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10.1 随机事件与概率
【学习要求】
1.了解随机现象与随机试验的特点；理解样本点、 样本空间的概念，会求所给试验的样本点和样本空间。理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，会判断某一事件的性质。
2.结合具体的事例理解事件的包含关系与相等关系；结合具体事例能进行随机事件的并、交的运算；
3.通过具体事例理解随机事件的互斥与对立关系。
4.了解基本事件的特点，理解古典概型的定义及特点；理解古典概型的概率公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；会应用古典概型的概率公式解决实际问题。
5.理解概率的6个基本性质及推论；掌握互斥事件概率、对立事件概率的性质，能解决与古典概
型相关的问题；能在实际问题中应用概率的运算法则及性质解决问题。
【思维导图】
【知识梳理】
1、 有限样本空间
1.1．随机试验
(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．
(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
1.2．样本点和样本空间
(1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间．(2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．
2、事件的分类
(1)随机事件：①我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．②随机事件一般用大写字母，，，…表示．③在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．
(2)必然事件：作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．
(3)不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件．
3、事件的关系
3.1包含关系：一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件)，记作：(或)
图示
3.2相等关系：如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等，记作：；
图示
4、事件的运算
4.1并事件(或和事件)：一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中，我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)，记作：(或).
图示：
4.2交事件(或积事件)：一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)，记作：(或).
图示：
5、互斥事件与对立事件
5.1互斥事件：一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：.
图示：
5.2对立事件:一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，
且，那么称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且.
图示：
6、事件的关系或运算的含义及符号表示
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 发生导致发生
并事件(和事件) 与至少一个发生 或
交事件(积事件) 与同时发生 或
互斥(互不相容) 与不能同时发生
互为对立 与有且仅有一个发生 ，
7、古典概型
7.1古典概型的定义：试验具有如下共同特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
7.2古典概型的判断：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．下列三类试验都不是古典概型：①样本点个数有限，但非等可能．②样本点个数无限，但等可能．③样本点个数无限，也不等可能．
8、古典概型的概率计算公式
8.1古典概型的概率计算公式：一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
8.2古典概型的解题步骤
求古典概型概率的步骤：（1）判断试验的事件是否是古典概型，并用字母表示所求事件（如事件）；
（2）确定样本空间的样本点的总数；（3）确定所求事件包含的样本点的个数；（4）用公式求出事件发生的概率.
9、概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）
性质1：对任意的事件，都有；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，；
性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以.
10、互斥事件的概率加法公式（性质3）
性质3：如果事件与事件互斥，那么；
注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.
11、对立事件的概率（性质4）
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；
12、概率的一般加法公式（性质6）
性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有
【高频考点】
高频考点1. 样本点、样本空间与事件的关系
【方法点拨】熟练掌握相关定义和概念即可。
1．（2023·高一课时练习）写出从集合任取两个元素构成子集的样本空间．
【答案】
【详解】从集合任取两个元素，
则构成子集的样本空间为.
2．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）袋中装有形状与质地相同的个球，其中黑色球个，记为，白色球个，记为，从袋中任意取个球，请写出该随机试验一个不等可能的样本空间：_____.
【答案】（答案不唯一）
【详解】从袋中任取个球，共有如下情况.
其中一个不等可能的样本空间为，
此样本空间中两个黑球的情况有1个，一黑一白的情况有2个，是不等可能的样本空间.
故答案为：.(答案不唯一)
3．（2023·江苏·高三专题练习）有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取3面，事件“三面旗帜的颜色与号码均不相同”所包含的样本点的个数是________.
【答案】6
【详解】把基本事件列举出来有：（红1，黄2，蓝3），（红1，黄3，蓝2），（红2，有1，蓝3），（红2，黄3，蓝1），（红3，黄1，蓝2），（红3，黄2，蓝1）.一共有6种情况.
故答案为：6
4．（2023·浙江高一课时练习）抛掷两枚硬币，事件：至少有一个正面朝上，事件：两个正面朝上，则事件、的关系是______.
【答案】
【详解】事件A：至少有一个正面朝上，事件A发生的不同结果是：（正，反），（反，正），（正，正）；事件B：：两个正面朝上，事件发生的不同结果是：（正，正）；
所以，事件A、B的关系是.故答案为：.
5．（2022·山东高一课时练习）在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件={出现1点}，事件={出现2点}，事件={出现3点}，事件={出现4点}，事件={出现5点}，事件={出现6点}，事件={出现的点数不大于1}，事件={出现的点数大于3}，事件={出现的点数小于5}，事件E={出现的点数小于7}，事件F={出现的点数为偶数}，事件G={出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题．
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
【答案】(1)答案见解析
（1）因为事件，，，发生，则事件必发生，
所以，，，．
同理可得，事件E包含事件，，，，，；事件包含事件，，；事件F包含事件，，；事件G包含事件，，．
因为在掷骰子的试验中，出现的点数不大于1即为出现1点，
所以事件与事件相等，即．
高频考点2 . 事件的运算
【方法点拨】并事件(或和事件)：一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中，我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)，记作：(或).
交事件(或积事件)：一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)，记作：(或).
1．（2023·全国·高三专题练习）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：
事件：恰有一件次品；事件：至少有两件次品；事件：至少有一件次品；事件：至多有一件次品．下列选项正确的是（ ）
A． B．是必然事件 C． D．
【答案】AB
【详解】对于A选项，事件指至少有一件次品，即事件C，故A正确；
对于B选项，事件指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确；对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即事件，故C错误；
对于D选项，事件指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D错误．故选：AB．
2．（2023·全国·高三专题练习）掷一个骰子，下列事件：，，，，．求：
(1)， ；(2)，；
(3)记是事件的对立事件，求，，，．
【答案】(1)，.
(2)，．
(3)，，，．
【详解】（1），，，
，.
（2），，，
，．
（3），，，，.
，，
，，，．
3．（2023·高一课时练习）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件：至少一个是奇数，事件：点数之和是偶数，求事件对应的集合．
【答案】
【详解】掷两颗骰子，则样本空间
，
因为事件：至少一个是奇数，则
事件：点数之和是偶数，则
，
所以.
高频考点3 . 互斥事件与对立事件的判定
【方法点拨】互斥事件：一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：.
对立事件:一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，
且，那么称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且.
