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10.2 事件的相互独立性
【学习要求】
1、理解相互独立事件的概念及意义。
2、能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题。
3、能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题。
【思维导图】
【知识梳理】
1：相互独立事件的概念:对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立．
性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立
性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立
则：，，
2.相互独立事件概率的求法
已知两个事件，相互独立，它们的概率分别为，，则有
事件 表示 概率
，同时发生
，都不发生
，恰有一个发生
，中至少有一个发生 或
，中至多有一个发生 或
3.互斥事件与相互独立事件的区别与联系
相互独立事件 互斥事件
判断方法 一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生，即
概率公式 事件与相互独立等价于 事件与互斥，则
【高频考点】
高频考点1. 相互独立事件的判断
【方法点拨】相互独立事件的概念:对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立．
性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立
性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立
则：，，
1．（2023秋·吉林长春·高二校考期末）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）．
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
【答案】C
【详解】解：掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，
事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误；
，，，，
因为，所以与独立，故选项C正确；
事件与不相等，故选项D错误. 故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）在一次试验中，随机事件A，B满足，则（ ）
A．事件A，B一定互斥 B．事件A，B一定不互斥
C．事件A，B一定互相独立 D．事件A，B一定不互相独立
【答案】B
【详解】若事件A，B为互斥事件，则，与矛盾，所以，所以事件A，B一定不互斥，所以B正确，A错误，
由题意无法判断是否成立，所以不能判断事件A，B是否互相独立，所以CD错误，
故选：B
3．（2023秋·山东淄博·高二校考期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（ ）
A．互斥 B．相互对立 C．相互独立 D．相等
【答案】C
【详解】显然事件A和事件B不相等，故D错误，
由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误；
因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故C正确.故选：C.
4．（2023·湖北·沙市中学高二期中）先后抛掷两枚骰子，甲表示事件“第一次掷出正面向上的点数是1”，乙表示事件“第二次掷出正面向上的点数是2”，丙表示事件“两次掷出的点数之和是7”，丁表示事件“两次掷出的点数之和是8”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丁相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】A
【详解】丙事件的{第一次,第二次}点数组合为，则丙；
丁事件的{第一次,第二次}点数组合为，则丁；
甲乙；∴1、甲丙甲丙，故甲与丙相互独立.
2、甲丁甲丁，故甲与丙不相互独立.
3、乙丁乙丁，故乙与丁不相互独立；
4、显然，丙与丁为互斥事件，丙丁丙丁，故不相互独立.故选：A
5．（2023·上海·高三专题练习）设 为两个随机事件，给出以下命题：
（1）若 为互斥事件，且，，则；
（2）若，，，则 为相互独立事件；
（3）若，，，则 为相互独立事件；
（4）若，，，则 为相互独立事件；
（5）若，，，则 为相互独立事件；
其中正确命题的个数为___________.
【答案】3
【详解】若为互斥事件，且，，则，故（1）错误；
若 ，则由相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故（2）正确；若，则，
由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故（3）正确；
若 ，
当为相互独立事件时，，故（4）错误；
若 ，则
由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故（5）正确.
故正确命题的个数为3.故答案为：3.
高频考点2 . 相互独立事件的概率的求法
【方法点拨】相互独立事件概率的求法
已知两个事件，相互独立，它们的概率分别为，，则有
事件 表示 概率
，同时发生
，都不发生
，恰有一个发生
，中至少有一个发生 或
，中至多有一个发生 或
1．（2022·河南·南阳高二阶段练习）有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是（ ）
A．0.56 B．0.92 C．0.94 D．0.96
【答案】C
【详解】设事件A表示：“甲击中”，事件B表示：“乙击中”．由题意知A，B互相独立．故目标被击中的概率为P＝1－P()＝1－P()P()＝1－0.2×0.3＝0.94．故选：C
2．（多选）（2022秋·山东济宁·高二校考阶段练习）已知事件，相互独立，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】根据事件A，B相互独立，且，，
可得，即A正确；
而，所以，即B错误；
由独立事件的概率可知，
所以，故C正确；
由概率加法公式可得，故D错误；故选：AC
3．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率：
(1)两人都能破译；(2)恰有一人能破译.
