鲁教版(五四学制) 2022-2023学年六年级数学下册 7.4 用尺规作角 同步测试
一、单选题
1．（2023七下·南山期中）如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，作图痕迹是（ ）．
A．以点B为圆心，OD为半径的圆 B．以点B为圆心，DC为半径的圆
C．以点E为圆心，OD为半径的圆 D．以点E为圆心，DC为半径的圆
2．（2023七下·深圳期中）如图，用尺规作出了，关于作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A．弧是以点O为圆心，任意长为半径的弧
B．弧是以点C为圆心，为半径的弧
C．弧是以点E为圆心，为半径的弧
D．弧是以点E为圆心，为半径的弧
3．（2023·朝阳模拟）如图，利用内错角相等，两直线平行，我们可以用尺规作图的方法，过的边上一点作的平行线．有以下顺序错误的作图步骤：①作射线；②以O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交、于点C、D；③以F为圆心，长为半径画圆弧，交前面的圆弧于点G；④在边上取一点E，以E为圆心，长为半径画圆弧，交于点F．这些作图步骤的正确顺序为（ ）
A．①②③④ B．③②④① C．②④③① D．④③①②
4．（2023·秦皇岛模拟）下列图形中，能确定的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·秦皇岛模拟）如图，已知与，分别以，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023七上·礼泉期末）若∠1=50°5′，∠2=50.5°，则∠1与∠2的大小关系是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2>∠1 C．∠1>∠2 D．无法确定
7．（2023七上·金东期末）如图，点为直线上一点，平分，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022七上·赵县期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1=27°40'，∠2的大小是（ ）
A．27°40' B．57°40' C．58°20' D．62°20'
9．（2022七上·大冶期末）如图，∠AOC与∠BOC互为余角，OD平分∠BOC，∠EOC＝2∠AOE.若∠COD＝18°，则∠AOE的大小是（ ）
A．12° B．15° C．18° D．24°
二、填空题
10．（2023七下·西湖开学考）比较图中∠BOC、∠BOD的大小：因为OB和OB是公共边，OC在∠BOD的内部，所以∠BOC ∠BOD.（填“＞”，“＜”或“＝”）
11．（2023七下·武汉月考）已知，如图，，是的平分线，是的平分线，且，则 度.
12．（2023七上·通川期末）如图所示，是直线上一点，是一条射线，平分，在内，，，则的度数是 ．
13．（2022七上·大冶期末）如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，则 .
14．用10倍放大镜看30°的角，你观察到的角是 .
15．（2023七下·柳州开学考）如图，∠AOB=40°，自点O引射线OC，若∠AOC：∠COB=2∶3，则OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为
三、作图题
16．（2023七下·宝安期中）用尺规作一个角等于已知角的和，要求不写作法，但要保留作图痕迹；已知：∠1、∠2．求作：∠AOB，使∠AOB＝∠1+∠2．
17．（2023七下·英德期中）已知，，用尺规完成下列作图：
（1）求作；
（2）．
四、解答题
18．（2023七上·西安期末）如图，О是直线上一点，，，平分.求的度数.
五、综合题
19．（2023七下·江油月考）直线AB、CD相交于点O，∠COF＝∠DOF，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，∠EOF的大小是 ▲ ；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】作图-角
【解析】【解答】作∠OBF=∠AOB，根据题意可得具体的步骤为：
第一步：以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C，D；
第二步：以点B为圆心，以OC长为半径作弧，分别交射线BO于点E；
第三步：以点E为圆心，以CD长为半径弧，与前一条弧交于点F，作射线BF即可得到∠OBF，则∠OBF=∠AOB；
故答案为：D.
【分析】根据作一个角等于已知角的作法即可得到答案。
2．【答案】C
【知识点】作图-角
【解析】【解答】解：根据作一个角等于已知角的方法步骤可知，是以点E为圆心，为半径的弧，
故答案为：C．
【分析】根据各选项分别判断即可。
3．【答案】C
【知识点】作图-角
【解析】【解答】用尺规作图作一个角等于已知角的方法如下：
以O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交OA、OB于点C、D；在边OB上取一点E，以E为圆心，OC长为半径画圆弧，交OB于点F，以F为圆心，CD长为半径画圆弧，交前面的圆弧于点G；作射线EG；则正确的作图步骤是②④③①．
故答案为：C．
【分析】根据用尺规作一个角等于已知角的方法判断求解即可。
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1=∠2，故本选项不合题意；
B、∵∠1是∠2所在三角形的一个外角，∴∠1＞∠2，故本选项符合题意；
C、若两条直线平行，则∠1=∠2，若所截两条直线不平行，则∠1与∠2无法进行判断，故本选项不合题意；
D、∵∠1、∠2是同弧所对的圆周角，∴∠1=∠2．故本选项不合题意.