1．（2023·上海·高三专题练习）从装有4个红球和3个白球的口袋中任取4个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至多有2个白球与恰有3个白球 B．至少有1个白球与都是红球
C．恰有1个红球与恰有3个白球 D．至多有1个红球与至多有1个白球
【答案】D
【详解】从装有4个红球和3个白球的口袋中任取4个球的基本事件有：4个红球，1个白球3个红球，2个白球2个红球，3个白球1个红球，
对于A，至多有2个白球的事件有：2个白球2个红球，1个白球3个红球，4个红球，
恰有3个白球的事件是3个白球1红球的事件，显然两个事件互斥且对立，A不是；
对于B，至少有1个白球的事件有：1个白球3个红球，2个白球2个红球，3个白球1红球，
都是红球的事件是4个红球，显然两个事件互斥且对立，B不是；
对于C，恰有1个红球的事件是3个白球1红球的事件，因此恰有1个红球与恰有3个白球为同一事件，C不是；对于D，至多有1个红球的事件是1个红球3个白球的事件，至多有1个白球的事件有：1个白球3个红球，4个红球，显然这两个事件不能同时发生，可以同时不发生，即至多有1个红球与至多有1个白球是互斥而不对立的事件，D是. 故选：D
2．（2023秋·辽宁沈阳·高一校考期末）已知件产品中有件正品，其余为次品.现从件产品中任取件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（ ）
A．恰好有件次品和恰好有件次品 B．至少有件次品和全是次品
C．至少有件正品和至少有件次品 D．至少有件次品和全是正品
【答案】D
【详解】对于A项，恰好有1件次品和恰好有两件次品互为互斥事件，但不是对立事件；
对于B项，至少有1件次品和全是次品可以同时发生，不是对立事件；
对于C项，至少有1件正品和至少有1件次品可以同时发生，不是对立事件；
对于D项，至少有1件次品即存在次品，与全是正品互为对立事件.故选：D.
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设三件产品全不是次品，三件产品全是次品三件产品有次品，但不全是次品，则下列结论中正确的是（ ）
A．与互斥 B．与互斥 C．任何两个都互斥 D．与对立
【答案】ABC
【详解】解：由题意可知，三件产品有次品，但不全是次品，包括1件次品、2件次正品，2件次品、1件次正品两个事件，
三件产品全不是次品，即3件产品全是正品，三件产品全是次品，
由此知，与互斥，与互斥，故A，B正确，
与互斥，由于总事件中还包含“1件次品，2件次正品”，“2件次品，1件次正品” 两个事件，故与不对立，故C 正确，D错误，故选：ABC．
4．（2023·高一课时练习）以下每对事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
①将一枚均匀的硬币抛2次，记事件：两次出现正面；事件：只有一次出现正面．
②某人射击一次，记事件：中靶；事件：射中5环．
③某人射击一次，记事件：射中环数不小于5；事件：射中环数不超过4．（环数为整数）
【答案】①是互斥事件不是对立事件，②不是互斥事件，③是对立事件
【详解】①事件不能同时发生，故为互斥事件，但是不发生，不一定发生，故不是对立事件；
②事件A：中靶；事件B：射中5环，两事件可以同时发生，故不是互斥事件；
③一次射击中，A：射中环数不小于5；事件B：射中环数不超过4，不能同时发生，且不发生就发生，不发生就发生，故为对立事件.
5．（2023·高一课时练习）产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：
①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全都是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是正品．
4组中互斥事件的序号是_____，对立事件的序号是_____.
【答案】 ①④ ④
【详解】解：产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件，则可能出现件正品、件次品、件正品和件正品，
故①恰有1件次品和恰有2件次品为互斥事件；
至少有1件次品包含件次品、件正品和件正品，
故②至少有1件次品和全都是次品不是互斥事件；
至少有1件正品包含件正品、件正品和件正品，
至少有1件次品包含件次品、件正品和件正品，
故③至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件；
至少有1件次品包含件次品、件正品和件正品，
故④至少有1件次品和全是正品是互斥事件且是对立事件．故答案为：①④；④
高频考点4. 古典概型的判断
【方法点拨】古典概型的判断：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．下列三类试验都不是古典概型：①样本点个数有限，但非等可能．②样本点个数无限，但等可能．③样本点个数无限，也不等可能．
1．（2022·高一课时练习）下列试验是古典概型的是( )
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为“取中白球”和“取中黑球”
B．在区间上任取一个实数，使
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
【答案】C
【详解】A选项中，两个基本事件发生的可能性不同，故不是古典概型．
B选项中，一次试验的结果有无限个，故不是古典概型．
C选项满足古典概型特征．
D选项中，两个基本事件发生的可能性可能不同，故不是古典概型．故选：C．
2．（2022·全国·高一专题练习）下列试验是古典概型的为______．
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两枚骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④甲乙等10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
【答案】①②④
【详解】因为古典概型需要满足基本事件是有限个，且每个基本事件的概率相等，
据此①②④均符合要求，③不满足等可能的要求，因为降雨受多方面因素影响.故答案为：①②④.
3．（2022春·云南红河·高一校考阶段练习）（多选）下列概率模型不属于古典概型的是（ ）
A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
C．一只使用中的灯泡的寿命长短
D．中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”
【答案】ACD
【详解】由古典概型的特点：等可能性、有限性
A：基本事件是无限的，排除；
C：每只灯泡寿命长短具有不确定性，不符合等可能性，排除；
D：月饼质量评价有主观性，不符合等可能性，排除；
而B，每个人选到的可能性相等且总共有8个人，满足古典概型的特征.故选：ACD
高频考点5 . 用列举法求古典概型的概率
【方法点拨】古典概型的解题步骤
求古典概型概率的步骤：（1）判断试验的事件是否是古典概型，并用字母表示所求事件（如事件）；
（2）确定样本空间的样本点的总数；（3）确定所求事件包含的样本点的个数；（4）用公式求出事件发生的概率.
1．（2023·河南信阳·高三统考期末）为防控新冠疫情，很多公共场所要求进入的人必须佩戴口罩．现有人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】从蓝、白、红、黑、绿5种颜色的口罩中选3只不同颜色的口罩，基本事件列举如下：
（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），（蓝红黑），（蓝红绿），（蓝黑绿），（白红黑），（白红绿），（白黑绿），（红黑绿），共有10个基本事件，
其中蓝、白口罩同时被选中的基本事件有（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），共含3个基本事件，
所以蓝、白口罩同时被选中的概率为．故选：A.
2．（2023·高一单元测试）从正方形四个顶点及中心共五个点中任选三个,能确定一个平面的概率是______.