【答案】(1)(2)
（1）记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”.
则根据题意两个人都破译出密码的概率为
（2）恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙未破译出，乙破译出甲未破译出，即，
∴.
4．（2022春·广西梧州·高一校考开学考试）年月日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种，月日时分，重组新冠疫苗获批启动临床试验.月日，中国新冠病毒疫苗进入期临床试验截至月日，全球当前有大约种候选新冠病毒疫苗在研发中，其中至少有种疫苗正处于临床试验阶段现有、、三个独立的医疗科研机构，它们在一定时期内能研制出疫苗的概率分别是、、．求：
(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：令事件在一定时期内能研制出疫苗，事件在一定时期内能研制出疫苗，
事件在一定时期内能研制出疫苗，
由题意可知，事件、、相互独立，且，，.
若他们都研制出疫苗，即事件、、同时发生，
所以，，即他们都研制出疫苗的概率为．
（2）解：他们都失败，即事件、、同时发生，
所以，.即他们都失败的概率为．
（3）解：“他们能够研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，
结合对立事件间的概率关系，可得所求事件的概率.
即他们能研制出疫苗的概率为．
5．（2023秋·北京怀柔·高一统考期末）为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展“航天知识”竞赛活动，甲乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题，甲队答对此题的概率是，乙队答对此题的概率是，假设每队答题正确与否是相互独立的．
(1)求甲乙两队都答对此题的概率；(2)求甲乙两队至少有一队答对此题的概率．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：设甲、乙队答对此题分别为事件，则，
记事件“甲乙两队都答对此题”，由于每队答题正确与否是相互独立的，
所以，故甲乙两队都答对此题的概率为；
（2）解：记事件“甲乙两队至少有一队答对此题”，由于每队答题正确与否是相互独立的，
故.
故甲乙两队至少有一队答对此题的概率为.
高频考点3 . 相互独立事件的综合应用
【方法点拨】互斥事件与相互独立事件的区别与联系
相互独立事件 互斥事件
判断方法 一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生，即
概率公式 事件与相互独立等价于 事件与互斥，则
1．（2023·全国·高三专题练习）在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件与事件是对立事件 B．事件与事件不是相互独立事件
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，事件与事件是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误；
对于B，对于事件与事件，,事件与事件是相互独立事件,故B错误；对于C，连续抛掷这个正四面体木块两次，记录的结果一共有种，
其中，事件发生，则两次朝下的点数为一奇一偶，有种，所以，
因为抛掷正四面体向下的数字为奇数和偶数的方法种数相同，所以，，
所以，故C正确；
对于D，事件表示第一次记录的数字为奇数，第二次记录的数字为偶数，故，故D错误.故选：C．
2．（2023·全国·高三专题练习）设，为两个随机事件，给出以下命题：①若，为互斥事件，且，，则；②若，，，则，为相互独立事件；③若，，，，则，为相互独立事件；④若，，，则，为相互独立事件；⑤若，，，则，为相互独立事件．其中正确命题的个数为______．
【答案】4
【详解】若为互斥事件，且， 则 ，故①正确；
若 则由相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，
故②正确；
若，则
由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故③正确；
若 ，
当为相互独立事件时，故④错误；
若
则
由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故⑤正确.故答案为：4.
3．（2022秋·河北唐山·高二校考阶段练习）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）超过1000小时的概率都是0.5，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为____________.
【答案】##
【详解】因为三个电子元件的使用寿命（单位：小时）超过1000小时的概率都是0.5，即，
记事件超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常，事件超过1000小时时，元件3正常，事件该部件的使用寿命超过1000小时，则，，
因为事件为相互独立事件，事件为同时发生的事件，
所以．故答案为：．
4．（2022秋·山东淄博·高二统考期末）11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．已知甲乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10：10平后，甲先发球 假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．(1)求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率：
(2)求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率．
【答案】(1)0.5(2)0.1
【详解】（1）设双方10：10平后的第个球甲获胜为事件，又打了个球比赛结束，
则；
（2）且甲获胜
.