故答案为：B．
【分析】利用对顶角、圆周角、平行线的性质及三角形外角的性质求解即可。
5．【答案】D
【知识点】角的运算；作图-角
【解析】【解答】解：根据作图可知，
A. ，不符合题意；
B. ∵，即，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. 不能判断，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据作图可知，再根据角的和差关系逐一判断即可.
6．【答案】B
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：∵∠2=50.5°=50°30′，
50°30′＞50°5′，
∴∠2＜∠1.
故答案为：B
【分析】将∠2用度分秒表示，再比较两个角的大小.
7．【答案】D
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ ，OC平分∠AOD，
∴，
∴，
∵∠BOD=3∠BOE，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的定义得∠AOD的度数，根据平角的定义表示出∠BOD的度数，进而根据∠BOD=3∠BOE，表示出∠BOE的度数，最后根据∠COE=180°-∠AOC-∠BOE即可算出答案.
8．【答案】B
【知识点】角的运算；角的大小比较
【解析】【解答】∵∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，
∴∠EAC＝32°20′，
∵∠EAD＝90°，
∴∠2＝90°-∠EAC＝90°-32°20′＝57°40′；
故答案为：B
【分析】根据∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，求出∠EAC的度数，再根据∠2＝90°-∠EAC，即可求出∠2的度数。
9．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠COD＝18°，OD平分∠BOC，
∴∠BOC＝36°，
∵∠AOC与∠BOC互为余角，
∴∠AOC＝90°-36°=54°
∵∠EOC＝2∠AOE，
∴3∠AOE=54°，
∴∠AOE=18°.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的定义求出∠BOC的度数，进而根据和为90°的两个角互为余角算出∠AOC的度数，最后根据∠AOC=∠AOE+∠COE=3∠AOE算出答案.
10．【答案】＜
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：因为OB和OB是公共边，OC在∠BOD的内部，所以∠BOC＜∠BOD.
故答案为：＜.
【分析】由图形可得：OB和OB是公共边，OC在∠BOD的内部，据此进行比较.
11．【答案】72
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：设，，
∴，
∵是的平分线，是的平分线，，
∴，
，
∵，
∴，
解得：，
∴.
故答案为：72.
【分析】设∠AOB=3x，∠BOC=2x，则∠AOC=5x，由角平分线的定义得∠DOC=x，∠EOC=2.5x，进而根据∠EOC-∠DOC=∠DOE=36°建立方程，求解即可.
12．【答案】90°
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：解：设∠BOE为x°，则∠DOB＝60° x°，
∵∴∠EOC=3∠BOE=3x°，
由OD平分∠AOB，
得∠AOB＝2∠DOB，
故有3x＋x＋2（60 x）＝180，
解方程得x＝30，
所以∠EOC＝90°，
故答案为：90°．
【分析】设∠BOE为x°，用含x的式子表示出∠DOB及∠EOC，由角平分线定义得∠AOB＝2∠DOB，进而根据平角的定义列方程，求解求出∠BOE，从而即可解决问题．
13．【答案】45°
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵平分，平分，
∴，
∵，，
∴，，
∴
∴.
故答案为：45°.
【分析】根据角平分线的定义得，根据平角的定义及角的和差得∠ACD=180°-∠BCD①，∠BCE=90°-∠BCD②，用①-②可得∠ACD-∠BCE=90°，进而根据等量代换及乘法分配律的逆用即可求出∠ACF-∠BCG的度数.
14．【答案】30°
【知识点】角的概念；角的大小比较
【解析】【解答】解：用10倍放大镜看30°的角，你观察到的角是30°.
故答案为：30°
【分析】角的大小与角的两边的长短无关，可得答案.