【答案】##0.8
【详解】解:由题知,记正方形四个顶点分别为,记中心为,
画图如下:
用表示五个点中任选三个的结果数,
则五个点中任选三个的所有事件为:,,
,共10种,其中能确定一个平面的事件有: ,,共8种,
所以能确定一个平面的概率.故答案为:
3．（2023·高一课时练习）抛掷两颗骰子，求：(1)点数之和是4的概率；(2)点数之和小于4的概率；(3)点数差的绝对值为3的概率．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）抛掷两颗骰子，基本事件的总数，
点数之和为4包含的基本事件有：（1，3），（2，2），（3，1），共3个，
所以点数之和为4的概率；
（2）点数之和小于4的包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），共3个，
所以点数之和小于4的概率；
（3）点数差的绝对值为3的基本事件有：（1，4），（2，5），（3，6），（4，1），（5，2），（6，3），共6个，
所以点数差的绝对值为3的概率；
4．（2023·四川成都·统考一模）成都作为常住人口超2000万的超大城市，注册青年志愿者人数超114万，志愿服务时长超268万小时.2022年6月，成都22个市级部门联合启动了2022年成都市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到331个主体的416个志愿服务项目，覆盖文明实践 社区治理与邻里守望 环境保护等13大领域．已知某领域共有50支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍进行评审打分，并将专家评分（单位：分）分成6组：，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中的值；(2)已知评分在的队伍有4支，若从评分在的队伍中任选两支队伍，求这两支队伍至少有一支队伍评分不低于85分的概率．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由，解得．
（2）由题意知不低于90分的队伍有支，故评分在的队伍有2支．
评分在分的队伍有支．
记评分落在的4支队伍为；评分落在的2支队伍为，．
则从评分在的队伍中任选两支队伍的基本事件有：，，，共15个．其中两支队伍至少有一支队伍评分不低于85分的基本事件有：，，共9个．故所求概率为．
高频考点6. 有放回与无放回问题的概率
1．（2023·全国·高三专题练习）天河英才秋季运动会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，现将三张分别印有“琮琮”“ 宸宸”“莲莲”这三个图案的卡片（卡片的形状 大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设三张卡片“琮琮”“ 宸宸”“莲莲”依次记为 , 若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则基本事件为：共9种，
则其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的基本事件为：共2种，所有所求概率为故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，
每次取出后不放回，连续取两次．（1）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；（2）如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．Ω由6个基本事件组成，而且可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}．
事件A由4个基本事件组成，所以P（A）＝＝．
（2）有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{（a1，a1），（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b1）}，由9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}．
事件B由4个基本事件组成，所以P（A）＝．
3．（2023秋·河南南阳·高一统考期末）某商场做促销活动，顾客每购满100元可抽奖一次．在一个口袋内装有除颜色外其余完全相同的5个小球，其中3个红球、1个黑球、1个黄球．某顾客购满100元，可抽奖一次．
(1)若从中依次不放回地取出2个球，取出的球中有黄球，则送一件价值10元的礼品，求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率；(2)若从口袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，当取出的2个球中没有红球时，送一件价值50元的礼品，问这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20%吗？
【答案】(1) (2)不会超过20%
【详解】（1）3个红球的分别记为1，2，3，1个黑球记为a，1个黄球记为b．
从袋中依次不放回地取出2个球，所包含的样本点为（1，2），（1，3），（2，3），（1，a），（2，a），（3，a），（1，b），（2，b），（3，b），（a，b），（2，1），（3，1），（3，2），（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），共20个，
有黄球的样本点为（1，b），（2，b），（3，b），（a，b），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），共8个，所以这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率为．
（2）从袋中连续取两次球，每次取1球后放回，所包含的样本点为（1，1），（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，1），（2，2），（2，3），（2，a），（2，b），（3，1），（3，2），（3，3），（3，a），（3，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，a），（a，b），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），（b，b），共25个，
取出的2个球中没有红球的样本点为（a，a），（a，b），（b，a），（b，b），共4个，
所以这位顾客能获得一件价值50元的礼品的概率为，
所以这位顾客获得一件价值50元的商品的可能性不会超过20%．
4．（2023·高一课时练习）口袋里共有4个球，其中有2个是白球，2个是黑球，这4个球除颜色外完全相同。4个人按顺序依次从中摸出一个球（不放回），试计算第二个人摸到白球的概率.
【答案】.
【详解】解法1：把2个白球编上序号1，2，记摸到1，2号白球的结果分别为；2个黑球也编上序号1，2，记摸到1，2号黑球的结果分别为，因为是计算“第二个人摸到白球”的概率，所以只考虑前两个人摸球的情况.
考察试验：前两个人按顺序依次从中摸出一个球，记录摸球的所有可能结果，A：第二个人摸到白球的可能结果.
前两个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有结果用树状图表示，如图.
从上面的树状图可以看出，试验的样本空间
，共有12个可能的结果.
依题意可知此时事件，包含6个可能的结果，因此，即第二个人摸到白球的概率为.
解法2：因为口袋里的4个球除颜色外完全相同，因此可以对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，由此得到另一种解法.
考察试验：4个人按顺序依次从中摸出一个球，只记录摸出球的颜色，试验的所有可能结果用树状图表示，如图.
记摸到白球、黑球的结果分别为，试验的样本空间，共有6个可能结果.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此可以认为这6个结果出现的可能性也是相等的，从而用古典概型来计算概率.
依题意可知此时事件，包含3个可能结果，
所以，即第二个人摸到白球的概率为.
解法3：进一步简化，只考虑第二个人摸球的情况.
考察试验：4个人按顺序依次从中摸出一个球，只记录第二个人摸出球的情况.
把2个白球、2个黑球分别编上序号1，2，记摸到1，2号白球的结果分别为，记摸到1，2号黑球的结果分别为，则试验的样本空间，共有4个可能结果.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此可认为这4个结果出现的可能性是相等的，从而用古典概型来计算概率.
依题意可知此时事件，包含2个可能结果，因此
即第二个人摸到白球的概率为.
高频考点7 . 根据古典概型的概率求参数
1．（2023·全国·高三专题练习）每次从0～9这10个数字中随机取一个数字（取后放回），连续取次，依次得到个数字组成的数字序列．若使该序列中的数字0至少出现一次的概率不小于0.9，则的最小值是（ ）（参考数据）
A．23 B．22 C．21 D．20
【答案】B
【详解】解：有放回地排列个数字，得个基本事件，其中不含0的基本事件为．
由题意得，即，∴．∴最小取22．故选：B．
2．（2022·高一课时练习）在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师人数为_____________．
【答案】120.
【详解】试题分析：设男师人，女教师人，则，
故答案为．
3．（2022春·北京朝阳·高一统考期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个红球和n个绿球，采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，若取出的2个球颜色不同的概率为，则n的所有可能取值为___________．
【答案】2或8
【详解】由题意知，取出的2个球颜色不同的概率为，
化简得，解得或8.
故答案为：2或8.