5．（2022秋·上海静安·高二校考期末）如图所示为两点间的电路，在时间内不同元件发生故障的事件是相互独立的，他们发生故障的概率如下表所示:
元件
概率 0.6 0.5 0.4 0.5 0.7
(1)求在时间内，与同时发生故障的概率；(2)求在时间内，，至少一个发生故障的概率；(3)求在时间内，电路不通的概率.
【答案】(1)0.3(2)0.8(3)0.828
【详解】（1）解：设表示发生故障，则，
在时间内与同时发生故障的概率；
（2）解：在时间内，与至少一个发生故障的概率
；
（3）解：设表示发生故障，则，
在时间内，电路不通的概率.
6．（2022·全国·高二单元测试）为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
(1)求p和q的值；
(2)求甲、乙两人共答对3道题的概率．
【答案】(1)，(2)
(1)设A：甲同学答对第一题，B：乙同学答对第一题，则，．
设C：甲、乙两人均答对第一题，D：甲、乙两人恰有一人答对第一题，
则，．
∵甲、乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，
∴A与B相互独立，与互斥，
∴,．
由题意得解得或
∵，∴，．
(2)设：甲同学答对了i道题，:乙同学答对了i道题，．
由题意得，，，．
设E：甲、乙两人共答对3道题，则，
∴，
∴甲、乙两人共答对3道题的概率为．
高频考点4. 相互独立事件概率的拔高计算
【方法点拨】
1．（2022·上海市控江中学高二期末）已知甲射击的命中率为0.7．乙射击的命中率为0.8，甲乙两人的射击互相独立．求：
(1)甲乙两人同时击中目标的概率；
(2)甲乙两人中至少有一个人击中目标的概率；
(3)甲乙两人中恰有一人击中目标的概率．
【答案】(1)0.56(2)0.94(3)0.38
(1)设甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，
甲乙两人同时击中目标的概率；
(2)甲乙两人中至少有一个人击中目标的概率为；
(3)甲乙两人中恰有一人击中目标的概率为
．
2．（2022·全国·高三专题练习）1.第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
(1)求该局打4个球甲赢的概率；(2)求该局打5个球结束的概率．
【答案】(1)(2)
(1)设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，
由题知，，，∴，
∴，
∴该局打4个球甲赢的概率为．
(2)设该局打5个球结束时甲贏为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，，，，
∴，
，
∴，
∴该局打5个球结束的概率为．
3．（2022·全国·高一课时练习）在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格.小明同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响，求小明同学一次测试合格的概率.
【答案】
【详解】设小明第i次“立定投篮”命中为事件Ai，第i次“三步上篮”命中为事件Bi（i=1，2），依题意有P（Ai）=，P（Bi）=（i=1，2），“小明同学一次测试合格”为事件C，且每次投篮是否命中互不影响，则
,所以
4．（2022·全国·高一课时练习）台风在危害人类的同时，也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为，各卫星间相互独立，求在同一时刻至少有两颗预报准确的概率.
【答案】
【详解】设“甲、乙、丙预报准确”分别为事件，不准确记为，则，，
至少两颗预报准确的事件有，，，，这四个事件两两互斥.
所以至少两颗预报准确的概率为
．
5．（2022·湖南·高一课时练习）某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，.若对这三名短跑运动员的100跑的成绩进行一次检测，则求：
（Ⅰ）三人都合格的概率；（Ⅱ）三人都不合格的概率；（Ⅲ）出现几人合格的概率最大.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）1人.
【详解】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件，，，
显然事件，，相互独立，则，，
设恰有人合格的概率为.
（Ⅰ）三人都合格的概率：
（Ⅱ）三人都不合格的概率：.
（Ⅲ）恰有两人合格的概率：.
恰有一人合格的概率：.