15．【答案】4°或100°
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：当OC在∠AOB的内部时，如图，OD为∠AOB的角平分线，
∴∠AOD=∠AOB=×40°=20°，
∵ ∠AOC：∠COB=2∶3，
∴设∠AOC=2x°，∠BOC=3x°，
∵ ∠AOC+∠COB=∠AOB=40°，
∴5x=40，
∴x=8
∴∠AOC=2x=16°，
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°；
当OC在∠AOB外部时，如图，OD为∠AOB的角平分线，
∴∠AOD=∠AOB=×40°=20°，
∵ ∠AOC：∠COB=2∶3，
∴设∠AOC=2y°，∠BOC=3y°，
∵ ∠BOC-∠AOC=∠AOB=40°，
∴y=40，
∴∠AOC=2y=80°，
∴∠COD=∠AOD+∠AOC=20°+80°=100°.
故答案为：4°或100°.
【分析】分类讨论：当OC在∠AOB的内部时，如图，OD为∠AOB的角平分线，由角平分线的定义可得∠AOD=∠AOB=×40°=20°，由题意设∠AOC=2x°，∠BOC=3x°，由∠AOC+∠COB=∠AOB建立方程求出x的值，从而得出∠AOC的度数，进而根据∠COD=∠AOD-∠AOC算出答案；当OC在∠AOB外部时，由题意设∠AOC=2y°，∠BOC=3y°，由∠AOC+∠COB=∠AOB建立方程求出y的值，从而得出∠AOC的度数，进而根据∠COD=∠AOD+∠AOC算出答案，综上即可得出答案.
16．【答案】解：如图所示：∠AOB即为所求．
【知识点】作图-角
【解析】【分析】首先根据作一个角等于已知角的方法作出∠AOC=∠1，然后以OC为角的一边，作∠BOC=∠2，则∠AOB=∠1+∠2.
17．【答案】（1）解：如图1中，即为所求；
（2）解：如图2中，即为所求．
【知识点】作图-角
【解析】【分析】（1）根据作角的方法作图即可；
（2）根据题意作角即可。
18．【答案】解：∵，
∴
∵平分
∴
∴.
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【分析】由角的构成∠BOC=∠AOB-∠AOC求得∠BOC的值；由角平分线定义得∠COD=2∠BOC求出∠COD的度数，再根据平角定义可求解.
19．【答案】（1）解：①45°；
②平分，理由如下：
∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠FOB＝，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，
∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE；
（2）解：3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）①∵∠COF＝∠DOF，∠COF+∠DOF=180°，
∴∠COF＝∠DOF=90°，
∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，
∴∠COE＝180°-∠BOE-∠BOD＝180°-120°-15°＝45°，
∴∠EOF＝∠COF-∠COE＝90°-∠COE＝90°-45°＝45°；
∴∠EOF＝45°．
故答案为：45°；
（2）当点E，F在直线AB的同侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°-α，∠AOC＝∠AOF-∠COF＝2α-90°①，
∴∠BOE＝180°-∠AOC-∠COE＝180°-（2α-90°）-α
＝270°-3α②，
①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；
当点E和点F在直线AB的异侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF-∠AOF＝90°-2α①，
∴∠BOE＝180°-∠AOC-∠COE＝180°-（90°-2α）-α
＝90°+α②，
①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．
综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．
【分析】（1）①根据平角的定义及∠COF＝∠DOF，可得∠COF＝∠DOF=90°，进而根据角的和差，由∠COE＝180°-∠BOE-∠BOD算出∠COE的度数，由∠EOF＝∠COF-∠COE算出∠EOF的度数；
② OC平分∠AOE， 理由如下：由角平分线的定义得∠EOF＝∠FOB＝∠EOB， 由等角的余角相等得 ∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE；
（2）分类讨论：①当点E，F在直线AB的同侧时，记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，易得∠EOF＝90°-α，∠AOC＝∠AOF-∠COF＝2α-90°①，∠BOE＝180°-∠AOC-∠COE＝180°-（2α-90°）-α＝270°-3α②，进而由①×3+②×2即可得出结论；②当点E和点F在直线AB的异侧时，记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，易得∠AOC＝∠COF-∠AOF＝90°-2α①，∠BOE＝180°-∠AOC-∠COE＝180°-（90°-2α）-α＝90°+α②，进而根据①+2×②即可得出结论，综上即可得出答案.
