∠1+∠BAC=180°，
∴∠1=180°-∠BAC=110°.
∵l1∥l2，
∴∠2+∠BAC=∠1，
∴∠2=∠1-∠BAC=110°-70°=40°.
故答案为：B.
【分析】根据互补的两角之和为180°结合题意可得∠1+∠BAC=180°，结合∠BAC的度数可求出∠1的度数，由平行线的性质可得∠2+∠BAC=∠1，据此进行计算.
5．（2023七下·南山期中）已知，如图，，将一副三角尺如图摆放，让一个顶点和一条边分别放在和上，则（ ）
A． B．12° C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图：
根据题意可得：∠EGF=45°，∠CGF=30°，∠FEG=90°，
∵AB//CD，
∴∠AEG+∠CGE=180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠CGF=180°，
∴∠AEF=180°-∠FEG-∠EGF-∠CGF=180°-90°-45°-30°=15°，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可得∠AEG+∠CGE=180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠CGF=180°，再求出∠AEF的度数即可。
6．（2023七下·河西期中）如图，如果，，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥EF，∴∠EOB=180°-∠2，
∵CD∥EF，∴∠COF=180°-∠3，
∵∠EOB+∠1+∠COF=180°，
∴180°-∠2+∠1+180°-∠3=180°，
即得∠2+∠3-∠1=180°，
故答案为：D.
【分析】根据两直线平行同旁内角互补可得∠EOB=180°-∠2，∠COF=180°-∠3，由平角的定义可得∠EOB+∠1+∠COF=180°，代入整理即可得解.
7．（2023七下·郓城期中）下列说法：①平面内，垂直于同一直线的两条直线平行；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③如果直线，那么；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；⑤同旁内角的角平分线互相垂直．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②⑤ C．②③④ D．②③⑤
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：① 平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故此项正确；
②两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故此项错误；
③如果直线，那么，故此项正确；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故此项正确；
⑤两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直，故此项错误；
故答案为：A.
【分析】根据平行公理、平行线的判定与性质、垂线段最短分别判断即可.
8．（2023七下·汕尾期中）如图，，，求的度数．下面是小云同学的解题过程：
解：如图，
∵，
∴．
∵，
∴ （填依据）．
则下列关于依据描述正确的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴．
∵，
∴ （两直线平行，内错角相等）．
故答案为：D.
【分析】利用平行线的性质计算求解即可。
9．（2023七下·汕尾期中）如图，若，用含有∠1，∠2，∠3的式子表示∠α，则∠α应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点E作EF//AB，过点G作GH//CD，
∴AB//EF//GH//CD，
∴∠1+∠BEF=180°，∠FEG=∠EGH，∠HGC=∠3，
∴∠BEF=180°-∠1，∠FEG=∠EGH=∠2-∠3，
∴∠α =∠BEF+∠FEG=180°+∠2-∠1-∠3，
故答案为：D.
【分析】先作图，再求出AB//EF//GH//CD，最后利用平行线的性质计算求解即可。
10．（2023七下·黄山期中）如图，，，，，给出以下结论： ； ； ； ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，故①正确，符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，故③正确，符合题意；
∵，
∴，
∴的大小随的大小变化而变化，
∵的度数不固定，
∴不一定成立，即不一定成立，
∴不一定平分，故②错误，不符合题意；
同理可知，不一定成立，
∴不一定成立，故④错误，不符合题意．
故有①③符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用平行线的判定方法和性质及角的运算逐项判断即可。
二、填空题
11．（2023七下·灵丘期中）如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是 ．
【答案】540°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点C，D作AB的平行线CG，DH，
∴AB//CG//DH//EF，
∴∠B+∠BCG=180°，∠GCD+∠HDC=180°，∠HDE+∠DEF=180°，
∴∠B+∠BCG+∠GCD+∠HDC+∠HDE+∠DEF=540°，
∴∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=540°，
故答案为：540°.
【分析】根据题意先求出AB//CG//DH//EF，再根据平行线的性质计算求解即可。
12．（2023·河源模拟）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB//CD，当人脚与地面的夹角∠CDE=60°时，求出此时头顶A与水平线的夹角∠BAF的度数为 ．
【答案】60°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】延长AB交直线ED于点H，
∵AB //CD，
∴AH//CD，
∴∠EDC=∠EHA，
∵AF//EH，
∴∠FAH=∠EHA，
∴∠EDC=∠FAH，
∵∠CDE=60° ，
∴∠BAF=∠CDE=60° ，
故答案为：60°.
【分析】利用平行线的性质可得∠EDC=∠EHA，∠FAH=∠EHA，利用等量代换可得∠EDC=∠FAH，即可得到∠BAF=∠CDE=60° 。
13．（2023七下·瑞安期中）如图，，作如图所示的折线，，，反向延长CG交BF于点F，已知，，则 ．
【答案】55
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：反向延长AB至H，过点F作FL∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FL，
∴∠ABF=∠BFG+∠CFL，∠DCG=∠CFL；
∵∠ABF：∠FBM=3：2，∠DCG：∠NCG=3：2，
∴设∠ABF=3x，∠BFG=2x，∠DCG=∠CFL=3y，∠NCG=2y，
∵∠E+∠BFG=88°，
∴∠BFG=88°-∠E，
∴∠BFG+3y=3x，
∴88°-∠E+3y=3x，
∴
易证∠HBM+∠E+∠NCD=∠M+∠N=180°，
∴180°-5x+∠E+5y=180°，
∴5（x-y）=∠E，
∴，
解之：∠E=55°.