因为，所以出现1人合格的概率最大.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·江苏·南京高一阶段练习）一个口袋内装有大小相同的红、篮球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题设，每次摸到红、篮球的概率均为，则三次都摸到篮球的概率为，
所以至少摸到一次红球的概率是. 故选：B
2．（2022·河南焦作·二模）某班计划在下周一至周三中的某一天去参观党史博物馆，若选择周一、周二、周三的概率分别为0.3，0.4，0.3，根据天气预报，这三天下雨的概率分别为0.4，0.2，0.5，且这三天是否下雨相互独立，则他们参观党史博物馆的当天不下雨的概率为（ ）
A．0.25 B．0.35 C．0.65 D．0.75
【答案】C
【详解】根据相互独立事件的概率计算公式，可得：
他们参观党史博物馆的当天下雨的概率为，
所以不下雨的概率为. 故选：C.
3．（2022·广西钦州·高一期末）在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率为0.8，乙去参观市博物馆的概率为0.6，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（ ）
A．0.48 B．0.32 C．0.92 D．0.84
【答案】C
【详解】
由甲去参观市博物馆的概率为0.8，乙去参观市博物馆的概率为0.6，
可得甲乙都不去参观博物馆的概率为,
所以甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是.故选：C.
4．（2021·全国·统考高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【详解】 ，
故选：B
5．（2022·江西·南昌十中高一期中）甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如表：
购买A种医用口罩 购买B种医用口罩 购买C种医用口罩
甲 0.1 0.4
乙 0.3 0.2
则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（ ）
A．0.24 B．0.28 C．0.30 D．0.32
【答案】B
【详解】
由表知：甲购买A口罩概率为，乙购买B口罩概率为，
所以甲、乙购买同一种口罩的概率.故选：B
6．（2022·北京平谷·高二期末）一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取2次，则在两次取得小球中，标号最大值是3的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，每次取到标号为3 的球的事件为A，则，且每次取球是相互独立的，
在两次取得小球中，标号最大值是3的事件M，其对立事件是两次都没有取到标号为3的球的事件，，则有，
所以在两次取得小球中，标号最大值是3的概率为.故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习）某地有，，，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是．同样也假定受，和感染的概率都是．在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设直接受A感染为事件B、C、D，则事件B、C、D是相互独立的，
，，，表明除了外，二人中恰有一人是由A感染的，
所以，
所以B、C、D中直接受A传染的人数为2的概率为，故选：C.
8．（2022·山东·高青县高二开学考试）某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为A，B，C，则，
汽车在三处遇两次绿灯的事件M，则，且，，互斥，而事件A，B，C相互独立，
则，
所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为.故选：D
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.（2022·北京·高一期中）下列各对事件中，为相互独立事件的是（ ）
A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”
B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”
C．袋中有3白 2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”
D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲 乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”
【答案】ABD
【解析】在A中，样本空间，事件，事件，事件，
∴，，，
即，故事件M与N相互独立，A正确.
在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件发生的概率没有影响，
故M与N是相互独立事件，B正确；
在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，
因此不是相互独立事件，C错误；
在D中，从甲组选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，
所以它们是相互独立事件，D正确.故选：ABD.
10．（2022秋·广东珠海·高二校考期中）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，=“第1次取出的是红球”，=“第2次取出的是红球”，=“两个球颜色不同”．则下列说法正确的是（ ）
A．A与相互独立 B．A与互为对立 C．与互斥 D．与相互独立
【答案】ABD
【详解】2个红球为，2个白球为，则样本空间为：
，共12个基本事件.
事件A，共4个基本事件.
事件B，共6个基本事件.
事件C，共6个基本事件.
事件D，共8个基本事件.
对于A选项，因，
则，故A与相互独立.故A正确；
对于B选项，注意到，得A与互为对立.故B正确；
对于C选项，注意到，则与不互斥.故C错误.
对于D选项，因，
则，故D与相互独立.故D正确.故选：ABD
11.（2022·山东·高一期中）已知事件A，B相互独立，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】∵事件A，B相互独立，且，，
∴，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.故选：ACD.