1 / 1鲁教版(五四学制) 2022-2023学年六年级数学下册 7.4 用尺规作角 同步测试
一、单选题
1．（2023七下·南山期中）如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，作图痕迹是（ ）．
A．以点B为圆心，OD为半径的圆 B．以点B为圆心，DC为半径的圆
C．以点E为圆心，OD为半径的圆 D．以点E为圆心，DC为半径的圆
【答案】D
【知识点】作图-角
【解析】【解答】作∠OBF=∠AOB，根据题意可得具体的步骤为：
第一步：以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C，D；
第二步：以点B为圆心，以OC长为半径作弧，分别交射线BO于点E；
第三步：以点E为圆心，以CD长为半径弧，与前一条弧交于点F，作射线BF即可得到∠OBF，则∠OBF=∠AOB；
故答案为：D.
【分析】根据作一个角等于已知角的作法即可得到答案。
2．（2023七下·深圳期中）如图，用尺规作出了，关于作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A．弧是以点O为圆心，任意长为半径的弧
B．弧是以点C为圆心，为半径的弧
C．弧是以点E为圆心，为半径的弧
D．弧是以点E为圆心，为半径的弧
【答案】C
【知识点】作图-角
【解析】【解答】解：根据作一个角等于已知角的方法步骤可知，是以点E为圆心，为半径的弧，
故答案为：C．
【分析】根据各选项分别判断即可。
3．（2023·朝阳模拟）如图，利用内错角相等，两直线平行，我们可以用尺规作图的方法，过的边上一点作的平行线．有以下顺序错误的作图步骤：①作射线；②以O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交、于点C、D；③以F为圆心，长为半径画圆弧，交前面的圆弧于点G；④在边上取一点E，以E为圆心，长为半径画圆弧，交于点F．这些作图步骤的正确顺序为（ ）
A．①②③④ B．③②④① C．②④③① D．④③①②
【答案】C
【知识点】作图-角
【解析】【解答】用尺规作图作一个角等于已知角的方法如下：
以O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交OA、OB于点C、D；在边OB上取一点E，以E为圆心，OC长为半径画圆弧，交OB于点F，以F为圆心，CD长为半径画圆弧，交前面的圆弧于点G；作射线EG；则正确的作图步骤是②④③①．
故答案为：C．
【分析】根据用尺规作一个角等于已知角的方法判断求解即可。
4．（2023·秦皇岛模拟）下列图形中，能确定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1=∠2，故本选项不合题意；
B、∵∠1是∠2所在三角形的一个外角，∴∠1＞∠2，故本选项符合题意；
C、若两条直线平行，则∠1=∠2，若所截两条直线不平行，则∠1与∠2无法进行判断，故本选项不合题意；
D、∵∠1、∠2是同弧所对的圆周角，∴∠1=∠2．故本选项不合题意.
故答案为：B．
【分析】利用对顶角、圆周角、平行线的性质及三角形外角的性质求解即可。
5．（2023·秦皇岛模拟）如图，已知与，分别以，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；作图-角
【解析】【解答】解：根据作图可知，
A. ，不符合题意；
B. ∵，即，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. 不能判断，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据作图可知，再根据角的和差关系逐一判断即可.
6．（2023七上·礼泉期末）若∠1=50°5′，∠2=50.5°，则∠1与∠2的大小关系是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2>∠1 C．∠1>∠2 D．无法确定
【答案】B
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：∵∠2=50.5°=50°30′，
50°30′＞50°5′，
∴∠2＜∠1.
故答案为：B
【分析】将∠2用度分秒表示，再比较两个角的大小.
7．（2023七上·金东期末）如图，点为直线上一点，平分，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ ，OC平分∠AOD，
∴，
∴，
∵∠BOD=3∠BOE，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的定义得∠AOD的度数，根据平角的定义表示出∠BOD的度数，进而根据∠BOD=3∠BOE，表示出∠BOE的度数，最后根据∠COE=180°-∠AOC-∠BOE即可算出答案.
