练习
1. 判断题
①如果一条直线和一个平面平行,那么这个平面内只有一条直线与已知直线平行;
②平行于同一个平面的两条直线平行;
③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行;
④若平面α∥平面β,直线a α,则直线a∥平面β;
⑤若平面α∩平面β=直线b,直线a 平面α,则直线a与平面β一定相交;
⑥若平面α∥平面β,直线a 平面α,直线b 平面β,则直线a与直线b异面;
⑦若直线a∥直线b,直线b 平面α,则直线a平行于平面α内的无数条直线
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则( )
A.MN∥PD
B.MN∥PA
C.MN∥AD
D. MN∥BC
3.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,
点M,N,Q分别是PA,BD,PD的中点.求证:
(1)MN∥平面PCD;
(2)平面MNQ∥平面PBC.
4.如图,在三棱锥P-ABC中,点D,E分别为棱PB,BC的中点,
点G为CD,PE的交点,若点F在线段AC上,且满足
AD∥平面PEF,则=
5.如图,在各棱长均为a的正三棱柱ABC-A1B1C1中,
M,N分别为线段A1B,B1C上的动点, 则满足MN∥平面ACC1A1
的MN有多少条？
6. 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别是棱
CC1,BB1上的点,EC=2FB=2,点M是棱AC上的动点,
若MB∥平面AEF,则点M的位置为 .
参考答案：
1. ①×②×③×④√⑤×⑥×⑦√
提示：比如正方体中，
①A1B1∥平面ABCD, 但A1B1∥AB, A1B1∥CD.
②A1B1∥平面ABCD, B1C1∥平面ABCD,但A1B1和B1C1相交.
③同②
④教材练习A 第2题
⑤平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，直线BC 平面ABCD，但直线BC∥平面ADD1A1.
⑥平面ABCD∥平面A1B1C1D1,直线AB 平面ABCD,直线A1B1∥平面A1B1C1D1,但AB∥A1B1.
⑦平面α内与直线b平行的直线都平行直线a.
2.B
提示：由条件“MN∥平面PAD”首先想到直线与平面平行的性质定理：“如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行。”
本题中平面PAC是经过直线MN的平面与平面PAD相交，交线是PA,所以N∥PA.
3.提示：(1)想证明直线与平面平行。首先想到直线与平面平行的判定定理：“如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。”所以，需要在平面PCD内找一条直线与MN平行.已知条件中，有三个线段的中点，因此容易想到中位线。连接AC,由题意,可以证明AC,BD交点是N，N是AC中点,
∴MN∥PC.
又∵PC 平面PCD,MN 平面PCD,∴MN∥平面PCD.
(2) 想证明两个平面平行。首先想到面面平行的判定定理：“如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。”或者推论：“如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。”由(1)知MN∥PC,同理NQ∥PB.
4.
提示：依题意，想在AC上找一点使得，AD∥平面PEF,可以想到线面平行的性质定理：“如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行。”
本题中，平面ACD经过AD且和平面PEF相交，交线是GF
所以，GF∥DA。
根据已知条件，得出G是三角形PBC重心，
所以，
5. 无数
提示：希望得直线MN与平面ACC1A1平行，除了线面平行判定定理外，还有一条途径。即直线MN在与平面ACC1A1平行的平面内。
在BA1上分别任取M，作MM1∥BB1,交AB于M1,
过M1作AC平行线交CB于N1,过N1作BB1的平行线
交B1C于N,连接MN，因此,MM1N1N是平面四边形,
MM1∥BB1∥AA1, M1N1∥AC,根据面面平行的判定定理得，平面MM1N1N∥平面ACC1A1。
6. M是AC的中点
提示： 由条件“MB∥平面AEF”,可以想到线面平行的
性质定理：“如果一条直线与一个平面平行，且经过这条
直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的
交线平行。”
本题中由不在同一线上的三点F,B,M确定的平面记为α, (平面α与平面AA1C1C有公共点M，所以有公共直线，记为l；三棱柱中，BF∥平面AA1C1C, 平面α经过直线BF，则l与直线BF平行，所以l与直线AF相交交点为N,平面α与平面AEF有公共点F和N，所以FN是平面α与平面AEF的交线，作平面α时头脑中可以想到这些基础知识。)
在三棱柱中，因为BB1∥CC1, CC1在平面AA1C1C内，所以BF∥平面AA1C1C,又因为BF 平面α,平面α∩平面AA1C1C=l,所以BF∥l.记直线l与AE的交点为N，连结FN,因为MB∥平面AEF,MB 平面α,平面αN∩平面AEF=FN,所以MB∥FN,所以四边形BFNM是平行四边形,所以MN=BF=1.由三角形中位线知M是AC的中点.
附1：
怎么想
很多学生有这样的困惑，基础知识都掌握了，但还是用不上。
下面以第6题为例说明一下数学中的“怎么想”。
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别是棱
CC1,BB1上的点,EC=2FB=2,点M是棱AC上的动点,
若MB∥平面AEF,则点M的位置为 .
首先是基础知识要都掌握了。
本题所用基础知识
基本事实1：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面。
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
棱柱的性质：棱柱的侧棱互相平行。
直线与平面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行。
本题中只有一个立体几何条件“MB∥平面AEF”，
因此从此入手，这是已知直线与平面平行，
因此想到直线与平面平行的性质定理。性质定理需要
找一个平面经过直线MB且和平面AEF相交。
所以要想到确定平面的相关基础知识(基本事实1及3个推论)
这里用的是基本事实1，经过M,B,F三点和平面记为平面α(用“推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面。或者用推论2：经过二条相交直线，有且只有一个平面。”也行。)这样平面α经过直线MB(如果用推论1或者推论2确定的平面就可以省去证明平面α经过直线MB)，同时平面α与平面AEF有公共点F，(依据基本事实3，平面α和平面AEF有交线，) 而交线刚好是直线与平面平行的性质定理的要求。
而三棱柱这个条件，在本题中关注平行，棱柱中和平行相关的可以想到棱柱的侧棱互相平行，进一步根据直线与平面平行的判定定理得到侧棱与侧面平行，进一步根据直线与平面平行的性质定理得到直线与直线平行。所以得到平行四边形，即BMNF是平行四边形。其余的基本是初中平面几何相关知识。
从中可以看出，只有在基础知识都记牢、记熟后运用才会得心应手。本题的平面α将很多基础知识的运用联系起来。这一点可以刚开始可能没有意思到，但是完成解答后，如果进行反思总结，就会有这样的认识。
解答高中数学题目时，不要只满足于该题目怎么做，更要清楚怎么想到的这么做，根据题目哪个信息联想到相关基础知识。
多总结，大有益处！