4．（2022·河南三门峡·统考模拟预测）某职业培训学校现有六个专业，往年每年各专业的招生人数和就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）统计如下表：
专业 机电维修 艺术舞蹈 汽车美容 餐饮 电脑技术 美容美发
招生人数
就业率
（Ⅰ）从该校往年的学生中随机抽取人，求该生是“餐饮”专业且直接就业的概率；
（Ⅱ）为适应人才市场的需求，该校决定明年将“电脑技术”专业的招生人数减少，将“机电维修”专业的招生人数增加，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高个百分点，求的值．
【答案】（Ⅰ）0.08；（Ⅱ）．
【详解】（Ⅰ）由题意，该校往年每年的招生人数为，
“餐饮”专业直接就业的学生人数为，
所以所求的概率为．
（Ⅱ）由表格中的数据，可得往年各专业直接就业的人数分别为，，，，，，往年全校整体的就业率为，
招生人数调整后全校整体的就业率为，解得．
高频考点8. 利用互斥事件的概率公式求概率
【方法点拨】性质1：对任意的事件，都有；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，；
性质3：如果事件与事件互斥，那么；
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；
性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以.
性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有
1．（2022春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐101中学校考期末）已知，，如果，那么（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
【答案】A
【详解】∵，∴，互斥，∴.故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因随机事件，互斥，则，
依题意及概率的性质得，即，解得，
所以实数的取值范围是.故选：C
3．（2022·全国·高一假期作业）袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.
（1）求取球2次即终止的概率；（2）求甲取到白球的概率.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设事件A为“取球2次即终止”.即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，借助树状图求出相应事件的样本点数：
因此，.
（2）设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球.借助树状图求出相应事件的样本点数：
所以.
4．（2022秋·山东济宁·高二校考阶段练习）有3个两两互斥的事件A，B，C，已知事件是必然事件，事件A发生的概率是事件B发生的概率的2倍，事件C发生的概率比事件B发生的概率大0.2.分别求事件A，B，C发生的概率.
【答案】，，
【详解】设，则，.
由题意知，解得.
所以，，.
高频考点9. 互斥事件与对立事件的辨析
1．（2023·高三课时练习）从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（ ）
A．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球” B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”
C．“都是白球”与“至少有一个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
【答案】A
【详解】对于A，事件：“恰有两个白球”与事件：“恰有一个黑球”不能同时发生，
但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是黑球，
∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴A正确；
对于B，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，
如：一个白球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴B不正确；
对于C.“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，且对立，故C错误；
对于D，“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥.故选A.
2．（2022春·陕西渭南·高一统考期末）书架上有2本数学书和2本语文书，从这4本书中任取2本，那么互斥但不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有1本数学书”和“都是语文书” B．“至少有1本数学书”和“至多有1本语文书”
C．“恰有1本数学书”和“恰有2本数学书” D．“至多有1本数学书”和“都是语文书”
【答案】C
【详解】对于A：“至少有1本数学书”和“都是语文书”是对立事件，故不满足题意
对于B：“至少有1本数学书”和“至多有1本语文书”可以同时发生，故不满足题意
对于C：“恰有1本数学书”和“恰有2本数学书” 互斥但不对立，满足题意
对于D：“至多有1本数学书”和“都是语文书”可以同时发生，故不满足题意故选：C
3．（2022秋·湖北十堰·高二校考阶段练习）2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（ ）
A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件
【答案】A
【详解】事件与事件不能同时发生，是互斥事件
他还可以选择化学和政治，不是对立事件故答案选A
4．（多选）（2022·全国·高一专题练习）中任取两数，下列事件是对立事件的是（ ）.
A．至少有一个偶数和两个数都是奇数 B．至少有一个是奇数和两个数都是奇数
C．至少有一个奇数和两个数都是偶数 D．至少有一个奇数和至少有一个偶数
【答案】AC
【详解】从中任取两数,其中可能的情况有：“两个奇数”，“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”三种情况.
对A选项：至少有一个偶数即包括“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个数都是奇数是对立事件，故A选项正确；
对B选项：至少有一个是奇数包括“两个奇数”，“一个奇数与一个偶数”，所以至少有一个是奇数和两个数都是奇数不是对立事件，故B选项不正确；
对C选项：至少有一个奇数包括“两个奇数”，“一个奇数与一个偶数”，与“两个偶数”是对立事件，故C选项正确；
对D选项：至少有一个奇数包括“两个奇数”，“一个奇数与一个偶数”，至少有一个偶数包括“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”，所以至少有一个奇数和至少有一个偶数不是对立事件，故D选项不正确；故选：AC
5．（2022·高一课时练习）一个射击手进行一次射击，设事件表示“命中的环数大于7环”；事件表示“命中的环数为10环”；事件表示“命中的环数小于6环”；事件表示“命中的环数为6，7，8，9，10环”.判断下列各对事件是不是互斥事件，是不是对立事件，并说明理由.
（1）事件与；（2）事件与；（3）事件与.
【答案】（1）不是互斥事件，也不是对立事件，理由见解析（2）是互斥事件，但不是对立事件，理由见解析（3）是互斥事件，也是对立事件.，理由见解析
【详解】（1）不是互斥事件,也不是对立事件.理由：事件A“命中的环数大于7环”包含事件B“命中的环数为10环”,当一次射击命中10环时,二者能够同时发生.
（2）是互斥事件,但不是对立事件.
理由：事件A“命中的环数大于7环”与事件C“命中的环数小于6环”不可能同时发生,但（I为全集）.
（3）是互斥事件,也是对立事件.
理由：事件C“命中的环数小于6环”与事件D“命中的环数为6,7,8,9,10环”不可能同时发生,且 （I为全集）.
高频考点10. 利用对立事件的概率公式求概率
1．（2023春·四川宜宾·高二校考开学考试）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，
记事件两人下成和棋，事件乙获胜，事件甲获胜，
则事件和事件为互斥事件，且事件与事件互为对立事件，
所以，甲获胜的概率为.故选：C.
2．（2022春·四川巴中·高二校考开学考试）已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______．
【答案】
【详解】记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，易知为互斥事件，与为对立事件，
又，所以.故答案为：.
3．（2023·高一课时练习）已知事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，则______.
【答案】##
【详解】因为事件A、B互斥，，所以，
又它们都不发生的概率为，所以，解得，
所以.故答案为：.
4．（2023·全国·高三专题练习）从1~30这30个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除．求下列事件的概率：
(1)这个数既能被2整除也能被3整除；(2)这个数能被2整除或能被3整除；
(3)这个数既不能被2整除也不能被3整除．
【答案】(1)(2)(3)
（1）1~30这30个整数中既能被2整除也能被3整除的有5个，∴；
（2）1~30这30个整数中能被2整除的有15个，能被3整除的有10个，所以，，；
（3）由于事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”与事件“这个数能被2整除或能被3整除”互为对立事件，则．
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·陕西·统考二模）抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，
∴P(A)，P(B)，
又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，
则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为
P（A∪B）＝P(A)+P(B)，故选：A．
2．（2022·上海长宁·统考一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（ ）
A．两个点数都是偶数B．至多有一个点数是偶数 C．两个点数都是奇数 D．至多有一个点数是奇数
【答案】D
【详解】由题意，事件为：两个点数都为奇数，
由概率指的是事件的对立事件的概率，
则事件的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数.故选：D
3．（2022·全国·统考高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】[方法一]：【最优解】无序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.