8．（2022七上·赵县期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1=27°40'，∠2的大小是（ ）
A．27°40' B．57°40' C．58°20' D．62°20'
【答案】B
【知识点】角的运算；角的大小比较
【解析】【解答】∵∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，
∴∠EAC＝32°20′，
∵∠EAD＝90°，
∴∠2＝90°-∠EAC＝90°-32°20′＝57°40′；
故答案为：B
【分析】根据∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，求出∠EAC的度数，再根据∠2＝90°-∠EAC，即可求出∠2的度数。
9．（2022七上·大冶期末）如图，∠AOC与∠BOC互为余角，OD平分∠BOC，∠EOC＝2∠AOE.若∠COD＝18°，则∠AOE的大小是（ ）
A．12° B．15° C．18° D．24°
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠COD＝18°，OD平分∠BOC，
∴∠BOC＝36°，
∵∠AOC与∠BOC互为余角，
∴∠AOC＝90°-36°=54°
∵∠EOC＝2∠AOE，
∴3∠AOE=54°，
∴∠AOE=18°.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的定义求出∠BOC的度数，进而根据和为90°的两个角互为余角算出∠AOC的度数，最后根据∠AOC=∠AOE+∠COE=3∠AOE算出答案.
二、填空题
10．（2023七下·西湖开学考）比较图中∠BOC、∠BOD的大小：因为OB和OB是公共边，OC在∠BOD的内部，所以∠BOC ∠BOD.（填“＞”，“＜”或“＝”）
【答案】＜
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：因为OB和OB是公共边，OC在∠BOD的内部，所以∠BOC＜∠BOD.
故答案为：＜.
【分析】由图形可得：OB和OB是公共边，OC在∠BOD的内部，据此进行比较.
11．（2023七下·武汉月考）已知，如图，，是的平分线，是的平分线，且，则 度.
【答案】72
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：设，，
∴，
∵是的平分线，是的平分线，，
∴，
，
∵，
∴，
解得：，
∴.
故答案为：72.
【分析】设∠AOB=3x，∠BOC=2x，则∠AOC=5x，由角平分线的定义得∠DOC=x，∠EOC=2.5x，进而根据∠EOC-∠DOC=∠DOE=36°建立方程，求解即可.
12．（2023七上·通川期末）如图所示，是直线上一点，是一条射线，平分，在内，，，则的度数是 ．
【答案】90°
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：解：设∠BOE为x°，则∠DOB＝60° x°，
∵∴∠EOC=3∠BOE=3x°，
由OD平分∠AOB，
得∠AOB＝2∠DOB，
故有3x＋x＋2（60 x）＝180，
解方程得x＝30，
所以∠EOC＝90°，
故答案为：90°．
【分析】设∠BOE为x°，用含x的式子表示出∠DOB及∠EOC，由角平分线定义得∠AOB＝2∠DOB，进而根据平角的定义列方程，求解求出∠BOE，从而即可解决问题．
13．（2022七上·大冶期末）如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，则 .
【答案】45°
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵平分，平分，
∴，
∵，，
∴，，
∴
∴.
故答案为：45°.
【分析】根据角平分线的定义得，根据平角的定义及角的和差得∠ACD=180°-∠BCD①，∠BCE=90°-∠BCD②，用①-②可得∠ACD-∠BCE=90°，进而根据等量代换及乘法分配律的逆用即可求出∠ACF-∠BCG的度数.
14．用10倍放大镜看30°的角，你观察到的角是 .
【答案】30°
【知识点】角的概念；角的大小比较
【解析】【解答】解：用10倍放大镜看30°的角，你观察到的角是30°.
故答案为：30°
【分析】角的大小与角的两边的长短无关，可得答案.
15．（2023七下·柳州开学考）如图，∠AOB=40°，自点O引射线OC，若∠AOC：∠COB=2∶3，则OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为
【答案】4°或100°
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：当OC在∠AOB的内部时，如图，OD为∠AOB的角平分线，
∴∠AOD=∠AOB=×40°=20°，
∵ ∠AOC：∠COB=2∶3，
∴设∠AOC=2x°，∠BOC=3x°，
∵ ∠AOC+∠COB=∠AOB=40°，
∴5x=40，
∴x=8
∴∠AOC=2x=16°，
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°；
当OC在∠AOB外部时，如图，OD为∠AOB的角平分线，
∴∠AOD=∠AOB=×40°=20°，
∵ ∠AOC：∠COB=2∶3，
∴设∠AOC=2y°，∠BOC=3y°，
∵ ∠BOC-∠AOC=∠AOB=40°，
∴y=40，
∴∠AOC=2y=80°，
∴∠COD=∠AOD+∠AOC=20°+80°=100°.