12.（2022·江苏南京·金陵中学校考模拟预测）甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球，这些小球除颜色外完全相同.从甲、乙两袋中各任取个球，则下列结论正确的是（ ）
A．个球颜色相同的概率为 B．个球不都是红球的概率为
C．至少有个红球的概率为 D．个球中恰有个红球的概率为
【答案】ACD
【解析】从甲袋中任取个球，该球为白球的概率为，该球为红球的概率为，
从乙袋中任取个球，该球为白球的概率为，该球为红球的概率为.
对于A选项，个球颜色相同的概率为，A对；
对于B选项，个球不都是红球的概率为，B错；
对于C选项，至少有个红球的概率为，C对；
对于D选项，个球中恰有个红球的概率为，D对.故选：ACD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·浙江·罗浮中学高二期中）人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为50%，利率不变的概率为40%,利率上调时股票不会上涨.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为70%．而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为______．
【答案】
【详解】记为事件“利率下调”，那么即为“利率不变”，
记为事件“股票价格上涨”依题设知，
于是
所以该支股票将上涨的概率为.故答案为：51%
14．（2022·海南·海口市高二期末）某校甲、乙、丙三名教师每天使用1号录播教室上课的概率分别是0.6，0.6，0.8，这三名教师是否使用1号录播教室相互独立，则某天这三名教师中至少有一人使用1号录播教室上课的概率是______．
【答案】0.968
【详解】设甲、乙、丙三名教师某天使用1号录播教室上课分别为事件，，，
则，，，则所求事件的概率
．故答案为：．
15．（2022·天津河北·高三期末）甲 乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲 乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________.
【答案】
【详解】解：设分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立事件的性质,可得
设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,则,且与互斥,与,与分别相互独立,所以
因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.故答案为：
16．（2023·上海静安·统考一模）、分别是事件、的对立事件，如果、两个事件独立，那么以下四个概率等式一定成立的是____________．（填写所有成立的等式序号）
①；②
③；④
【答案】②③
【详解】①，故①不一定成立；
②③由事件的独立性定义可得与，与相互独立，所以，，故②③正确；
④，故④不一定成立. 故答案为：②③.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·湖南·高二课时练习）已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8，甲、乙两人投篮是否投中相互独立．(1)若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为多少？
(2)若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为多少？(3)若乙投篮两次，则至少投中一次的概率为多少？
【答案】(1)0.56(2)0.42(3)0.96
(1)解：记“甲投篮一次命中”为事件A，“乙投篮一次命中”为事件B，A与B为相互独立事件，且，.
设事件C表示“甲、乙投篮都命中”，则.因为A与B相互独立，所以，即甲、乙投篮都命中的概率为0.56.
(2)解：设事件D表示“甲投篮两次，恰好投中一次”，则.易知与，与均相互独立，与互斥，因此
.
(3)解：设事件E表示“乙投篮两次，至少投中一次”，则为“乙投篮两次，都没投中”，即，因此.
18．（2022·湖北·监利市高二期末）某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达 延迟5分钟内送达 延迟5至10分钟送达 其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元 奖励0元 罚款3元 罚款6元.假定评定为等级的概率分别是.(1)若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；
(2)若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率.
【答案】(1)(2)
(1)设事件分别表示“被评为等级”，
由题意，事件两两互斥，所以，
又“不被罚款”，所以.因此“不被罚款”的概率为；
(2)设事件表示“第单被评为等级”，，
则“两单共获得的奖励为3元”即事件，且事件彼此互斥，
又，所以
19．（2022秋·广东·高二校联考期中）有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下：
（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的分位数；
（2）有，两个水池，两水池之间有个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过条鱼.（ⅰ）将其中汞的含量最低的条鱼分别放入水池和水池中，若这条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；
（ⅱ）将其中汞的含量最低的条鱼都先放入水池中，若这条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由水池进入水池且不再游回水池，求这两条鱼由不同小孔进入水池的概率.