故答案为：55
【分析】反向延长AB至H，过点F作FL∥AB，利用平行线公理的推论可知AB∥CD∥FL，利用平行线的性质可证得∠ABF=∠BFG+∠CFL，∠DCG=∠CFL；利用已知设∠ABF=3x，∠BFG=2x，∠DCG=∠CFL=3y，∠NCG=2y，可得到∠BFG=88°-∠E，∠BFG+3y=3x，据此可用含∠E的代数式表示出x-y；易证∠HBM+∠E+∠NCD=∠M+∠N=180°，可推出5（x-y）=∠E，整体代入可得到关于∠E 的方程，解方程求出∠E的值.
14．（2023七下·下城期中）如图，已知，点E，F分别在直线上，点O在直线之间， 如图所示，分别在和的平分线上取点M，N，连接，则 ；如果，，，连接，则 （用m，n的代数式表示）
【答案】40；
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过O作OG∥AB，过M作MK∥AB，过N作NH∥CD，则AB∥OG∥CD，
∴∠BEO+∠EOG=180°，∠DFO+∠FOG=180°，
∴∠BEO+∠EOF+∠DFO=360°.
∵∠EOF=100°，
∴∠BEO+∠DFO=260°.
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
∴∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y.
∵∠BEO+∠DFO=260°，
∴∠BEO+∠DFO=2x+180°+180°-2y=260°，
∴x-y=40°.
∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥MK∥NH∥CD，
∴∠EMK=∠BEM=x，∠HNF=∠CFN=y，∠KMN=∠HNM，
∴∠EMN-∠FNM=∠EMK+∠KMN-(∠HNM+∠HNF)=x+∠KMN-∠HNM-y=x-y=40°.
∵AB∥CD，OG∥AB，
∴AB∥OG∥CD，
∴∠BEO+∠EOG=180°，∠DFO+∠FOG=180°，
∴∠BEO+∠EOF+∠DFO=360°.
∵∠EOF=n°，
∴∠BEO+∠DFO=(360-n)°.
∵∠BEM=∠BEO，∠NFC=∠OFC，
∴∠EMN=∠BEM=∠BEO，∠HNF=∠CFN=∠OFC，∠KMN=∠HNM，
∴∠EMN-∠FNM=∠EMK+∠KMN-(∠HNM+∠HNF)=(∠BEO-∠OFC)=(180°-∠EOG-∠FOG)=(180-n)°.
故答案为：40°；(180-n)°.
【分析】过O作OG∥AB，过M作MK∥AB，过N作NH∥CD，则AB∥OG∥CD，由平行线的性质可得
∠BEO+∠EOF+∠DFO=360°，则∠BEO+∠DFO=260°，根据角平分线的概念可得∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，然后代入化简即可得到x-y的度数；由平行线的性质可得∠EMK=∠BEM=x，∠HNF=∠CFN=y，∠KMN=∠HNM，则∠EMN-∠FNM=x-y=40°，同理可得∠BEO+∠DFO=(360-n)°，根据平行线的性质可得∠EMN=∠BEM=∠BEO，∠HNF=∠CFN=∠OFC，∠KMN=∠HNM，则∠EMN-∠FNM=∠EMK+∠KMN-(∠HNM+∠HNF)=(∠BEO-∠OFC)，据此解答.
三、解答题
15．（2023七下·松江期中）填空，并把证明过程补充完整．
如图，已知中，、、分别是、、边上的点，点是线段上的点，且，求证：．
证明：点是线段上的点，
，
已知，
．
请补充证明过程，并写出过程依据
【答案】证明：点是线段上的点，
邻补角定义，
（已知，
同角的补角相等，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；邻补角
【解析】【分析】利用邻补角的定义和平行线的判定与性质证明求解即可。
16．（2023七下·河西期中）如图，于，于，//，．求证：．
【答案】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴ ∠BDC＝∠EFC＝90°
∴BDEF，
∴∠2＝∠CBD，
∵∠2＝∠1，
∴∠1＝∠CBD，
∴GFBC，
∵BCDM，
∴MDGF，
∴∠AMD＝∠AGF．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【分析】由垂直的定义可得∠BDC＝∠EFC＝90° ，根据平行线的判定可得BDEF，利用平行线的性质可得∠2＝∠CBD， 结合已知可得∠1＝∠CBD， 根据平行线的判定可得GFBC∥MD， 利用平行线的性质即得结论.
17．（2023七下·松江期中）如图，已知，，，求的度数．（请写出过程依据）
【答案】解：（已知），
（两直线平行，同旁内角互补），
（对顶角相等），
（等量代换），
即，
解得：，
．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】利用平行线的性质先求出∠2+∠3=180°，再求出 ， 最后计算求解即可。
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