[方法二]：有序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，
其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为. 故选：C.
4．（2022·湖北·一模）从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）
A．“至少有1个红球”与“都是黑球” B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”
C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球” D．“都是红球”与“都是黑球”
【答案】D
【详解】
从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，可能的结果为：1红1黑 2红 2黑，
对于A：“至少有1个红球”包括1红1黑 2红，与“都是黑球”是对立事件，不符合；
对于B：“恰好有1个红球”和恰好有1个黑球”是同一个事件，不符合题意；
对于C：“至少有1个黑球”包括1红1黑 2黑，“至少有1个红球”包括1红1黑 2红，这两个事件不是互斥事件，不符合题意；
对于D：“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件而不是对立事件，符合题意；故选：D.
5．（2023秋·广东佛山·高二统考期末）一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．12 D．15
【答案】A
【详解】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，个绿球，
从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是，
则，解得（负值舍去）.故选：A．
6．（2022·河南·模拟预测）甲、乙两人是某学校的门岗保安，根据值班安排，甲每连续工作4天后休息1天，乙每连续工作2天后休息1天．若这学期开学第一天甲、乙都休息，在不调整作息时间的情况下，则在整个学期内（按120天算），甲、乙在同一天工作的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：甲工作是时间为2,3,4,5—7,8,9,10—12,13,14,15—17,18,19,20—22,23,24,25—27,28,29,30—
乙工作的时间为2,3—5,6—8,9—11,12—14,15—17,18—20,21—23,24—26,27—29,30—
所以甲乙同一天工作是时间为2,3,5,8,9,12,14,15—17,18,20,23,24,27,29,30—
从中可以看出甲乙工作时间以15天为一个周期，一个周期里有8天相同，
所以120天可以看作8个工作周期，共有天相同.
由古典概型的概率公式得甲、乙在同一天工作的概率为.故选：C
7．（2022·江苏·扬州中学高二期中）设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题设条件可得, ,
又 ,解得. 所以 .故选：A.
8．（2022·重庆·高一期末）口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件为“取到的小球的编号为②”，事件为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥 B．与对立 C． D．
【答案】C
【详解】依题意，取到的小球为黑球且编号为②，事件与同时发生，则与不互斥，也不对立，A，B都不正确；
由古典概率得：，，，于是得，
C正确，D不正确. 故选：C
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022·高一课时练习）下列问题中是古典概型的是（ ）
A．小杨种下一粒种子，求种子能长出果实的概率
B．从甲地到乙地共n条线路，且这n条线路长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率
C．在区间上任取一数，求这个数大于2的概率
D．同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
【答案】BD
【详解】对于A选项，种子长出果实，不长出果实的发生不是等可能的，故A不是古典概型；
对于C选项，在区间中样本点的个数是无限多个，故C不是古典概型；
对于B和D选项，其中样本点的发生是等可能的，且是有限个；
故选：BD．
10．（2022·湖北武汉·高二期中）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球，设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】
对于A，因“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，则，A不正确；
对于B，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，两个事件没有公共的基本事件，，B不正确；
对于C，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，
R或G表示摸的两个球的颜色相同，即，C正确；
对于D，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，由对立事件的定义知，D正确.
故选：CD
11．（2022·高一课时练习）抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 1,2”为事件 A,“向上的点数是 1,2,3”为事件B,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件C,“向上的点数是 4,5,6”为事件D,则下列关于事件 A， B，C，D 判断正确的有
A．A与D是互斥事件但不是对立事件 B．B与D是互斥事件也是对立事件
C．C与D是互斥事件 D．B与C 不是对立事件也不是互斥事件
【答案】ABD
【详解】抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 1,2”为事件 A,
“向上的点数是 1,2,3”为事件B,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件C,
“向上的点数是 4,5,6”为事件D.事件A与D不能同时发生，但能同时不发生，
是互斥事件但不是对立事件，故选项A正确；
事件B与D不可能同时发生，且必有一个发生，
故B与D是互斥事件，也是对立事件，故选项B正确；
事件C与D可能同时发生，故不是互斥事件，故选项C错误；
事件B与C能同时发生，不是互斥事件也不是对立事件，故选项D正确.故选：ABD.
12．（2023·全国·高三专题练习）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】依题意，，，
显然事件A，B互斥，，
事件B，C互斥，则，
于是得选项A，B，C都正确，选项D不正确. 故选：ABC
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
【答案】##0.3
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.故答案为：.
14．（2022·湖南·高一课时练习）电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝____________.(用B，C，D间的运算关系式表示)
【答案】(BC)∪(BD)或B∩(C∪D)
【详解】灯亮必须形状开关I闭合，开关II和III中至少有一个闭合，
因此．故答案为：．也可写成：．
15．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）龙马负图如图所示．数千年来被认为是中华文化的源头，传说伏羲通过龙马身上的图案（河图）画出“八卦”．其结构是一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，墨点为阴数．若从阳数和阴数中分别随机抽出1个，则被抽到的2个数的数字之和超过12的概率为______．
【答案】##0.4
【详解】依题意，阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，10，
从阳数和阴数中分别随机抽出1个有：
，共25个结果，
被抽到的2个数的数字之和超过12的有：，共10种，所以被抽到的2个数的数字之和超过12的概率为.故答案为：
16．（2022·四川省通江中学高二开学考试）已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______．
【答案】
【详解】记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，易知为互斥事件，与为对立事件，
又，所以.故答案为：.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·湖南·高一课时练习）设、是两个随机事件，若、为互斥事件，则下列说法正确吗？试说明理由. (1)是必然事件；(2)是必然事件；(3)与一定为互斥事件；(4)与一定不为互斥事件.
【答案】(1)错误，理由见解析；(2)正确，理由见解析；
(3)错误，理由见解析；(4)错误，理由见解析.
【解析】(1)解：如下图所示：
设为必然事件，由上图可知，不是必然事件，故该说法错误.
(2)解：因为、为互斥事件，则，故为必然事件，
故该说法正确.
(3)解：若不是必然事件，则，
此时与不是互斥事件，故该说法错误.
(4)解：若为必然事件，则，
此时与是互斥事件，故该说法错误.
18．（2022·湖南·高一课时练习）甲、乙两人玩一个游戏，每次各出1~5根手指，若和为偶数算甲贏，否则算乙贏.
(1)现连玩三次，若以B表示甲至少贏一次的事件，C表示乙至少贏两次的事件，试问：B与C是否为互斥事件？为什么？(2)这个游戏规则公平吗？试说明理由.