【答案】（1）中位数为；众数为；极差为；估计这批鱼该项数据的百分位数约为；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
【详解】解：（1）由题意知，数据的中位数为
数据的众数为 数据的极差为
估计这批鱼该项数据的百分位数约为
（2）（ⅰ）记“两鱼最终均在水池”为事件，则
记“两鱼最终均在水池”为事件，则
∵事件与事件互斥，∴两条鱼最终在同一水池的概率为
（ⅱ）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件，“两鱼同时从第二个小孔通过”为
事件，依次类推；而两鱼的游动独立 ∴
记“两条鱼由不同小孔进入水池”为事件，则与对立，又由事件，事件，互斥 ∴ 即
20．（2022春·河南南阳·高二南阳中学校考期中）甲 乙 丙三人打靶，他们的命中率分别为，若三人同时射击一个目标，甲 丙击中目标而乙没有击中目标的概率为，乙击中目标而丙没有击中目标的概率为.设事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”，事件C表示“丙击中目标”.已知A，B，C是相互独立事件.(1)求；(2)写出事件包含的所有互斥事件，并求事件发生的概率.
【答案】(1) (2)互斥事件有：，
【详解】（1）由题意知，A，B，C为相互独立事件，
所以甲 丙击中目标而乙没有击中目标的概率
乙击中目标而丙没有击中目标的概率，解得，.
（2）事件包含的互斥事件有：，
.
21．（2022·全国·高二课时练习）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
【答案】（1）派甲参赛获胜的概率更大；（2）.
【详解】解：（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则
“甲赢得比赛”，.
“乙赢得比赛”，.
因为，所以派甲参赛获胜的概率更大.
（2）由（1）知，设“甲赢得比赛”，“乙贏得比赛”，
则；.
于是“两人中至少有一人赢得比赛”
.
22．（2022·全国·高三专题练习）某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)；
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
记事件：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率．
【答案】(1)答案见解析；(2)．
(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．
(2)记表示事件：“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”；
表示事件：“A地区用户满意度等级为非常满意”；
表示事件：“B地区用户满意度等级为不满意”；
表示事件：“B地区用户满意度等级为满意”．
则与独立，与独立，与互斥，．
．
由所给数据得，，，发生的概率分别为，，，．
故，，，，故
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10.2 事件的相互独立性
【学习要求】
1、理解相互独立事件的概念及意义。
2、能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题。
3、能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题。
【思维导图】
【知识梳理】
1：相互独立事件的概念:对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立．
性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立
性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立
则：，，
2.相互独立事件概率的求法
已知两个事件，相互独立，它们的概率分别为，，则有
事件 表示 概率
，同时发生
，都不发生
，恰有一个发生
，中至少有一个发生 或
，中至多有一个发生 或
3.互斥事件与相互独立事件的区别与联系
相互独立事件 互斥事件
判断方法 一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生，即
概率公式 事件与相互独立等价于 事件与互斥，则
【高频考点】
高频考点1. 相互独立事件的判断
【方法点拨】相互独立事件的概念:对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立．
性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立
性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立
则：，，
1．（2023秋·吉林长春·高二校考期末）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）．
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
2．（2023·全国·高三专题练习）在一次试验中，随机事件A，B满足，则（ ）
A．事件A，B一定互斥 B．事件A，B一定不互斥
C．事件A，B一定互相独立 D．事件A，B一定不互相独立
3．（2023秋·山东淄博·高二校考期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（ ）
A．互斥 B．相互对立 C．相互独立 D．相等
4．（2023·湖北·沙市中学高二期中）先后抛掷两枚骰子，甲表示事件“第一次掷出正面向上的点数是1”，乙表示事件“第二次掷出正面向上的点数是2”，丙表示事件“两次掷出的点数之和是7”，丁表示事件“两次掷出的点数之和是8”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丁相互独立 D．丙与丁相互独立
5．（2023·上海·高三专题练习）设 为两个随机事件，给出以下命题：
（1）若 为互斥事件，且，，则；
（2）若，，，则 为相互独立事件；
（3）若，，，则 为相互独立事件；
（4）若，，，则 为相互独立事件；
（5）若，，，则 为相互独立事件；
其中正确命题的个数为___________.