故答案为：4°或100°.
【分析】分类讨论：当OC在∠AOB的内部时，如图，OD为∠AOB的角平分线，由角平分线的定义可得∠AOD=∠AOB=×40°=20°，由题意设∠AOC=2x°，∠BOC=3x°，由∠AOC+∠COB=∠AOB建立方程求出x的值，从而得出∠AOC的度数，进而根据∠COD=∠AOD-∠AOC算出答案；当OC在∠AOB外部时，由题意设∠AOC=2y°，∠BOC=3y°，由∠AOC+∠COB=∠AOB建立方程求出y的值，从而得出∠AOC的度数，进而根据∠COD=∠AOD+∠AOC算出答案，综上即可得出答案.
三、作图题
16．（2023七下·宝安期中）用尺规作一个角等于已知角的和，要求不写作法，但要保留作图痕迹；已知：∠1、∠2．求作：∠AOB，使∠AOB＝∠1+∠2．
【答案】解：如图所示：∠AOB即为所求．
【知识点】作图-角
【解析】【分析】首先根据作一个角等于已知角的方法作出∠AOC=∠1，然后以OC为角的一边，作∠BOC=∠2，则∠AOB=∠1+∠2.
17．（2023七下·英德期中）已知，，用尺规完成下列作图：
（1）求作；
（2）．
【答案】（1）解：如图1中，即为所求；
（2）解：如图2中，即为所求．
【知识点】作图-角
【解析】【分析】（1）根据作角的方法作图即可；
（2）根据题意作角即可。
四、解答题
18．（2023七上·西安期末）如图，О是直线上一点，，，平分.求的度数.
【答案】解：∵，
∴
∵平分
∴
∴.
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【分析】由角的构成∠BOC=∠AOB-∠AOC求得∠BOC的值；由角平分线定义得∠COD=2∠BOC求出∠COD的度数，再根据平角定义可求解.
五、综合题
19．（2023七下·江油月考）直线AB、CD相交于点O，∠COF＝∠DOF，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，∠EOF的大小是 ▲ ；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【答案】（1）解：①45°；
②平分，理由如下：
∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠FOB＝，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，
∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE；
（2）解：3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）①∵∠COF＝∠DOF，∠COF+∠DOF=180°，
∴∠COF＝∠DOF=90°，
∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，
∴∠COE＝180°-∠BOE-∠BOD＝180°-120°-15°＝45°，
∴∠EOF＝∠COF-∠COE＝90°-∠COE＝90°-45°＝45°；
∴∠EOF＝45°．
故答案为：45°；
（2）当点E，F在直线AB的同侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°-α，∠AOC＝∠AOF-∠COF＝2α-90°①，
∴∠BOE＝180°-∠AOC-∠COE＝180°-（2α-90°）-α
＝270°-3α②，
①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；
当点E和点F在直线AB的异侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF-∠AOF＝90°-2α①，
∴∠BOE＝180°-∠AOC-∠COE＝180°-（90°-2α）-α
＝90°+α②，
①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．
综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．
【分析】（1）①根据平角的定义及∠COF＝∠DOF，可得∠COF＝∠DOF=90°，进而根据角的和差，由∠COE＝180°-∠BOE-∠BOD算出∠COE的度数，由∠EOF＝∠COF-∠COE算出∠EOF的度数；
② OC平分∠AOE， 理由如下：由角平分线的定义得∠EOF＝∠FOB＝∠EOB， 由等角的余角相等得 ∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE；
（2）分类讨论：①当点E，F在直线AB的同侧时，记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，易得∠EOF＝90°-α，∠AOC＝∠AOF-∠COF＝2α-90°①，∠BOE＝180°-∠AOC-∠COE＝180°-（2α-90°）-α＝270°-3α②，进而由①×3+②×2即可得出结论；②当点E和点F在直线AB的异侧时，记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，易得∠AOC＝∠COF-∠AOF＝90°-2α①，∠BOE＝180°-∠AOC-∠COE＝180°-（90°-2α）-α＝90°+α②，进而根据①+2×②即可得出结论，综上即可得出答案.
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