【答案】(1)不互斥(2)不公平
【解析】(1)共玩三次，事件和事件可以同时发生，因此它们不互斥；
(2)根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数知一次游戏中基本事件有25个，其中和为奇数的有12个：12，14，21，23，25，32，34，41，43，45，52，54，和为偶数的有13个:11，13，15，22，24，31，33，35，42，44，51，53，55，因此甲蠃的概率高于乙蠃的概率，所以这个规则不公平．
19．（2022·甘肃兰州·校考一模）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.若指针恰好停在各区域的分界线上，则这次转动作废，重新转动转盘.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下:
①若，则奖励玩具一个;②若，则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
【答案】(1) (2)答案见解析
【详解】（1）用数对（x,y）表示小亮参加活动先后记录的数，则基本事件构成的集合是.
因为S中元素的个数是4×4=16，所以基本事件总数.
记“”为事件A，则事件A包含的基本事件共5个，
即（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（3,1），所以，即小亮获得玩具的概率为.
（2）记“”为事件B，“”为事件C.
则事件B包含的基本事件共6个，即（2,4）,（3,3）,（3,4）,（4,2）,（4,3）,（4,4）.所以.
事件C包含的基本事件共5个，即（1,4）,（2,2）,（2,3）,（3,2）,（4,1）.所以.
因为，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
20．（2022·贵州·校联考一模）随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图），解决下列问题．
组别 分组 频数 频率
第1组 14 0.14
第2组 m
第3组 36 0.36
第4组 0.16
第5组 4 n
合计
(1)求m，n，x，y的值；(2)求中位数；(3)用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加某项美食体验活动，求抽到的2人均来自第四组的概率．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）由题意可知,第四组的人数为，
故，；
又内的频率为 ，∴；
∵内的频率为 ，∴.
（2）由频率分布直方图可知第一、二组频率之和为，
前三组频率之和为，故中位数为：.
（3）由题意可知，第4组共有16人，第5组共有4人，
用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人,则第四、第五组抽取人数为4人和1人，
设第4组的4人分别为 ，第5组的1人分别为A,
则从中任取2人，所有基本事件为：
共10个，
又抽到的2人均来自第四组的基本事件有∶共6个，
故抽到的2人均来自第四组的的概率为
21．（2022·广西·高三专题练习）在某校开展的知识竞赛活动中，共有三道题，答对分别得2分 2分 4分，答错不得分.已知甲同学答对问题的概率分别为，乙同学答对问题的概率均为，甲 乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.
(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；
【答案】(1)
设甲同学三道题都答对的事件为,则，
所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为.
22．（2022·江西宜春·模拟预测）某企业从领导干部 员工中按比例随机抽取50人组成一个评审团，对A B两个员工作为后备干部的竞聘演讲及个人技术能力展示进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分为5组：，，，，，得到A员工的频率分布直方图和B员工的频数分布表：
(1)在评审团的50人中，求对A员工的评分不低于80分的人数；
(2)从对B员工的评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在范围内的概率；
(3)该企业决定：若评审团给员工评分的中位数大于82分，则推荐这名员工作为后备干部人选，请问评审团将推荐哪一位员工作为后备干部人选？
【答案】(1)27人；(2)；(3)B员工.
(1)由A员工评分的频率分布直方图得：，
所以对A员工的评分不低于80分的人数为：（人）.
(2)对B员工的评分在内有5人，将评分在内的2人记为C，D，评分在内的3人记为E，F，G，从5 人中任选2人的情况有：CD，CE，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG，共10种，它们等可能，2人评分均在范围内的有：EF，EG，FG，共3种，
所以2人评分均在范围内的概率.
(3)由A员工评分的频率分布直方图得：，，
则A员工评分的中位数，有，解得，
由B员工的频数分布表得：，，
则B员工评分的中位数，有，解得，
所以评审团将推荐B员工作为后备干部人选.
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10.1 随机事件与概率
【学习要求】
1.了解随机现象与随机试验的特点；理解样本点、 样本空间的概念，会求所给试验的样本点和样本空间。理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，会判断某一事件的性质。
2.结合具体的事例理解事件的包含关系与相等关系；结合具体事例能进行随机事件的并、交的运算；
3.通过具体事例理解随机事件的互斥与对立关系。
4.了解基本事件的特点，理解古典概型的定义及特点；理解古典概型的概率公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；会应用古典概型的概率公式解决实际问题。
5.理解概率的6个基本性质及推论；掌握互斥事件概率、对立事件概率的性质，能解决与古典概
型相关的问题；能在实际问题中应用概率的运算法则及性质解决问题。
【思维导图】
【知识梳理】
1、 有限样本空间
1.1．随机试验
(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．
(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
1.2．样本点和样本空间
(1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间．(2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．
2、事件的分类
(1)随机事件：①我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．②随机事件一般用大写字母，，，…表示．③在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．
(2)必然事件：作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．
(3)不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件．
3、事件的关系
3.1包含关系：一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件)，记作：(或)
图示
3.2相等关系：如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等，记作：；
图示
4、事件的运算
4.1并事件(或和事件)：一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中，我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)，记作：(或).
图示：
4.2交事件(或积事件)：一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)，记作：(或).
图示：
5、互斥事件与对立事件
5.1互斥事件：一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：.
图示：
5.2对立事件:一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，
且，那么称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且.
图示：
6、事件的关系或运算的含义及符号表示
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 发生导致发生
并事件(和事件) 与至少一个发生 或
交事件(积事件) 与同时发生 或
互斥(互不相容) 与不能同时发生
互为对立 与有且仅有一个发生 ，
7、古典概型
7.1古典概型的定义：试验具有如下共同特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
7.2古典概型的判断：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．下列三类试验都不是古典概型：①样本点个数有限，但非等可能．②样本点个数无限，但等可能．③样本点个数无限，也不等可能．
8、古典概型的概率计算公式
8.1古典概型的概率计算公式：一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
8.2古典概型的解题步骤
求古典概型概率的步骤：（1）判断试验的事件是否是古典概型，并用字母表示所求事件（如事件）；
（2）确定样本空间的样本点的总数；（3）确定所求事件包含的样本点的个数；（4）用公式求出事件发生的概率.
9、概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）
性质1：对任意的事件，都有；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，；
性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以.
10、互斥事件的概率加法公式（性质3）
性质3：如果事件与事件互斥，那么；
注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.
11、对立事件的概率（性质4）
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；
12、概率的一般加法公式（性质6）
性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有
【高频考点】
高频考点1. 样本点、样本空间与事件的关系
【方法点拨】熟练掌握相关定义和概念即可。
1．（2023·高一课时练习）写出从集合任取两个元素构成子集的样本空间．
2．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）袋中装有形状与质地相同的个球，其中黑色球个，记为，白色球个，记为，从袋中任意取个球，请写出该随机试验一个不等可能的样本空间：_____.