高频考点2 . 相互独立事件的概率的求法
【方法点拨】相互独立事件概率的求法
已知两个事件，相互独立，它们的概率分别为，，则有
事件 表示 概率
，同时发生
，都不发生
，恰有一个发生
，中至少有一个发生 或
，中至多有一个发生 或
1．（2022·河南·南阳高二阶段练习）有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是（ ）
A．0.56 B．0.92 C．0.94 D．0.96
2．（多选）（2022秋·山东济宁·高二校考阶段练习）已知事件，相互独立，且，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率：(1)两人都能破译；(2)恰有一人能破译.
4．（2022春·广西梧州·高一校考开学考试）年月日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种，月日时分，重组新冠疫苗获批启动临床试验.月日，中国新冠病毒疫苗进入期临床试验截至月日，全球当前有大约种候选新冠病毒疫苗在研发中，其中至少有种疫苗正处于临床试验阶段现有、、三个独立的医疗科研机构，它们在一定时期内能研制出疫苗的概率分别是、、．求：(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率．
5．（2023秋·北京怀柔·高一统考期末）为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展“航天知识”竞赛活动，甲乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题，甲队答对此题的概率是，乙队答对此题的概率是，假设每队答题正确与否是相互独立的．
(1)求甲乙两队都答对此题的概率；(2)求甲乙两队至少有一队答对此题的概率．
高频考点3 . 相互独立事件的综合应用
【方法点拨】互斥事件与相互独立事件的区别与联系
相互独立事件 互斥事件
判断方法 一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生，即
概率公式 事件与相互独立等价于 事件与互斥，则
1．（2023·全国·高三专题练习）在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件与事件是对立事件 B．事件与事件不是相互独立事件
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）设，为两个随机事件，给出以下命题：①若，为互斥事件，且，，则；②若，，，则，为相互独立事件；③若，，，，则，为相互独立事件；④若，，，则，为相互独立事件；⑤若，，，则，为相互独立事件．其中正确命题的个数为______．
3．（2022秋·河北唐山·高二校考阶段练习）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）超过1000小时的概率都是0.5，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为____________.
4．（2022秋·山东淄博·高二统考期末）11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．已知甲乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10：10平后，甲先发球 假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．(1)求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率：
(2)求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率．
5．（2022秋·上海静安·高二校考期末）如图所示为两点间的电路，在时间内不同元件发生故障的事件是相互独立的，他们发生故障的概率如下表所示:
元件
概率 0.6 0.5 0.4 0.5 0.7
(1)求在时间内，与同时发生故障的概率；(2)求在时间内，，至少一个发生故障的概率；(3)求在时间内，电路不通的概率.
6．（2022·全国·高二单元测试）为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
(1)求p和q的值；(2)求甲、乙两人共答对3道题的概率．
高频考点4. 相互独立事件概率的拔高计算
【方法点拨】
1．（2022·上海市控江中学高二期末）已知甲射击的命中率为0.7．乙射击的命中率为0.8，甲乙两人的射击互相独立．求：(1)甲乙两人同时击中目标的概率；(2)甲乙两人中至少有一个人击中目标的概率；(3)甲乙两人中恰有一人击中目标的概率．
2．（2022·全国·高三专题练习）1.第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
(1)求该局打4个球甲赢的概率；(2)求该局打5个球结束的概率．
3．（2022·全国·高一课时练习）在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格.小明同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响，求小明同学一次测试合格的概率.
4．（2022·全国·高一课时练习）台风在危害人类的同时，也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为，各卫星间相互独立，求在同一时刻至少有两颗预报准确的概率.