3．（2023·江苏·高三专题练习）有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取3面，事件“三面旗帜的颜色与号码均不相同”所包含的样本点的个数是________.
4．（2023·浙江高一课时练习）抛掷两枚硬币，事件：至少有一个正面朝上，事件：两个正面朝上，则事件、的关系是______.
5．（2022·山东高一课时练习）在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件={出现1点}，事件={出现2点}，事件={出现3点}，事件={出现4点}，事件={出现5点}，事件={出现6点}，事件={出现的点数不大于1}，事件={出现的点数大于3}，事件={出现的点数小于5}，事件E={出现的点数小于7}，事件F={出现的点数为偶数}，事件G={出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题．
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
高频考点2 . 事件的运算
【方法点拨】并事件(或和事件)：一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中，我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)，记作：(或).
交事件(或积事件)：一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)，记作：(或).
1．（2023·全国·高三专题练习）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：
事件：恰有一件次品；事件：至少有两件次品；事件：至少有一件次品；事件：至多有一件次品．下列选项正确的是（ ）
A． B．是必然事件 C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）掷一个骰子，下列事件：，，，，．求：
(1)， ；(2)，；
(3)记是事件的对立事件，求，，，．
3．（2023·高一课时练习）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件：至少一个是奇数，事件：点数之和是偶数，求事件对应的集合．
高频考点3 . 互斥事件与对立事件的判定
【方法点拨】互斥事件：一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：.
对立事件:一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，
且，那么称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且.
1．（2023·上海·高三专题练习）从装有4个红球和3个白球的口袋中任取4个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至多有2个白球与恰有3个白球 B．至少有1个白球与都是红球
C．恰有1个红球与恰有3个白球 D．至多有1个红球与至多有1个白球
2．（2023秋·辽宁沈阳·高一校考期末）已知件产品中有件正品，其余为次品.现从件产品中任取件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（ ）
A．恰好有件次品和恰好有件次品 B．至少有件次品和全是次品
C．至少有件正品和至少有件次品 D．至少有件次品和全是正品
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设三件产品全不是次品，三件产品全是次品三件产品有次品，但不全是次品，则下列结论中正确的是（ ）
A．与互斥 B．与互斥 C．任何两个都互斥 D．与对立
4．（2023·高一课时练习）以下每对事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
①将一枚均匀的硬币抛2次，记事件：两次出现正面；事件：只有一次出现正面．
②某人射击一次，记事件：中靶；事件：射中5环．
③某人射击一次，记事件：射中环数不小于5；事件：射中环数不超过4．（环数为整数）
5．（2023·高一课时练习）产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：
①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全都是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是正品．4组中互斥事件的序号是_____，对立事件的序号是_____.
高频考点4. 古典概型的判断
【方法点拨】古典概型的判断：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．下列三类试验都不是古典概型：①样本点个数有限，但非等可能．②样本点个数无限，但等可能．③样本点个数无限，也不等可能．
1．（2022·高一课时练习）下列试验是古典概型的是( )
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为“取中白球”和“取中黑球”
B．在区间上任取一个实数，使
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
2．（2022·全国·高一专题练习）下列试验是古典概型的为______．
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两枚骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④甲乙等10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
3．（2022春·云南红河·高一校考阶段练习）（多选）下列概率模型不属于古典概型的是（ ）
A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
C．一只使用中的灯泡的寿命长短
D．中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”
高频考点5 . 用列举法求古典概型的概率
【方法点拨】古典概型的解题步骤
求古典概型概率的步骤：（1）判断试验的事件是否是古典概型，并用字母表示所求事件（如事件）；
（2）确定样本空间的样本点的总数；（3）确定所求事件包含的样本点的个数；（4）用公式求出事件发生的概率.
1．（2023·河南信阳·高三统考期末）为防控新冠疫情，很多公共场所要求进入的人必须佩戴口罩．现有人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·高一单元测试）从正方形四个顶点及中心共五个点中任选三个,能确定一个平面的概率是______.
3．（2023·高一课时练习）抛掷两颗骰子，求：(1)点数之和是4的概率；(2)点数之和小于4的概率；(3)点数差的绝对值为3的概率．
4．（2023·四川成都·统考一模）成都作为常住人口超2000万的超大城市，注册青年志愿者人数超114万，志愿服务时长超268万小时.2022年6月，成都22个市级部门联合启动了2022年成都市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到331个主体的416个志愿服务项目，覆盖文明实践 社区治理与邻里守望 环境保护等13大领域．已知某领域共有50支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍进行评审打分，并将专家评分（单位：分）分成6组：，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中的值；(2)已知评分在的队伍有4支，若从评分在的队伍中任选两支队伍，求这两支队伍至少有一支队伍评分不低于85分的概率．
高频考点6. 有放回与无放回问题的概率
1．（2023·全国·高三专题练习）天河英才秋季运动会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，现将三张分别印有“琮琮”“ 宸宸”“莲莲”这三个图案的卡片（卡片的形状 大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，
每次取出后不放回，连续取两次．（1）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；（2）如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？
3．（2023秋·河南南阳·高一统考期末）某商场做促销活动，顾客每购满100元可抽奖一次．在一个口袋内装有除颜色外其余完全相同的5个小球，其中3个红球、1个黑球、1个黄球．某顾客购满100元，可抽奖一次．(1)若从中依次不放回地取出2个球，取出的球中有黄球，则送一件价值10元的礼品，求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率；(2)若从口袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，当取出的2个球中没有红球时，送一件价值50元的礼品，问这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20%吗？
4．（2023·高一课时练习）口袋里共有4个球，其中有2个是白球，2个是黑球，这4个球除颜色外完全相同。4个人按顺序依次从中摸出一个球（不放回），试计算第二个人摸到白球的概率.
高频考点7 . 根据古典概型的概率求参数
1．（2023·全国·高三专题练习）每次从0～9这10个数字中随机取一个数字（取后放回），连续取次，依次得到个数字组成的数字序列．若使该序列中的数字0至少出现一次的概率不小于0.9，则的最小值是（ ）（参考数据）
A．23 B．22 C．21 D．20
2．（2022·高一课时练习）在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师人数为_____________．
3．（2022春·北京朝阳·高一统考期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个红球和n个绿球，采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，若取出的2个球颜色不同的概率为，则n的所有可能取值为___________．
4．（2022·河南三门峡·统考模拟预测）某职业培训学校现有六个专业，往年每年各专业的招生人数和就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）统计如下表：
专业 机电维修 艺术舞蹈 汽车美容 餐饮 电脑技术 美容美发
招生人数
就业率
（Ⅰ）从该校往年的学生中随机抽取人，求该生是“餐饮”专业且直接就业的概率；
（Ⅱ）为适应人才市场的需求，该校决定明年将“电脑技术”专业的招生人数减少，将“机电维修”专业的招生人数增加，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高个百分点，求的值．
高频考点8. 利用互斥事件的概率公式求概率
【方法点拨】性质1：对任意的事件，都有；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，；
性质3：如果事件与事件互斥，那么；
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；
性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以.