5．（2022·湖南·高一课时练习）某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，.若对这三名短跑运动员的100跑的成绩进行一次检测，则求：
（Ⅰ）三人都合格的概率；（Ⅱ）三人都不合格的概率；（Ⅲ）出现几人合格的概率最大.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·江苏·南京高一阶段练习）一个口袋内装有大小相同的红、篮球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南焦作·二模）某班计划在下周一至周三中的某一天去参观党史博物馆，若选择周一、周二、周三的概率分别为0.3，0.4，0.3，根据天气预报，这三天下雨的概率分别为0.4，0.2，0.5，且这三天是否下雨相互独立，则他们参观党史博物馆的当天不下雨的概率为（ ）
A．0.25 B．0.35 C．0.65 D．0.75
3．（2022·广西钦州·高一期末）在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率为0.8，乙去参观市博物馆的概率为0.6，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（ ）
A．0.48 B．0.32 C．0.92 D．0.84
4．（2021·全国·统考高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
5．（2022·江西·南昌十中高一期中）甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如表：
购买A种医用口罩 购买B种医用口罩 购买C种医用口罩
甲 0.1 0.4
乙 0.3 0.2
则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（ ）
A．0.24 B．0.28 C．0.30 D．0.32
6．（2022·北京平谷·高二期末）一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取2次，则在两次取得小球中，标号最大值是3的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）某地有，，，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是．同样也假定受，和感染的概率都是．在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·山东·高青县高二开学考试）某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.（2022·北京·高一期中）下列各对事件中，为相互独立事件的是（ ）
A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”
B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”
C．袋中有3白 2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”
D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲 乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”
10．（2022秋·广东珠海·高二校考期中）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，=“第1次取出的是红球”，=“第2次取出的是红球”，=“两个球颜色不同”．则下列说法正确的是（ ）
A．A与相互独立 B．A与互为对立 C．与互斥 D．与相互独立
11.（2022·山东·高一期中）已知事件A，B相互独立，且，，则（ ）
A． B． C． D．
12.（2022·江苏南京·金陵中学校考模拟预测）甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球，这些小球除颜色外完全相同.从甲、乙两袋中各任取个球，则下列结论正确的是（ ）
A．个球颜色相同的概率为 B．个球不都是红球的概率为
C．至少有个红球的概率为 D．个球中恰有个红球的概率为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·浙江·罗浮中学高二期中）人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为50%，利率不变的概率为40%,利率上调时股票不会上涨.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为70%．而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为______．
14．（2022·海南·海口市高二期末）某校甲、乙、丙三名教师每天使用1号录播教室上课的概率分别是0.6，0.6，0.8，这三名教师是否使用1号录播教室相互独立，则某天这三名教师中至少有一人使用1号录播教室上课的概率是______．
15．（2022·天津河北·高三期末）甲 乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲 乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________.
16．（2023·上海静安·统考一模）、分别是事件、的对立事件，如果、两个事件独立，那么以下四个概率等式一定成立的是____________．（填写所有成立的等式序号）
①；②
③；④
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·湖南·高二课时练习）已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8，甲、乙两人投篮是否投中相互独立．(1)若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为多少？
(2)若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为多少？(3)若乙投篮两次，则至少投中一次的概率为多少？
18．（2022·湖北·监利市高二期末）某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达 延迟5分钟内送达 延迟5至10分钟送达 其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元 奖励0元 罚款3元 罚款6元.假定评定为等级的概率分别是.(1)若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；
(2)若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率.
19．（2022秋·广东·高二校联考期中）有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下：
（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的分位数；
（2）有，两个水池，两水池之间有个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过条鱼.（ⅰ）将其中汞的含量最低的条鱼分别放入水池和水池中，若这条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；
（ⅱ）将其中汞的含量最低的条鱼都先放入水池中，若这条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由水池进入水池且不再游回水池，求这两条鱼由不同小孔进入水池的概率.
20．（2022春·河南南阳·高二南阳中学校考期中）甲 乙 丙三人打靶，他们的命中率分别为，若三人同时射击一个目标，甲 丙击中目标而乙没有击中目标的概率为，乙击中目标而丙没有击中目标的概率为.设事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”，事件C表示“丙击中目标”.已知A，B，C是相互独立事件.(1)求；(2)写出事件包含的所有互斥事件，并求事件发生的概率.
21．（2022·全国·高二课时练习）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
22．（2022·全国·高三专题练习）某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)；
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
记事件：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率．
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