性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有
1．（2022春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐101中学校考期末）已知，，如果，那么（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
2．（2022·全国·高三专题练习）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一假期作业）袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.
（1）求取球2次即终止的概率；（2）求甲取到白球的概率.
4．（2022秋·山东济宁·高二校考阶段练习）有3个两两互斥的事件A，B，C，已知事件是必然事件，事件A发生的概率是事件B发生的概率的2倍，事件C发生的概率比事件B发生的概率大0.2.分别求事件A，B，C发生的概率.
高频考点9. 互斥事件与对立事件的辨析
1．（2023·高三课时练习）从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（ ）
A．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球” B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”
C．“都是白球”与“至少有一个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
2．（2022春·陕西渭南·高一统考期末）书架上有2本数学书和2本语文书，从这4本书中任取2本，那么互斥但不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有1本数学书”和“都是语文书” B．“至少有1本数学书”和“至多有1本语文书”
C．“恰有1本数学书”和“恰有2本数学书” D．“至多有1本数学书”和“都是语文书”
3．（2022秋·湖北十堰·高二校考阶段练习）2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（ ）
A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件
4．（多选）（2022·全国·高一专题练习）中任取两数，下列事件是对立事件的是（ ）.
A．至少有一个偶数和两个数都是奇数 B．至少有一个是奇数和两个数都是奇数
C．至少有一个奇数和两个数都是偶数 D．至少有一个奇数和至少有一个偶数
5．（2022·高一课时练习）一个射击手进行一次射击，设事件表示“命中的环数大于7环”；事件表示“命中的环数为10环”；事件表示“命中的环数小于6环”；事件表示“命中的环数为6，7，8，9，10环”.判断下列各对事件是不是互斥事件，是不是对立事件，并说明理由.
（1）事件与；（2）事件与；（3）事件与.
高频考点10. 利用对立事件的概率公式求概率
1．（2023春·四川宜宾·高二校考开学考试）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·四川巴中·高二校考开学考试）已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______．
3．（2023·高一课时练习）已知事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，则______.
4．（2023·全国·高三专题练习）从1~30这30个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除．求下列事件的概率：
(1)这个数既能被2整除也能被3整除；(2)这个数能被2整除或能被3整除；
(3)这个数既不能被2整除也不能被3整除．
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·陕西·统考二模）抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·上海长宁·统考一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（ ）
A．两个点数都是偶数B．至多有一个点数是偶数 C．两个点数都是奇数 D．至多有一个点数是奇数
3．（2022·全国·统考高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖北·一模）从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）
A．“至少有1个红球”与“都是黑球” B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”
C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球” D．“都是红球”与“都是黑球”
5．（2023秋·广东佛山·高二统考期末）一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．12 D．15
6．（2022·河南·模拟预测）甲、乙两人是某学校的门岗保安，根据值班安排，甲每连续工作4天后休息1天，乙每连续工作2天后休息1天．若这学期开学第一天甲、乙都休息，在不调整作息时间的情况下，则在整个学期内（按120天算），甲、乙在同一天工作的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·江苏·扬州中学高二期中）设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·重庆·高一期末）口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件为“取到的小球的编号为②”，事件为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥 B．与对立 C． D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022·高一课时练习）下列问题中是古典概型的是（ ）
A．小杨种下一粒种子，求种子能长出果实的概率
B．从甲地到乙地共n条线路，且这n条线路长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率
C．在区间上任取一数，求这个数大于2的概率
D．同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
10．（2022·湖北武汉·高二期中）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球，设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·高一课时练习）抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 1,2”为事件 A,“向上的点数是 1,2,3”为事件B,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件C,“向上的点数是 4,5,6”为事件D,则下列关于事件 A， B，C，D 判断正确的有
A．A与D是互斥事件但不是对立事件 B．B与D是互斥事件也是对立事件
C．C与D是互斥事件 D．B与C 不是对立事件也不是互斥事件
12．（2023·全国·高三专题练习）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
14．（2022·湖南·高一课时练习）电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝____________.(用B，C，D间的运算关系式表示)
15．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）龙马负图如图所示．数千年来被认为是中华文化的源头，传说伏羲通过龙马身上的图案（河图）画出“八卦”．其结构是一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，墨点为阴数．若从阳数和阴数中分别随机抽出1个，则被抽到的2个数的数字之和超过12的概率为______．
16．（2022·四川省通江中学高二开学考试）已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·湖南·高一课时练习）设、是两个随机事件，若、为互斥事件，则下列说法正确吗？试说明理由. (1)是必然事件；(2)是必然事件；(3)与一定为互斥事件；(4)与一定不为互斥事件.
18．（2022·湖南·高一课时练习）甲、乙两人玩一个游戏，每次各出1~5根手指，若和为偶数算甲贏，否则算乙贏.
(1)现连玩三次，若以B表示甲至少贏一次的事件，C表示乙至少贏两次的事件，试问：B与C是否为互斥事件？为什么？(2)这个游戏规则公平吗？试说明理由.
19．（2022·甘肃兰州·校考一模）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.若指针恰好停在各区域的分界线上，则这次转动作废，重新转动转盘.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下:
①若，则奖励玩具一个;②若，则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
20．（2022·贵州·校联考一模）随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图），解决下列问题．
组别 分组 频数 频率
第1组 14 0.14
第2组 m
第3组 36 0.36
第4组 0.16
第5组 4 n
合计
(1)求m，n，x，y的值；(2)求中位数；(3)用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加某项美食体验活动，求抽到的2人均来自第四组的概率．
21．（2022·广西·高三专题练习）在某校开展的知识竞赛活动中，共有三道题，答对分别得2分 2分 4分，答错不得分.已知甲同学答对问题的概率分别为，乙同学答对问题的概率均为，甲 乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.
(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；
22．（2022·江西宜春·模拟预测）某企业从领导干部 员工中按比例随机抽取50人组成一个评审团，对A B两个员工作为后备干部的竞聘演讲及个人技术能力展示进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分为5组：，，，，，得到A员工的频率分布直方图和B员工的频数分布表：
(1)在评审团的50人中，求对A员工的评分不低于80分的人数；
(2)从对B员工的评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在范围内的概率；
(3)该企业决定：若评审团给员工评分的中位数大于82分，则推荐这名员工作为后备干部人选，请问评审团将推荐哪一位员工作为后备干部人选？
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